第1章 二次函数 强化训练 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

第1章二次函数强化训练2025-2026学年 湘教版九年级下册 一、选择题 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 3．二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4.将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5.已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 6．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 7.抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．点是抛物线上的一点，则 ． 12．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 13．抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 14．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 15．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 三、解答题 17．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 18.一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 19.小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值； （3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由． 20.为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示： （1）求y与x之间的函数解析式； （2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价； （3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 　 　元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 　 　元． 21．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 第1章二次函数强化训练2025-2026学年 湘教版九年级下册 一、选择题 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 3．二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 5.已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 6．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 7.抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 8．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 10．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    B． B． C． D． 【答案】A 二、填空题 11．点是抛物线上的一点，则 ． 【答案】9 12．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 13．抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是 ． 【答案】 14．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 15．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 【答案】1.6 三、解答题 17．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意得： ，解得：， 所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3， 因为y=-（x-1）2+4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）解：x＜0或x＞2 18.一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知 ， ∴货车可以通过． 19.小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值； （3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明计算的不对 【解答】解：（1）根据题意知，y＝＝﹣x+40， 故y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意得，S＝＝， 当S＝576时，＝546， 解这个方程，得x1＝21，x2＝39， ∵x≤24， ∴当S＝546时，x＝21； （3）小明计算的不对， 理由：∵S＝＝， ∵， ∴当x≤24时，S随x的增大而增大． ∴当x＝24时，S最大，此时S＝576＜600． ∴小明计算的不对． 20.为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示： （1）求y与x之间的函数解析式； （2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价； （3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 　 　元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 　 　元． 【答案】解：（1）设y与x之间的函数解析式为， 由题意得：， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）设该网点每天的利润为W， 由题意得：， ∵该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴该食品的售价为30元； （3）∵该食品的日销量不低于90千克， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴当时，W随x增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为元， 故答案为：35，1350． 21．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）令抛物线y＝ax2+bx﹣3中x＝0，则y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）将y＝kx代入y＝x2﹣2x﹣3得：kx＝x2﹣2x﹣3， 整理得：x2﹣（2+k）x﹣3＝0， ∴xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， ∵原点O为线段AB的中点， ∴xA+xB＝2+k＝0， 解得k＝﹣2， 将k＝﹣2代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0， 解得：xA＝﹣，xB＝， ∴yA＝﹣2xA＝2，yB＝﹣2xB＝﹣2， 故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A、B坐标分别为（﹣，2），（，﹣2）； （3）假设存在， 由（2）可知xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， 根据题意S△ABC＝OC•|xA﹣xB|＝×3×， 解得（k+2）2＝16， ∴k+2＝±4， ∴k＝2或k＝﹣6， 故存在k＝2或k＝﹣6，使得△ABC的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $