学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷02（全国通用，范围：人教A版导数+计数原理+随机变量及其分布）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章导数+选择性必修第三册第6-7章计数原理+随机变量及其分布。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 3．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 4．设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A 5．下列说法中正确的是（   ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ③；． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【详解】对于①，因为随机变量服从二项分布， 所以，故①正确； 对于②，小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游， 每人只去一个景点有种方案， 4个人去的景点互不相同且小赵独自去一个景点有种方案， 所以， 小赵独自去一个景点有种方案，所以， 所以，故②正确； 对于③，因为，故③错误. 综上可知，①②正确，③错误. 故选：A 6．的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【详解】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 7．已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，， 当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减. 又， 所以的图象在处的切线方程为，此时. 同时，，因此在时恒成立， 直线是曲线的切线，则， 结合图象可知，当时，不恒成立. 当时，，恒成立. 当时，，因此，所以的最大值为. 故选：A 8．奇偶归一猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘3再加1，如果它是偶数，则将它除以2，如此循环，最终都能够得到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，已知，且均不为1，记的最大值为的最小值为，则（    ） A．122 B．124 C．123 D．96 【答案】C 【详解】由数列满足， 且均不为1，得， 即有的前7项为；或 或或. 综上，的最大值为的最小值为， 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量X和Y，其中，且，若X的分布列如下表： X 1 2 3 P m n 则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由随机变量的分布列，可得，即 又由，且，可得，可得， 所以，即， 联立方程组，解得，所以A错误，B正确； 又由，所以C错误； 因为，所以D正确. 故选：AC. 10．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ）    A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】AD 【详解】对于A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确； 对于B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误； 对于C，第行的第个数为， ，C错误； 对于D，， 则是展开式中项的系数， 而，展开式中项的系数为， 因此，D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为______ 【答案】 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为_____ 【答案】 / 【详解】设甲盒子中球总数为，则乙盒子中球总数为，丙盒子中球总数为 则从三个盒子中各随机取一个球， 该球为甲盒子中的概率为， 该球为乙盒子中的概率为， 该球为丙盒子中的概率为. 甲盒子取到黑球的概率， 乙盒子取到黑球的概率， 丙盒子取到黑球的概率， 显然相互独立， 所以从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为. 由全概率公式可知，将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为. 故答案为：；. 14．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知 (1)当时，求的展开式中含的项； (2)若的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求的展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， 当时，，当时，， 则含的项为. （2）由题意得的展开式中第项，倒数第2项的系数为，倒数第3项的系数为，倒数第4项的系数为， 则有，化简得， 变形得，得，解得或， 因为，所以， 此时，设最大项为第项， 可得，解得， 所以，则系数最大的项为第七项且第七项为. 16．（15分） 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【详解】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 17．（15分） “一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为， ，则，得或（舍）， 故. （2）①由题知的可能取值为 ，， ，. 故的分布列为： ②取出个城市全为超大城市，共有种情况,取出个城市全为小城市，共有种情况. 取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为. 18．（17分） 已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 19．（17分） 牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解．对于函数，已知，并取作为r的初始近似值． (1)计算与的值； (2)求出和的关系（）； (3)设，，若关于x的方程的两个根分别为，（），证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）函数，求导得， 函数在处切线方程为： 依题意，，当时，， 同理，而，所以. （2）由（1）得到在处切线方程为： 令，得和的关系为. （3）由（2）知，，则， 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时函数取得最大值，， 又时，，时，， 因此当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为， 下面证明：， 设，求导得， 当时，；当，时， 函数在上单调递增，； 在上单调递减，， 则当时，，即（当且仅当或时取等号）， 又，则，解得； 下面证明当时，， 设，由，，得，当且仅当时取等号， 而，则，解得， 所以. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D A A D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AB AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意知，（3分） 当时，，当时，， 则含的项为.（5分） （2）由题意得的展开式中第项，倒数第2项的系数为，倒数第3项的系数为，倒数第4项的系数为， 则有，化简得， 变形得，得，解得或，（8分） 因为，所以，（9分） 此时，设最大项为第项， 可得，解得，（12分） 所以，则系数最大的项为第七项且第七项为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， （2分） 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为.（4分） （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为，（6分） 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为，（8分） 因，所以丁同学的说法错误.（9分） （3）解：由题意得，甲被录取的概率为，（10分） 乙被录取的概率为，（11分） 丙被录取的概率为，（12分） 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， ,（13分） 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 （14分） 所以数学期望..（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为，（2分） ，则，（4分） 得或（舍），（6分） 故.（7分） （2）①由题知的可能取值为 ，， ，.（10分） 故的分布列为： （12分） ②取出个城市全为超大城市，共有种情况,（13分） 取出个城市全为小城市，共有种情况.14 取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）函数的定义域是（1分） .（2分） 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减；（3分） 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间；（4分） 当时，由，得或，由，得，（5分） 此时在和上单调递增，在上单调递减；（6分） 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减；（7分） （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解（8分） ∵当时，，∴有解，（10分） 令，则.（11分） ∵， ∴在上单调递减，∴，（13分） ∴，即，（15分） ∴实数a的取值范围.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）函数，求导得，（1分） 函数在处切线方程为：（2分） 依题意，，当时，，（3分） 同理，而，所以.（4分） （2）由（1）得到在处切线方程为：（5分） 令，得和的关系为.（6分） （3）由（2）知，，则，（7分） 函数，求导得，（8分） 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时函数取得最大值，，（10分） 又时，，时，， 因此当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为，（12分） 下面证明：， 设，求导得，（13分） 当时，；当，时， 函数在上单调递增，； 在上单调递减，，（15分） 则当时，，即（当且仅当或时取等号）， 又，则，解得；（16分） 下面证明当时，， 设，由，，得，当且仅当时取等号， 而，则，解得， 所以.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章导数+选择性必修第三册第6-7章计数原理+随机变量及其分布。 第一部分（选择题 共58分） 1．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 4．设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（   ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ③；． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 6．的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 7．已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．奇偶归一猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘3再加1，如果它是偶数，则将它除以2，如此循环，最终都能够得到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，已知，且均不为1，记的最大值为的最小值为，则（    ） A．122 B．124 C．123 D．96 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量X和Y，其中，且，若X的分布列如下表： X 1 2 3 P m n 则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 10．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ）    A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为______ 13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为_____ 14．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知 (1)当时，求的展开式中含的项； (2)若的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求的展开式中系数最大的项. 16．（15分） 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 17．（15分） “一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 18．（17分） 已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 19．（17分） 牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解．对于函数，已知，并取作为r的初始近似值． (1)计算与的值； (2)求出和的关系（）； (3)设，，若关于x的方程的两个根分别为，（），证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章导数+选择性必修第三册第6-7章计数原理+随机变量及其分布。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 4．设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（   ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ③；． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 6．的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 7．已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．奇偶归一猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘3再加1，如果它是偶数，则将它除以2，如此循环，最终都能够得到1.对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，已知，且均不为1，记的最大值为的最小值为，则（    ） A．122 B．124 C．123 D．96 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量X和Y，其中，且，若X的分布列如下表： X 1 2 3 P m n 则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 10．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ）    A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为______ 13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为_____ 14．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知 (1)当时，求的展开式中含的项； (2)若的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求的展开式中系数最大的项. 16．（15分） 某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 17．（15分） “一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 18．（17分） 已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 19．（17分） 牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解．对于函数，已知，并取作为r的初始近似值． (1)计算与的值； (2)求出和的关系（）； (3)设，，若关于x的方程的两个根分别为，（），证明：． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $