第1章 二次函数 学业质量自我评价-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

九年级数学XJ版下册 第1章 学业质量自我评价 （考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是 A.y=2x+1 B.y=(x-1)2-x2 C.y=(x+1)(x-1) D 2.函数y=一x2+1的图象大致为 3.二次函数y=一2x2一4x+1的图象的顶点坐标是 A.(1,3) B.(-1,3) C.(-1,-3) D.(1,-3) 4.若二次函数y=2(x一1)2一1的图象如图所示，则坐标原点可能是 A.点A B.点B C.点C D.点D D (1,n) 图① 图② 第4题图 第9题图 第10题图 5.二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于点(1,0)，(-3,0)，则关于x的方 程ax2一bx=5的根为 () A.x1=1,x2=3 B.=1,x2=-3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=1,x2=-5 6.若A(-是y),B(-吾)，C(分y)为二次函数y=+4-5图象上的 三点，则yy2,y的大小关系为 () A.y<y<y3 B.y2<y1<y3 C.ya<y<y: D.y<y<y 7.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2十mx十m2一m(m为常数)的图象经过点 (0,6),其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有 () A.最大值5 B.最大值安 C.最小值5 D,最小值要 8.对于一个函数，当自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点. 若关于x的二次函数y=一x2一10x十m(m≠0)有两个不相等的零点x1,2(x <x2),关于x的方程x2+10x一m一2=0有两个不相等的非零实数根x,x(x <x),则下列关系式一定正确的为 () A.0<4<1 B.4>1 C0<2<1 D.>1 Xa 137 9.如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的顶点为(1，n),与x轴的一个交点为B(3, 0),与y轴的交点在(0，-3)和(0，-2)之间.有下列结论：①>0：@-2<b< 一3：③(a十c)2-6=0:④2c-a<2.其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图①，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE,交CD于点F,设点E的运动路程 为x,FC=y,如图②所示的是y与x的函数关系的大致图象.当点E在BC上 运动时，FC的最大长度是号，则矩形ABCD的面积是 () A.20 B.16 C.65 D.8/5 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.把函数y=(2-3x)(6-x)化成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式是 12.抛物线y=kx2一5x十2与x轴有交点，则k的取值范围是 13.将抛物线y=x2十6x十6向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到抛物线的表达式为 14.已知关于x的二次函数y=m.xm-m6,当x>0时，y随x的增大而增大，则m 15.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所 示，则m的值为 -4 -3 -2-1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 m 12 16.廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示的是某座抛物线形的廊桥示意图.已知 的函数表达式为y号十10，为保护廊桥的安全，在 水面AB高为8m的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 m. B OMON 第16题图 第17题图 第18题图 17.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方 形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm,则花圃面积最大为 m. 18如图，已知AAA是抛物线y=号r+1(x>0)上的三点，且A,A,A三 点的横坐标为连续的整数.连接AA,过点A,A2,A分别作垂线垂直于x 轴，垂足分别为M,Q,N,反向延长AQ,交A1A于点P,则线段PA2的长为 三、解答题（本大题共8个小题，第19,20题每小题6分，第21,22题每小题8分， 第23,24题每小题9分，第25,26题每小题10分，共66分) 19.已知y=(m-2)xm-m-1是关于x的二次函数.求满足条件的m的值. 20.已知二次函数y=x2一2x一3. y个 (1)请你将函数表达式化成y=(x-h)2+k的形式， 并在右图的平面直角坐标系中画出y=x2一2x-3的 图象； (2)利用(1)中的图象直接写出方程x2一2x一1=0的 04 根（精确到0.1）. 21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2, -3),C(0,3). (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出这条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减变化情况及 最值. 22.把抛物线C:y=x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位 长度得到抛物线C2. (1)直接写出抛物线C2的函数表达式； (2)动点P(a,一6)是否可能在抛物线C上？若可能，请求出a的值；若不可 能，请说明理由. 138 23.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y),N(x2,2)是抛物线y=ax2+bx十c(a> O)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=t. (1)若对于=1,2=2，有y=y2,求t的值； (2)若对于0<1<1,1<x2<2,都有y<y2,求t的取值范围. 24.图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹可看作是抛物线的 一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步.”其蕴含了物 理中的“杠杆原理”.在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡 OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处投出，在斜坡上的 点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐 标是(50,25)，OC=5,OD=75,AD=12,AB=9. (1)求抛物线的表达式： (2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB. 3 B A 50 D 图① 图② 139 25.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格 不低于22元/kg,不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(单位：kg) 与销售价格x(单位：元/kg)之间的函数关系如下图所示. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当销售价格为多少时，该商店销售这款食品每天获 48 40--. 得的销售利润最大？最大销售利润为多少？〔销售利润 =(销售价格一采购价格)×销售量〕 10 0 223045元 26.(2024成都模拟)如下图，直线y=-2x+10分别与x轴、y轴交于A,B两点， C为OB的中点，抛物线y=x2+bx十c经过A,C两点. (1)求抛物线的函数表达式： (2)D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为号，求点D的 坐标； (3)P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到 抛物线的对称轴的距离. 140第1章学业质量自我评价 1.C2.B3.B4.A5.B6.B7.D8.A9.B10.A 1.y=3x-20x+1212.k<岁且k≠0 13.)=x+12x+3114,415.516.1817.3618.2 19.解：根据题意，得m2一2m-1=2且m一2≠0，即m2一2m一 3=0且m≠2，解得1=-1,2=3. 故满足条件的m的值为一1或3. 20.解：(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,函数图象如图所示. (2)x1≈-0.4，x2≈2.4. 9a+3b+c=0, fa=2, 21.解：(1)由题意，得4a十2b+c=-3,解得b= c=3, 3 .抛物线的表达式为y=2x2-7x十3. (2)这条抛物线的开口向上，对称轴是直线x= 4,顶点坐 标是（子空） 当x<子时，y随x的增大面减小： 当x>时，y随x的增大而增大： 当=子时y取得最小值，最小值为一怎 22.解：(1)抛物线C2的函数表达式为y=(x-3)2-3. (2)动点P(a,一6)不可能在抛物线C2上，理由如下： :抛物线C2的函数表达式为y=(x-3)2-3, .函数的最小值为一3. :-6<一3，∴.动点P(a,-6)不可能在抛物线C2上. 23.解：(1)对于x1=1,x2=2,有y1=y2, a+b+c=4a+2b+c,∴3a+b=0, 3 a b3 3 :对称轴为直线x=一a=立心=立 2)0<<11<2<2<号< 2 y<y2,a>0,.点M(x1,y)离对称轴更近， M(x1y)与N(x2y)的中点在对称轴的右侧， >… 2 24.解：(1)抛物线的顶点坐标为(50,25)， .设抛物线的表达式为y=a(x-50)2+25. 将C(0,5)代人，得5=2500a+25,解得a=1 六抛物线的表达式为y=一1x-50)2+25. （2)把=5代入y=一安一50+25，得y=20 :BD=AD+AB=12十9=21，而20<21， ,石块不能飞越城墙AB. 25.解：(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y=kx十b. 将(22,48，(30,40代人，得22k+b=48, 130k+b=40, 解得伦承做表达式为y=一十0： 当30<x≤45时，设函数表达式为y=mx十n. 格(30,40).45,10代入.科0十二0解得/m一2 (n=100, .函数表达式为y=一2x十100.综上所述，y关于x的函数 一x十70(22≤x30), 表达式为y={-2x+100(30<x≤45). (2)设利润为w元，当22≤x≤30时，=(x-20)(-x+70) =-x2+90x-1400=-(x-45)2十625. .当22≤x≤30时，w随着x的增大而增大， ∴.当x=30时，取得最大值，最大值为400； 当30<x≤45时，w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x -2000=-2(x-35)2+450, .当x=35时，m取得最大值，最大值为450. :450>400,∴.当销售价格为35元/kg时，每天获得的销售 利润最大，最大销售利润为450元. 26.解：(1)直线y=-2x十10中， 令x=0,则y=10;令y=0,则x=5, .A(5,0),B(0,10). C是OB的中点，.C(0,5) 将A(5,0)和C(0,5)代入抛物线y=x2十bx十c中， 0=25+56十c”解得6=。6， 5=c, lc=5, 抛物线的表达式为y=x-6x十5. (2y一’解得{，。’或C一5， v=x2-6x+5, y=0, ∴.直线AB与抛物线交于点F(-1,12)和点A(5,0). :D是直线AB下方抛物线上的一点，.设D(m,m-6m 十5)，且-1<m<5.如图①， 过点D作DE⊥x轴，交直线AB于 点E,.E(m,-2m+10), .DE=-2m+10-m2+6m-5= -m2十4十5，.S△BD= DE=合×5(-m+m十5)=号， 解得m=2,.点D的坐标为(2，一3) (3)设点P(n,n-6n十5). ,△APB是以AB为直角边的直角 三角形，A(5,0),B(0,10), 图① .AP2=(n-5)2+(n2-6n+5)2,BP2=n2+(2-6n+5 10)2,AB=125.分下列两种情况讨论： ①如图②，当A为直角顶点时，BP=AB十AP, 解得刀=号或”=5（舍去）， 图② 图③ ②如图③，当B为直角顶点时， AP=AB+BP,解得m=18+2或13-2型 4 4 :抛物线的对称轴为直线x=3,3一 8=3.13+249 2 4 下册参考答案 193 -3=249+1,3-13-249=249-1, 4 综上所述，点P到抛物线的对称轴的距离为号或+ 4 或V249-1 4 第2章学业质量自我评价 1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.A8.C9.A10.A 11.相交12.10π13.2π14.3cm或5cm15.5π16.27 17.3379218.①③④ 19.解：过点O作O℃⊥AB于点C,如图， .OC⊥AB,AB=18m, AC=分AB=9m 24 .OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°， ∠0AC=180-A0B=30,0C=合0A 2 在Rt△OAC中，.OA2=OC2+AC, ∴0A=(20A）+g,0A=65m, S=240mX6/B)2=72x(m). 360 20.解：如图，连接OC AP:PB=1:5, 设AP=x,则PB=5x, ..AB=AP+PB=6x, .PO=2x,OC=3x. ABLCD.CD-10,:.PC-PD-CD-5, 在Rt△POC中，OC=PC+POY, 即(3x)2=52十(2x)2, 解得x=√5，x2=一√5（不合题意，舍去）， .OC=3√5，.⊙0的半径为3√5. 21.解：（答案不唯一）(1)如图①，∠P即为所求 (2)如图②，∠CBQ即为所求。 图① 图② 22.解：(1)证明：FC=BC,∠FAC=∠BAC. .OA=OC,.∠OAC=∠OCA,.∠FAC=∠OCA, ∴.OC∥AF. ,CD⊥AF,.CD⊥OC ,OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线 (2)如图，连接BC,∴∠ACB=90°. ∠CAD=30°， .∠BAC=∠CAD=30°， ∴.∠BOC=2∠CAD=60°， ∴.∠A0C=180°-60°=120° CD⊥AD,∠CAD=30°，CD=√3， AC=2CD=23,.AB=_AC c0s30=4, 0A=2,AC的长=120xX2=4 180 3π 23.解：(1)A(0,8),B(0,2), .OA=8,OB=2,.AB=6 如图，连接PC,PB,过点P作PH⊥AB于点H, 194 九年级数学XJ版 AH=BH=号AB=3,OH=5. ⊙P与x轴相切于点C,∴PCLx轴， ∴∠PHB=∠PCO=∠COH=90°， .四边形PCOH是矩形，.PC=OH=5,.PB=5. 在Rt△PHB中，PH=JPB-BH=4, .点P的坐标为(4,5). (2)如图，连接AP并延长交⊙P于点M, 连接BM,则∠ABM=90°， ∴.BM=√JAM-AB=√102-6=8， ·cOS∠ACB=cOS∠AMB= AM 24.解：(1)证明：连接OE,OD,如图. :∠C=90,AC=BC, .∠OAD=∠B=45. .OA=OD. .∠OAD=∠ADO=45°， .∠AOD=90°. E是弧DF的中点， ·∠DOE=∠EOF=∠DOF=45, .∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°，∴.OE⊥BC OE是⊙O的半径，∴.BC是⊙O的切线 (2)OE⊥BC,∠B=45°， ∴△OEB是等腰直角三角形. 设BE=OE=x,则OB=√2x, .AB=x十2x :AB=√2BC,∴x十√2x=√2(W2+x),解得x=2, Sa=5-Sam-7×2X2-45XX2-2-号 360 故阴影部分的面积为2-受。 25.解：(1)证明：∠BDE和∠BCE都是BE所对的圆周角， ∴∠BDE=∠BCE ∠ACB=90°，CE⊥AB, 则∠BCE+∠ACE=90°=∠A十∠ACE, ∠BCE=∠A,.∠BDE=∠A. (2)如图，记CE,AB的交点为G, 由勾股定理，得AC=√AB-BC=8, :CD=号AC=4: 由勾股定理得，BD=√BC+CD= 2/13. SAABC= AB.CG=ACBC, ÷×10cG=}×8X6,解得CG-号. G=-cG=是 :∠CEB和∠CDB都是BC所对的圆周角， ∴.∠CEB=∠CDB, 18 n∠CEB=nCDa-部-器，即是2市】 6 解得BE=6区，BE的长为6区 5 5 26.解：(1).a=1,=-1, ∴二次函数的表达式为y=x2+bx-1,