专题04 立体几何中必考七类截面、交线问题（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题04 立体几何中必考七类截面、交线问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 截面作图】 2 【类型2 判断截面图形的形状】 8 【类型3 球的截面问题】 12 【类型4 截面图形的周长或面积问题】 17 【类型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 23 【类型6 交线及其长度、轨迹问题】 29 【类型7 截面的最值与范围问题】 36 知识点1 立体几何中的截面问题 1．截面问题的基本知识 (1)截面的相关定义 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. (2)作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面. 2．作截面的具体步骤 (1)找截点：方法一：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式；方法二：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点； (2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线； (3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面. 3．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 4．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 知识点2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略 1．立体几何截面问题的求解方法 几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 2．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【类型1 截面作图】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【解题思路】分截面经过圆柱上下底面的圆心和截面不经过圆柱上下底面的圆心两种情况，分别讨论，进而可得出答案. 【解答过程】当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确； 故选:D. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【解答过程】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由球与三棱锥的各面均相切的特征，结合截面三角形的形状，对照选项进行判断. 【解答过程】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B； 而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线， 且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C． 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程.（不用证明） 【答案】作图见解析 【解题思路】利用平面的基本性质，由两平面的两个公共点确定两平面的交线，逐次确定截面所在平面与正方体棱的交点，即可得到截面. 【解答过程】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【解题思路】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【解答过程】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 6．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接，利用平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由于三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积； （2）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果. 【解答过程】（1）如图，取的中点，连接. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以四点共面. 因为三点不共线，所以四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 截面为梯形，， ，， 同理可得， 如图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 所以， 故梯形的面积为 （2）易知多面体为三棱台，， ， 该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为． 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．   【类型2 判断截面图形的形状】 7．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【解题思路】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【解答过程】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【解答过程】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D. 9．（2025·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解题思路】在上取点，且，取中点为，在上取点，且.通过，可得，进而得出，.通过证明，得出.同理得出，即可得出正方体的截面图形. 【解答过程】 在上取点，且，取中点为，连接. 在上取点，且，连结. 因为，， 所以，所以. 又，所以，所以， 所以，. 因为分别为的中点，所以，且. 根据正方体的性质，可知，且， 所以，，且， 所以，四边形是平行四边形， 所以，，所以. 同理可得，. 所以，五边形即为所求正方体的截面. 故选：B. 10．（2025高一·全国·专题练习）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是____________．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形． 【答案】①② 【解题思路】用一个平面去截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解. 【解答过程】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形； 按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形，截面形状不可能为五边形. 故答案为：①②. 11．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是____________，截面的面积是____________． 【答案】等腰梯形； 【解题思路】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积. 【解答过程】如图，取的中点，连接，，，，， 因为，，故，且． 则截面为梯形，且为等腰梯形， ，可得梯形的高为，所以梯形的面积为． 故答案为：等腰梯形；. 12．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线面平行的性质即可推出截面为平行四边形. （2）首先确定截面面积取最大值时的点的位置，然后根据边角关系和基本不等式的性质可求得截面面积的最大值. 【解答过程】（1）由题意知，平面，平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 所以截面为平行四边形. （2）因为成角为60°，所以或，设， 因为，， 所以，由，得. 所以平行四边形的面积为. 当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大为. 【类型3 球的截面问题】 13．（25-26高三上·河北·月考）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设截面圆的半径为，球的半径为，根据截面圆的面积求得，利用球的截面性质求，再利用球的表面积公式求结论. 【解答过程】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 14．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【解答过程】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C. 15．（24-25高一下·安徽·月考）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接、交于，连接，求出，，可得点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，求出截面圆的面积即可． 【解答过程】连接，交于，连接，则底面且是中点， ，， 所以到，，，，的距离均为，点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，分析可知，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为． 故选：C．    16．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为____________． 【答案】 【解题思路】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【解答过程】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 17．（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径为10 ，若它的一个截面圆的面积为 ，求球心与截面圆圆心的距离（）. 【答案】8 【解题思路】根据球心到球的截面圆圆心的连线垂直于圆面的性质即可得解. 【解答过程】    如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R. 由图易得与圆面垂直， 在中，由可得 ，又 ， 所以 ()，即球心与截面圆圆心的距离为8 . 18．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面．其中． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面圆的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）由平面可得，由条件易得，根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作于点，连接，由平面可推出即二面角的平面角，在中，利用三角函数定义即可求得答案； （3）先求得球的半径为，设点到平面的距离为，则得点到平面的距离为，利用余弦定理求出相关边与角，根据求得，接着利用球的截面圆性质求出截面圆面积的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其最小值. 【解答过程】（1）因是圆的直径，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面. （2）过点作于点，连接， 由（1）平面，平面，则， 因平面，故平面， 又平面，则， 即即二面角的平面角， 因在中，由面积相等可得， 则，则. （3）因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，由余弦定理，， 则，则， 在中，，则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则， 则， 因，故当时，. 【类型4 截面图形的周长或面积问题】 19．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解答过程】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B. 20．（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【解答过程】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 21．（2025·全国·模拟预测）正方体的棱长为4，点M在棱上，平面ACM把正方体分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体所得的截面周长为（   ） A． B． C． D．15 【答案】A 【解题思路】设平面与棱交于点，则，设，由棱台的体积求得，进而可求得截面周长. 【解答过程】设平面与棱交于点，则，几何体是三棱台， 由题意知该三棱台体积为14．设，则， 解得，平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ，，，所以截面的周长为. 故选：A． 22．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是____________. 【答案】 【解题思路】首先确定截面的位置和特征，然后根据已知条件中的线段和角的关系求截面的周长即可. 【解答过程】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故答案为：. 23．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【解题思路】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【解答过程】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 24．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点. (1)求证：平面平面； (2)若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，截面面积 【解题思路】（1）根据中位线得到线线平行，根据线面平行的判定定理得线面平行，再根据面面平行的判定定理可得面面平行. （2）取的中点H，连，可证四边形为平行四边形，从而可得就是交线，求出和上的高，可得截面面积. 【解答过程】（1）连，如图：    因为E、F分别是BC、DC的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 因为E、G分别是BC、SC的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 因为，且平面EFG，平面EFG， 所以平面平面. （2）取的中点H，连， 因为与HE交于正方体的中心，且互相平分，所以四边形为平行四边形， 则就是截面与正方体的交线， 过C作AE的延长线的垂线CM，垂足为M，连， 因为平面ABCD，面，所以， 因为且都在面内，所以平面， 又面，所以， 所以， 所以， 所以截面面积为. 【类型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 25．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【解答过程】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 26．（2025·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系． 【解答过程】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为， 所以，， 可得. 故选：D. 27．（2025·江苏南通·三模）已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过构造平行截面展现空间想象能力，先由重心分割比例，来证明所分成的两个几何体中，有一部分是棱柱．然后利用台体体积和柱体体积公式来求解即可. 【解答过程】 根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积， 过O作分别交AB，BC于点E，F， O为的重心，， 且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱， 设此正棱台高为， 则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为， 故选：B． 28．（24-25高二·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为____________． 【答案】 【解题思路】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到，即可求出上下两部分的面积之比. 【解答过程】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L， 被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l， 因为 ，即有， 又因为，所以，即有，且， 而， 故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为. 故答案为：. 29．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 【答案】(1)作图见解析 (2)小几何体与大几何体的比值为 【解题思路】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【解答过程】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面， 平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. 30．（24-25高一下·河北廊坊·月考）如图正方体的棱长为2，是线段的中点，平面过点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤； (2)求（1）中截面多边形的面积； (3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值. 【答案】(1)截面见解析，理由或作图步骤见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）取的中点，连接，利用平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由于三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面； （2）分析可知，四边形为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积； （3）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果. 【解答过程】（1）如图，取的中点，连接. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以四点共面. 因为三点不共线，所以四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. （2）由（1）可知，截面为梯形，， ，， 同理可得， 如图所示： 分别过点在平面内作，，垂足分别为点， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 所以， 故梯形的面积为. （3）多面体为三棱台，，， 该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为. 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为. 【类型6 交线及其长度、轨迹问题】 31．（2025·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【解答过程】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D．    32．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（    ） A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形， 【答案】B 【解题思路】根据题意作出截面可判断截面形状，得出截面与侧面的棱相交，并计算出其位置即可求得交线长. 【解答过程】设中点为，连接，是中点，底面， 连接，并延长交的延长线于，又是中点，所以≌， 则，过点作，且交的延长线于，与的延长线交于R， ∽，则，所以，， 连接交于G，所以∽，即， 其中，故，又，则， ， 所以截面与侧面的交线为， 延长交的延长线于，连接交于H，并延长交的延长线于K， 连接交于I，所以截面为六边形， 故选：B. 33．（24-25高二下·四川内江·开学考试）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解题思路】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【解答过程】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 34．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知正方体的棱长为，以为球心，为半径的球面与该正方体不含顶点的三个面的交线总长度为，则____________. 【答案】1 【解题思路】根据正方体体对角线和面对角线的长度判断球面与正方体的交点位置，由球的截面性质求出截面圆的半径，利用弧长公式求解可得. 【解答过程】由，，有， 可知球仅与正方形，，表面相交，且交线长都相等. 设点在球与正方形的表面的交线上， 有，有， 可得点在以为圆心，为半径的圆上， 设该圆与正方形的交点分别为、（点在上，点在上）. 又由，可得，同理可得. 又由，可得， 所以每个表面上的圆弧所对的圆心角均为，则每个圆弧的长度为， 可得球面与该正方体表面的交线的长度为， 由已知，所以. 故答案为：. 35．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【解答过程】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 36．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【解题思路】（1）先用线面平行证明面面平行，然后利用线面垂直作出与平面所成的角,在直角三角形中求出该角正弦值，最后利用面面平面，得出该正弦值即为所求； （2）通过作图得出截面与平面的交线，然后利用平行确定共面，最后得证. 【解答过程】（1）证明：因为是中点，是中点，所以，又，所以 又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，平面 所以平面平面 ； 因为 平面,平面， 所以平面，则就是与平面所成的角， 又平面平面，所以就是直线与平面所成角. 因为在直角梯形中，，所以 在中，， 所以 , 即直线与平面所成角的正弦值为. （2） 延长交于点连接，延长与交于点， 因为由分别为中点，所以，所以， 所以是中点，取中点，则就是所求的直线 理由如下：由以上作图过程可知，是中点，是中点， 所以,即，又 所以，所以四点共面， 所以平面，又平面 所以平面平面，所以就是所求的直线 【类型7 截面的最值与范围问题】 37．（24-25高三下·重庆南岸·月考）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【解答过程】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为. 故选：C. 38．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】过作，交于，连接，取的中点，连接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形，根据边长关系求出梯形的面积即可得到答案. 【解答过程】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得， 过作，交于，连接，取的中点，连接，    设 ， ①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为， ②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 因为，分别为，的中点，所以，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且 则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形 在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，，，则，则 过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下;    则，，，， 设，则 所以，，因为， 化简可得：，则， 所以， 因为当，所以，则， 综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为 故选：A. 39．（2025·湖南·模拟预测）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解. 【解答过程】连接，，由， 可知：和是等边三角形， 设三棱锥外接球的球心为， 所以球心到平面和平面的射影是和的中心，， 是等边三角形，为中点， 所以，又因为侧面底面，侧面底面， 所以底面，而底面，因此，所以是矩形, 和是边长为的等边三角形， 所以两个三角形的高， 在矩形中，，连接， 所以， 设过点的平面为，当时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形， ， 因此圆的半径为：，所以此时面积为， 当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：， 所以截面的面积范围为. 故选：A． 40．（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【解答过程】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为：. 41．（24-25高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【解答过程】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 42．（25-26高二上·四川内江·月考）在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， 求证：四边形的周长为定值； (3)若且截面是矩形，求截面面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由线面平行的性质可得、，由平行的传递性得，同理有，即可证结论； （2）设，计算出和的长度，再由的周长为，即可证结论； （3）由（2）可知，，，则矩形的面积为，根据二次函数性质求解最大值即可． 【解答过程】（1）由平面，平面平面，且平面， 所以，同理，所以，同理， 因此，截面四边形为平行四边形. （2）由（1）知：，设， 所以，而， 又，则， 故， 综上，， 故平行四边形的周长为定值． （3）由（1）知：四边形是平行四边形，若四边形是矩形，则， 因为，，所以， 由（2）知设，， 所以，， 所以矩形的面积为， 由可知，当时，矩形的面积有最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何中必考七类截面、交线问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 截面作图】 2 【类型2 判断截面图形的形状】 5 【类型3 球的截面问题】 6 【类型4 截面图形的周长或面积问题】 8 【类型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 9 【类型6 交线及其长度、轨迹问题】 11 【类型7 截面的最值与范围问题】 13 知识点1 立体几何中的截面问题 1．截面问题的基本知识 (1)截面的相关定义 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. (2)作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面. 2．作截面的具体步骤 (1)找截点：方法一：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式；方法二：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点； (2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线； (3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面. 3．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 4．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 知识点2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略 1．立体几何截面问题的求解方法 几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 2．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【类型1 截面作图】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 2．（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程.（不用证明） 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 6．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【类型2 判断截面图形的形状】 7．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 9．（2025·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 10．（2025高一·全国·专题练习）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是____________．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是____________，截面的面积是____________． 12．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【类型3 球的截面问题】 13．（25-26高三上·河北·月考）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·安徽·月考）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为____________． 17．（2025高二上·上海·专题练习）已知球的半径为10 ，若它的一个截面圆的面积为 ，求球心与截面圆圆心的距离（）. 18．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面．其中． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面圆的面积为，求的最小值． 【类型4 截面图形的周长或面积问题】 19．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 20．（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·全国·模拟预测）正方体的棱长为4，点M在棱上，平面ACM把正方体分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM截正方体所得的截面周长为（   ） A． B． C． D．15 22．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是____________. 23．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 24．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点. (1)求证：平面平面； (2)若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积. 【类型5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 25．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 26．（2025·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏南通·三模）已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为____________． 29．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 30．（24-25高一下·河北廊坊·月考）如图正方体的棱长为2，是线段的中点，平面过点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤； (2)求（1）中截面多边形的面积； (3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值. 【类型6 交线及其长度、轨迹问题】 31．（2025·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（    ） A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形， 33．（24-25高二下·四川内江·开学考试）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 34．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知正方体的棱长为，以为球心，为半径的球面与该正方体不含顶点的三个面的交线总长度为，则____________. 35．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 36．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【类型7 截面的最值与范围问题】 37．（24-25高三下·重庆南岸·月考）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 39．（2025·湖南·模拟预测）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为____________. 41．（24-25高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 42．（25-26高二上·四川内江·月考）在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， 求证：四边形的周长为定值； (3)若且截面是矩形，求截面面积的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $