专题02 二次函数中的最值问题（40题）（举一反三专项训练）数学湘教版九年级下册

专题02 二次函数中的最值问题（举一反三专项训练） 【湘教版】 【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】 1 【题型2 代数法求线段最值】 6 【题型3 铅锤法巧求面积最值】 11 【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】 1．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．    5．如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． ①当的面积为15时，求点的坐标； ②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标． 6．如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． (1)求此二次函数的表达式． (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． (3)已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 7．已知二次函数．    (1)如图，二次函数的图象与轴有两个公共点，求的取值范围； (2)如图，当时，二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴的另一个交点为，为抛物线对称轴上的一个动点，求的最小值及此时点的坐标． 8．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、    (1)求、的值； (2)是二次函数图象在第一象限部分上一点，且，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与重合，与重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值． 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作二次函数图象上的点； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 11．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点． (1)求二次函数解析式； (2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值． 12．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【题型2 代数法求线段最值】 13．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 15．如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值． 17．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 18．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 21．已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； (3)过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 22．（2025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线l：经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； (2)时，y的最小值为2，求t的值； (3)当时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作轴交直线l于点F，令，求S的最大值． 23．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 24．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，记，求的最小值． 25．已知点和点在抛物线上． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为． ①求的值； ②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值． 【题型3 铅锤法巧求面积最值】 26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数交轴于点，，交轴于点． (1)求二次函数的解析式； (2)记中点为点，过点作直线交轴负半轴于点，交抛物线于点，，点在点右边． ①当时，点为抛物线上的一个动点且点在线段上方，求面积的最大值； ②当时，若点与点关于直线对称，求证：． 27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 28．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 29．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，D为的中点，现沿线段将这块钢板分成①②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表．已知：，，． (1)求曲线所在抛物线的函数表达式； (2)如图2，在区域①中截取一个矩形，其中点P在线段上（不含端点C，D），点E在曲线上，点F，G均在线段上，设点P的纵坐标为，求矩形的面积S与m之间的函数表达式； (3)如图3，在区域②中截取一个四边形，其中点Q在曲线上（不含端点B，C），记四边形的面积为S，求S的最大值． 30．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 31．（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 32．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 33．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 34．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 35．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 36．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最小值； (3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值． 37．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． (1)抛物线解析式为 ； (2)如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； (3)如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 38．如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ． (2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值． (3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标． 39．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 40．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数中的最值问题（举一反三专项训练） 【湘教版】 【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】 1 【题型2 代数法求线段最值】 25 【题型3 铅锤法巧求面积最值】 48 【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】 1．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由 ， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 2．二次函数与动直线交于，两点，线段中点为，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则是联立两个函数解析式所得方程的两个根，求出，，进而可得，可得点H在直线上运动，这是典型的“将军饮马”问题，然后设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长，勾股定理求出即可. 【详解】解：当时，整理可得：， 设， 则是上述方程的两个根， ∴， ， ∵线段中点为， ∴， ∴点H在直线上运动， 如图，设点A关于直线的对称点为C，连接交直线于点H，则此时最小，即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴此时； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点、一元二次方程根与系数的关系、利用轴对称的性质求两线段和的最小值等知识，熟练掌握上述知识、得出点H的运动轨迹是解题的关键. 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故①正确； 由函数图象可知，当时，图象位于轴下方， ∴当时，，故②正确； 把代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，故③正确； 作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，， ∴△周长，此时△周长的最小， ∵，， ∴， ∴△周长的最小值，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当、、三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．先求出，，如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，然后证明当、、三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ； 抛物线解析式为， ； 如图所示，作点关于轴的对称点，连接、，则，   ， ， 当、、三点共线时最小，即最小，最小值为， 的最小值， 故答案为：． 5．如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． ①当的面积为15时，求点的坐标； ②是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 则：，解得：， ∴； （2）解：如图与对称轴交于点，设 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∵点在第一象限， ∴， ∴ ②设直线的解析式为，把代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴当三点共线时，最长， 解得：（舍） ∴； 所以当时，最长． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数解析式是解题的关键． 6．如图，已知二次函数 的图像与轴交于点 ，与轴交于点，． (1)求此二次函数的表达式． (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值． (3)已知为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三角形面积的计算方法等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用轴对称解决最短路径问题； （3）根据三角形面积计算方法结合二次函数求最值即可求解； 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 二次函数的表达式为， （2）由（1）得二次函数的表达式为， 对称轴为直线， ，， 点关于对称轴的对称点为点，连接，则与对称轴的交点即为点，连接， 的周长的最小值为， ，，， ，， 周长最小值为 （3）设的解析式为， 由题可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，过点作轴交与点， 则， ， ， 点在直线的下方，即， 当时，的面积有最大值，为， 面积的最大值为． 7．已知二次函数．    (1)如图，二次函数的图象与轴有两个公共点，求的取值范围； (2)如图，当时，二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴的另一个交点为，为抛物线对称轴上的一个动点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题、轴对称的性质—最短路径问题、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据二次函数的图象与轴有两个公共点得到，求解即可得到答案； （2）先计算出三点的坐标及对称轴，连接交对称轴于点，再根据轴对称的性质可得，当、、在同一直线上时，最小，待定系数法求出直线的解析式，令，求出的值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有两个公共点， ， 解得：， 的取值范围为； （2）解：当时，， 当时，， ， 令，则， 解得：，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， 点、关于对称轴对称， 如图，连接交对称轴于点，点即为所求，   ， 由轴对称的性质可得， ， 当、、在同一直线上时，最小， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ． 8．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、    (1)求、的值； (2)是二次函数图象在第一象限部分上一点，且，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与重合，与重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法解析即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作，依题意，点即为所求，求得直线的解析式，进而求得的解析式，联立抛物线解析式即可求解； （3），连接，将点沿轴的轴正方向移动1个单位得到点，则四边形是平行四边形，根据题意，的周长等于，当三点共线时，求得最小值，待定系数法求得直线的解析式，令求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）∵， 令，解得：， ∴， ∵抛物线过点、， 设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴ ， ∴； （2）解：作关于轴的对称点，连接，过点作，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴， 设直线的解析式为，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）如图所示，连接，将点沿轴的轴正方向移动1个单位得到点，则四边形是平行四边形， 根据题意，的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，    由（2）可得，,则， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式， 令，得， ∴的坐标为， ∵，将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，角度问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 10．已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作二次函数图象上的点； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数综合题，轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键． （）先求出函数解析式，再得出点的具体位置； （）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点． 【详解】（1） 根据题意可得：解得：， 即二次函数， 在图上找到点关于对称轴对称的点即是点； （2） 由（）得：，， 令的解析式为， 将点点代入解析式得：，解得：， 的解析式为， 因为点在对称轴上，时，，故点 11．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点． (1)求二次函数解析式； (2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3)点，， 【分析】（1）根据题意列方程得到，解方程即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，求得，解方程组得到点、的坐标分别为、，根据勾股定理即可得到结论； （3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，求得直线的表达式为，得到点，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线， ， ， 二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上， 时，， ， ， ， 二次函数解析式为； （2）存在；， 点是二次函数图象的顶点， ， ， 联立两个函数表达式得， 解得或， 即点、的坐标分别为、， 由点，，的坐标， 得， ， ， 是斜边， ， 解得， ； （3）设点，则点， 由（2）知，点、的坐标分别为、， 由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 由题意得：，解得：， 所以直线的表达式为， 当时，，故点，， 面积， ，故面积有最大值，此时， 故点，， 当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点， 故点， 则的最大值． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用直角三角形的勾股定理是解题的关键． 12．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），先作轴，截取，得，再证明， 可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：，顶点； （2）解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵， ∴， ∴， 则． 设直线的关系式为， 将点代入关系式， 得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 当共线时，最小， 则， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键． 【题型2 代数法求线段最值】 13．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． (1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； (2)连接，求线段的最小值； (3)当直线恰好经过点E时，求a的值． 【答案】(1) (2)的最小值为1 (3)， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）令，求出，再由又点在直线，得到，即可求出点； （2）先表示出，而，那么，化简转化为二次函数求最值，再求的最小值； （3）设直线为，将代入，求得直线为，可得，那么，由于直线经过点E，则，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，， 即与x轴交点为， 又点在直线， ， 点B在点C左边， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线：， 将代入得： ∴， ∵， ∴， 当时最小值为1，即的最小值为1 （3）解：设直线为，将代入 求得，， 直线为， ∵ ∴， 当时 ， 直线经过点E， ，． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由抛物线可得，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，设点的坐标为，则可得点M的坐标为，可得，结合二次函数的图象与性质可知，当时，有最大值，进而可得答案． 【详解】（1）对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 15．如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)k的值为 (2)h的最大值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入得，解得k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，设，则，求出，根据二次函数性质可得答案． （3）求出，，把M向上平移个单位得到点，由线段与二次函数的图象有公共点，知，即可解得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为． （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值． 【答案】(1)； (2) (3)2． 【分析】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式和二次函数的最值问题，求得解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）分别求得、，然后利用三角形面积计算公式解答即可； （3）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，设；则，进而表示出的长度，利用二次函数的最值求出即可． 【详解】（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，． ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：； （2）∵，， ∴，， ∵对称轴为  ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴； （3）令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 则， 此时的最大值为2． 17．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)抛物线为，直线AC为 (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）已知在直线上，可求得的值，抛物线图象上的、两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标， （3）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标，进而得到关于与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： （3）解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． 【详解】（1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 21．已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； (3)过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）抛物线经过原点和点，由此利用待定系数法即可解决问题； （2）设，可得，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）由（2）可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是．推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，求出直线的解析式，利用方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：把和点代入得到， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． （2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为， ∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． （3）解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题． 22．（2025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线l：经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； (2)时，y的最小值为2，求t的值； (3)当时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作轴交直线l于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1)，P的坐标为 (2)t的值为或1 (3)S取得最大值 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）分，，三种情况，根据增减性，确定函数在时，取得最小值的情形，从而建立方程求解即可； （3）利用待定系数法求出一次函数解析式，设点， 则，则，据此求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线经过原点， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点P的坐标为； （2）解；由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，y随x增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴t的值为， 当时，则若时，y的最小值为，不符合题意， 当时，y随x增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， ∴t的值为1， 综上所述，t的值为或1； （3）解：由题意得：当时，经过点， ∴， ∴， ∴， 设点，且， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，S取得最大值． 23．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+4x (2) (3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0） 【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案； （2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值； （3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案． 【详解】（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； （2）解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； （3）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度． 24．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，记，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析，二次函数的最值问题，解题的关键是求出解析式； （1）将代入中求解即可； （2）求出平移后相应的坐标，利用两点间的距离公式进行列式，再利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ． （2）解：，则， 将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点， 设，解得：， ， 设点，则， ， 当时，取到最小值，为． 25．已知点和点在抛物线上． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为． ①求的值； ②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①0；②． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①联立直线和抛物线的解析式得出，再根据根与系数的关系得出，，利用待定系数法求出直线的表达式为，联立后得出，推出，求得 ，同理，，求出，即可得解；②设与轴交于点，与轴交于点，求出直线的表达式为，得出，记的面积为，的面积为，的面积为， ，求出.记，则，即，再运用一元二次方程根的判别式即可求得答案． 【详解】（1）解：将点和点代入，得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：①依题意，联立，得， 所以，， 设直线的表达式为，又直线过点， 所以， 解得， 所以直线的表达式为， 联立，得， 所以，所以， 所以， 同理，， 联立，得， 所以， 所以，即； ②设与轴交于点，与轴交于点， 当，时，由(2)①得， 解得， 所以直线的表达式为， 所以， 记的面积为，的面积为，的面积为， ， 所以， 又因为， 所以，，， 所以， 所以， 记，则，即， 因为存在， 故关于的一元二次方程有实数根， 所以， 所以或， 解得或(不符合题意，舍去)， 所以当时，取得最小值，且的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，综合性强，难度较大，属于常考的中考数学压轴题． 【题型3 铅锤法巧求面积最值】 26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数交轴于点，，交轴于点． (1)求二次函数的解析式； (2)记中点为点，过点作直线交轴负半轴于点，交抛物线于点，，点在点右边． ①当时，点为抛物线上的一个动点且点在线段上方，求面积的最大值； ②当时，若点与点关于直线对称，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先根据题意可得到，，进而求出直线的解析式为，联立，求出，，设，则，得到，再根据，即可求解；②连接，由，，可得，，，根据，推出，得到，进而根据勾股定理求出，，在中，设边上的高为，根据等面积法求出，再根据对称的性质可得到，即可解答． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）①如图，过点作轴，交于点， 点，，点为中点， ， 由题意可得：， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ，， 设，则， ， ， 当时，面积的最大，最大值为； ②如图，连接， ，， ，，， ，， ， ， ， ， 在中，设边上的高为， ，即， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ，即点在上， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，对称的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为，点Q的坐标为；②16 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； （3）解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 28．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 29．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，D为的中点，现沿线段将这块钢板分成①②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表．已知：，，． (1)求曲线所在抛物线的函数表达式； (2)如图2，在区域①中截取一个矩形，其中点P在线段上（不含端点C，D），点E在曲线上，点F，G均在线段上，设点P的纵坐标为，求矩形的面积S与m之间的函数表达式； (3)如图3，在区域②中截取一个四边形，其中点Q在曲线上（不含端点B，C），记四边形的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的最值，矩形的性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先求得所在直线的函数表达式为，进而求得点的横坐标为．再求得点的横坐标为，进而求得，然后利用矩形面积公式可求解； （3）连接，过点作轴的垂线，交于点．先求得所在直线的函数表达式为．设，其中，则， 可得，由，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可设曲线所在抛物线的函数表达式为． ∵，， ∴，． 又∵为的中点， ∴该抛物线的对称轴为直线， ． 解得 故曲线所在抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）易知，， 所在直线的函数表达式为． 对，令，则，解得， 即点的横坐标为． 令，解得，（不合题意，舍去）． 点的横坐标为， ， ． （3）解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点． ，为的中点，，． 又， ． 由，，易得所在直线的函数表达式为． 设，其中，则， ， ， 即， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 30．（2025·辽宁营口·二模）已知函数，定义新函数． (1)若新函数的解析式为，求函数与的解析式； (2)在（1）条件下，点在函数上，过点作轴的平行线交函数的图象于点，且当时． ①若点重合，求的值； ②过点作轴的平行线交函数图象于点，函数，求函数关于的解析式（写出自变量的取值范围）；的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出面积的最大值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或2 ②；存在，面积的最大，最大值为 【分析】（1）根据求得，再根据，比较即可求得a、b值，从而求解； （2）①把代入和代入，从而得到，再解方程即可求解； ②先求出点A、B、C的坐标，从而求得、长，代入，即可求解；再根据，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：①∵点重合，， ∴， 把代入，得， 把代入，得， ∴， 化简整理，得， 解得：，． ∴m的值为或2， ②把代入，得， ∴， ∵轴交函数的图象于点， ∴， ∵轴交函数图象于点， ∴点纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴当时， ， 当时， ， ∴ ∵， ∴当时， ，， ∵，， ∴当时，，取得最大值，最大值为，最大值为， 此时，面积的最大，最大值； 当时， ， ， ∵，，对称轴为直线， ∴，有最小值，当时，，都随着m的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，都取得最大值， 最大值为2，最大值为6， ∴此时，面积的最大，最大值， ∵， ∴存在，面积的最大，最大值为． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 31．（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可解答； （2）求得点的坐标，得到的长度，即可解答； （3）过点作的平行线交直线于点，设的横坐标为，求得的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数解析式， 可得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为平行四边形， 根据勾股定理可得， ， 平行四边形为菱形； （3）解：设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点作的平行线交直线于点， 设点，则点， ， ， 当，即时， 的面积最大为． 32．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数，当自变量时，函数y的最大值为． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之间的二次函数图象上的两个动点，轴交直线于点M，轴交直线于点N，轴于点E，轴于点D，，求当P，Q两点不重合时，线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得对称轴为直线，则可推出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，；进而得到直线解析式为；设，则，则，可求出，， ，根据，可推出，据此可得答案； （3）求出，则，据此根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当自变量时，函数y的最大值为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P，Q两点不重合，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 33．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标． （1）利用交点式求抛物线解析式即可． （2）先将代入抛物线解析式得出点E坐标，将点E得出直线解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得出点F坐标，根据点M是线段的中点即可求出． （3）用题（2）的方法求出点的坐标（用含的式子表示），然后把四边形分割成几个三角形来求面积，再根据来求这个面积的最小值． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解方程组，得 抛物线的解析式为． （2）把代入，得， 点E的坐标是． 把点代入，得，， 直线的解析式是． 联立方程组得，， ，， 点M的坐标是． （3）把代入，得， 点C的坐标是，． ，点D的坐标是． 把与联立方程组，得， ，． 如图，连接． 四边形的面积为： ． ， 当时，四边形的面积有最小值，最小值为． 34．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，令，代入表达式求出即可得到，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称，即可求出，从而得到答案； （2）作轴交于，如图所示，设，数形结合，在平面直角坐标系中表示出的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）作直线交于，使得，作于交于，如图所示，数形结合得，利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1， 令，则，则， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ； （2）解：作轴交于，如图所示： 设， 直线的解析式为， ， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时； （3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示： 由（2）知点，， ， ， ，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 35．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，对称轴为，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则________ (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)90 (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得C的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点F，则，进而求得关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、B，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将A，B代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：90； （3）解：设直线的解析式为， 将点B，点C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点F， 则， ∴， ∴ 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形得对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点Q的横坐标为， 综上，点Q的横坐标为4或2或． 36．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最小值； (3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值． 【答案】(1) (2)10 (3)最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）：将，分别代入，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．证明四边形是正方形．则点O关于直线的对称点坐标为．连接，由是的垂直平分线得到，则（当点位于直线与直线交点时取等号），即可得到的最小值为． （3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．得到．设点，则，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入，得方程组 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）当时，，即，则， 作点O关于直线的对称点坐标为．连接、． ∵，， ∴平分， ∴垂直平分． 又∵垂直平分，且， ∴四边形是正方形． ∴点O关于直线的对称点坐标为． 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴（当点位于直线与直线交点时取等号）， ∴的最小值为． （3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．    ∵， ∴（同底等高）， ∴． 设点， 则， ， ． ∴， 即： ∴当时，有最大值，此时点的坐标为， 综上，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 37．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． (1)抛物线解析式为 ； (2)如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； (3)如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值是 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过点F作轴于点G，求出，待定系数法求出直线的解析式为，设点F的坐标为，则，根据得出当时，取最大值，根据面积一定，，当面积最大时，四边形面积的最大，求出最大值即可； （3）过点D作轴，截取，连接、，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点F作轴于点G，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点F的坐标为，则， ∴， ， ∵， ∴当时，取最大值， ∵面积一定，， ∴当面积最大时，四边形面积的最大， ∴四边形面积的最大值为． （3）解：存在；过点D作轴，截取，连接、，如图所示： 把代入的解析式得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 38．如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ． (2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值． (3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标． 【答案】(1)， (2)的最小值为 (3)点坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，令，即刻求解； （2）根据题意可得：、关于抛物线的对称轴对称，且是抛物线对称轴上的一点，得到当点在直线上，即时，最小，最小值为，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）如图，过点作，交轴于点，交于点，先求出直线的解析式为，设，则， 得到，再根据，得到关于的二次函数即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ，， 令，则， ， 故答案为：，； （2）二次函数的对称轴为：， 根据题意可得：、关于对称轴对称，且是抛物线对称轴上的一点， 当点在直线上，即时，最小，最小值为， 由（1）知，，， ，， ， 的最小值为； （3）如图，过点作，交轴于点，交于点， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 即， 当时，的面积最大， 此时点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，线段的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 39．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 40．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $