学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷02（全国通用，范围：人教A版必修第二册第6～8章）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 3．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 5．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 6．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 8．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 10．已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面平面PBM C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若，则直线CM与平面PAM所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    13．如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 14．（新情境）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 16．（15分） 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 17．（15分） 如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 19．（17分） 已知三维向量，其中是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系：，，，，. (1)当时，直接写出向量； (2)是否存在，使得，其中，若存在，请给出一组符合条件的三维向量；若不存在，说明理由； (3)证明：存在，当时，向量满足. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D C B P D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 3．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 5．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 6．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 8．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 10．已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面平面PBM C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若，则直线CM与平面PAM所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    13．如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 14．（新情境）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 16．（15分） 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 17．（15分） 如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 19．（17分） 已知三维向量，其中是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系：，，，，. (1)当时，直接写出向量； (2)是否存在，使得，其中，若存在，请给出一组符合条件的三维向量；若不存在，说明理由； (3)证明：存在，当时，向量满足. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【详解】依题意，， 所以z的虚部是1. 故选：D 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】直观图矩形的面积，则原图面积， 故选：D． 3．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 4．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 5．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 6．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，相交于点，连接，则， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以就是直线和BN所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 由余弦定理得. 故选：C. 7．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系： 因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以， 设，，则， 所以，故， 又因为，所以， 所以，故，， ，因为，所以 即的最大值与最小值的差为. 故选：D. 8．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，正弦定理知道，且， 解得．在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【详解】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 10．已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 【答案】BC 【详解】∵点为的中点，，，∴，，. 又，∴. 取的中点，的中点，连接，，如图所示. 则由向量的加法法则可知：，，∴，. ∴，，三点共线，，，三点共线，∴点为中线和的交点，即是的重心，故选项A错误，选项B正确； 又，故选项C正确； ∵，∴，故选项D错误. 故选：BC. 11．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面平面PBM C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若，则直线CM与平面PAM所成角为 【答案】ABD 【详解】对于A，平面平面， 平面平面平面平面， 又平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确； 对于C，设平面平面，假设底面， 平面平面，平面平面， ，则与重合，则， 显然不成立，则假设不成立，故C错误； 对于D，由A知平面，在矩形中，， 直线与平面所成的角为，在中，，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    【答案】1 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为：1. 13．如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 【答案】①③ 【详解】对于①，因为，平面，平面， 所以平面，所以①正确， 对于②，延长到，使，连接，如图， 因为为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确； 对于③，连接交于，连接，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以③正确， 故答案为：①③ 14．（新情境）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 16．（15分） 锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 17．（15分） 如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （2）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：， 取的中点，连接， ，，，四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面； （2）由（1）知平面平面，所以平面平面． （3）平面平面，又， 为二面角的平面角． 在中，， . 19．（17分） 已知三维向量，其中是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系：，，，，. (1)当时，直接写出向量； (2)是否存在，使得，其中，若存在，请给出一组符合条件的三维向量；若不存在，说明理由； (3)证明：存在，当时，向量满足. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，根据题意可得，，， ，，，， 所以，所以从开始，周期为，又， 所以； （2）假设存在，使得中， 设， 所以，，， 不妨设，则由，，， 由， 可得，解得，即， 以此类推，可得，，，， ，这与是两两不相等的正整数矛盾， 故假设不成立，所以不存在，使得中； （3）设三个数中最大的为，记作， 因为，，，， 所以，， 若单调递减，由可得存在，使得， 由（2）的证明可得，这与题设矛盾， 所以不可能单调递减，即存在，使得， 根据的定义，可得中三个数中必有0， 假设三个数中有两个为0，显然， 不妨设，，则，，即，这与矛盾，舍去； 假设三个数中有三个为0，显然，通过（2）已经证明不成立； 故三个数中只有一个数为0， 不妨设，则， 设，所以，即 ，， 故，则，， 所以存在，当时，向量满足. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A A B C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13．①③ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）若，则，即， 解得.（5分） （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中，（8分） 当时，取得最小值，，（10分） 当时，取得最大值，，（12分） 所以的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以，（4分） 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得.（6分） （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ，（10分） 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则，（13分） 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面.（7分） （2）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，，（10分） 在中，，（11分） 在中，，（12分） 在中，，（13分） 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：，（3分） 取的中点，连接， ，，，四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以，（6分） 又因为平面平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面；（8分） （2） 由（1）知平面平面，所以平面平面．（11分） （3） （3）平面平面，又， 为二面角的平面角．（13分） 在中，， .（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，根据题意可得，，， ，，，， 所以，所以从开始，周期为，又， 所以；（4分） （2）假设存在，使得中， 设， 所以，，，（6分） 不妨设，则由，，， 由， 可得，解得，即，（8分） 以此类推，可得，，，， ，这与是两两不相等的正整数矛盾， 故假设不成立，所以不存在，使得中；（10分） （3）设三个数中最大的为，记作， 因为，，，， 所以，，（11分） 若单调递减，由可得存在，使得， 由（2）的证明可得，这与题设矛盾， 所以不可能单调递减，即存在，使得，（13分） 根据的定义，可得中三个数中必有0， 假设三个数中有两个为0，显然， 不妨设，，则，，即，这与矛盾，舍去；（14分） 假设三个数中有三个为0，显然，通过（2）已经证明不成立； 故三个数中只有一个数为0，（15分） 不妨设，则， 设，所以，即 ，， 故，则，， 所以存在，当时，向量满足.（17分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $