专题05 解三角形中的范围与最值问题-2026届高考数学三轮冲刺

专题05 解三角形中的范围与最值问题 题型01 三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【解析】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【解析】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 3．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【解析】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 4．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【解析】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 5．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【解析】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 6．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 【答案】 【解析】由题意如图所示： 在中，设，由，则，又， 根据余弦定理有：， 即，解得：， 所以，所以， 设，则， 在中，， 根据余弦定理有：， 化简得：， 在中，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得： ， 当时，有最大值，所以的最大值为：. 7．（2026·河南南阳·一模）（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．周长取值范围为 D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【解题思路】AB利用正弦定理边角互化即可；C利用正弦定理将周长用来表示，求关于的函数的取值范围；D利用正弦定理将面积差用来表示，求关于的函数的取值范围. 【解析】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则，故A正确； 因为，所以， 则， 因为，所以，故B正确； 由，即，得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则， 因为，所以， 则，故， 故周长取值范围为，故C错误； 设的外接圆半径为，，则，则， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为，故D正确. 题型02 三角形中的面积的最值或范围 8．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为，根据余弦定理可将题中第二个条件化简为，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得，进而根据二次方程的判别式求解，即可根据面积公式求解， （2）根据（1）结果结合余弦定理可得，求出的范围后可求的取值范围. 【解析】（1）由可得，即, 故，则, 由正弦定理可得， 由可得, 由于D为AB边上靠近点A的三等分点，，故, 平方可得, 故， 由余弦定理可得，故， 则， 将代入上式可得， 由于该关于的一元二次方程有解，故，故， 由于,当且仅当取到等号. 故三角形面积的最大值为， （2）由（1）可得，故， 而，故， 而，故， 故，故，故， 因此，综上可得. 9．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【解析】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 10．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由得角A，进而化简，再由的范围即可求解； （2）由余弦定理求出的最大值即可由求解. 【解析】（1）由题可得 ， 所以，因为，所以， 所以 ， 因为，则，所以， 所以的值域为； （2）由（1）得，又，所以， 即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 所以，即的面积最大值为. 11．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【解析】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 12．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【解析】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 13．（2025·山东泰安·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合正弦定理求出三边之间的关系，再结合余弦定理求出角的大小； （2）利用正弦定理推出a、b和、之间的关系，再结合三角形面积公式将面积表示为三角函数，最后结合三角恒等变换求出最大值即可． 【解析】（1）由正弦定理，因为， 所以，化简整理得， 由余弦定理，， ， ． （2）由（1）知，，由正弦定理可得， 面积， 又，， 又，其中， 当，即时，面积有最大值，为． 14．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A； （2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域. 【解析】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 题型03 几何图形中的计算 15．（25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【解析】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 16．（25-26高三上·河北·期末）在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【解析】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 17．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分别求出的值，进而得到的值，再利用勾股定理即可求出； （2）设，，，，利用的周长为2求出的值，再结合的范围求出的值，即可得解. 【解析】（1）由题意知，则， 所以； （2） 设，，，，则，． 由的周长为2可得，即， 两边同时平方可得，化简得． 所以 ． 又因为，所以． 所以． 18．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【解题思路】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【解析】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 19．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】/ 【解题思路】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【解析】 不妨设，因为，故，所以， 故，设，则， 在中，由正弦定理有 ， 所以 ， 所以即， 设，其中， 因为，， 故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而， 故有唯一解，故 20．（2026·山东·模拟预测）在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形边长关系利用勾股定理可得三角形各内角度数，设，则利用可得； （2）方法一：根据面积为可求得，再利用余弦定理计算可得； 方法二：根据面积为可求得，可知，再由勾股定理计算可得； 【解析】（1）因为，如下图： 设，则，可得， 所以，. 设，则， 在中，由正弦定理得，，则， 因为，所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，，则，所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以． 方法二： 由（1）知，，则，所以，. 所以，在中，由勾股定理得． 题型04 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 21．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. 【解析】（1）解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. （2）解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 22．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【解析】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 23．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 24．（24-25高三上·云南·月考）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，求得，即可求得的大小； （2）根据题意，由正弦定理得到，结合三角恒等变换的公式，化简得到的周长，再由，利用三角函数的性质，即可求得周长的最大值. 【解析】（1）解：在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得, 因为，所以，可得， 所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值， 此时，即周长的最大值为. 25．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选）在平面四边形中，，，，，为边的中点，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，，，四点共圆，则 B．当时，，，，四点共圆 C．若，则的面积为 D．当变化时，长度的最大值为 【答案】AC 【解题思路】对于选项A，若四点共圆且，用勾股定理得. 又因且，由，求出. 对于选项B，四点共圆时，即. 用余弦定理列出关于的等式求解，再代入求判断对错. 对于选项C，在中，根据三边和角度，用余弦定理求长度. 由等腰直角三角形性质，为AC中点，得出与关系，进而求面积. 对于选项D，因，是中点，得与关系及角度关系.用余弦、正弦定理求相关量，在中求并化简. 对式子变形，求最大值. 【解析】对于选项A，四点共圆性质与勾股定理应用：若，，，四点共圆， 当时，根据勾股定理可得.已知，，则，即. 又因为且，所以，那么，解得，故A正确. 对于选项B，若，，，四点共圆，则，所以. 在中，根据余弦定理；在中，. 已知，，，代入可得，解方程可得. 再将代入，故B错误. 对于选项C，如图，取中点N，在中，，，连接. 根据余弦定理，则. 因为，，为的中点，所以，.那么的面积为，故C正确. 对于选项D，设，，因为，分别为边的中点， 所以，，. 在中，由余弦定理得； 由正弦定理，可得. 在中，， 由余弦定理得 . 令，因为，所以，则. 那么，令，在上单调递增， 当时，的最大值，所以长度的最大值为，故D错误. 故选：AC. 26．（2025·陕西西安·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且． (1)求角C； (2)若的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得. （2）将转化为角的形式，由此求得取值范围. 【解析】（1）依题意，， ， 由正弦定理得， 所以， ， 所以，所以为锐角，且. （2）， 由于三角形是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 强化训练 1．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【解析】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 2．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二倍角公式可得，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角函数的性质可得，，即可根据正弦定理求解. 【解析】由可得， 因此， 由于， 故，即，又，故， 结合为锐角，则，故,且，此时， 因此且，故， 又，则， 故， 由于，则，， 故. 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【解析】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 4．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【解析】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 5．（2025·四川资阳·一模）（多选）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断C，利用三角形面积公式判断D即可. 【解析】对于B，因为，所以， 则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 可得，由余弦函数性质得在上单调递减， 而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD 6．（2025·辽宁大连·一模）（多选）在中， 已知 ，下列说法不正确的是（   ） A． B．若， 则面积最大值为 C．记的内切圆半径为， 设， 则在上单调递增 D．若 ，若和的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形 【答案】ACD 【解题思路】选项A，利用正弦定理、余弦定理以及两角和正弦展开式即可判断；选项B，利用余弦定理以及基本不等式即可判断；选项C，取特例可知；选项D，利用正弦定理结合相关的性质判断即可. 【解析】选项A：由余弦定理得： ， 又， 所以， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以， 即， 即， 因为，所以， 所以，又， 所以，故A选项不正确； 选项B：因为， 所以由余弦定理得： ， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 所以， 所以B选项正确； 选项C：由的内切圆半径为， 则， 即， 当时，，此时； 当时，，此时. 因为，所以. 所以在上的不单调递增，故C选项错误； 选项D：由正弦定理得： ， 由即， 所以，又， 所以，又， 所以且，即， 又和的长度一定，此时满足条件的角只有一个值， 所以只有一个满足条件的三角形， 故D选项不正确； 故选：ACD. 7．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）设内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．的外接圆面积为 D．若M为中点，则 【答案】AC 【解题思路】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断D. 【解析】对于A，由余弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 所以，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， 所以， 所以的外接圆面积为，故C正确； 对于D，因为M为中点， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【解题思路】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【解析】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 9．（2026·湖北孝感·二模）在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______． 【答案】 【解题思路】由已知条件结合余弦定理可得，方法一：设，则可得，继而可求出关于t的表达式，利用为锐角三角形，确定的取值范围，即可构造函数，利用导数求解的取值范围；方法二，利用正弦定理与和角公式推得，，再由正弦定理与二倍角公式将化成关于角的三角函数式，借助于函数的单调性即可求得其范围. 【解析】在中，由余弦定理，，结合， 可得，即（*）， 方法一：由（*）得，设，则， 为锐角三角形，则， 即， 而， 代入中， 得 恒成立， 同理可得 ， 需满足，即，解得， 结合，可得； 由，， 可得 ， 即，故， 令，则， 即在上单调递增，则， 故的取值范围是. 方法二：由（*）和正弦定理，可得， 因， 代入整理得，，即， 因，则或（舍去）， 即，则，则， 则 ， 于是，由正弦定理，， 因为锐角三角形，则有，解得， 设，则，且 ，因该函数在上单调递增， 故可得，即， 故的取值范围是. 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时，______. 【答案】/ 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则， 由，得，又，则，， 设，由角平分线定理得， 当时，，得，此时； 当时，直线的斜率分别为， 则，又， 由到角公式得，即， 得， 整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆， 因此当在点处时，的面积最大，此时， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 11．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为________. 【答案】 【解题思路】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解. 【解析】由正弦定理可知可化为， 由余弦定理（当且仅当时等号成立）得， 所以，即， 即（当且仅当时等号成立） ， 整理为，即，又， 所以，又， 所以，即， 同理，条件等式也可化简为和，可得， 所以是等边三角形， 设，，在中，， ，， ， 当时，四边形的面积取得最大值. 故答案为： 12．（2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）结合三角恒等变换公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，由锐角可得，再表示出，进而求解即可； （3）结合分析法利用三角恒等变换公式求证即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 即，所以， 因为，所以，即. （2）由正弦定理， 所以， 因为，则， 又为锐角三角形，则，即， 所以 ， 因为，所以，则， 所以面积的取值范围是. （3）证明：由（1）可知，， 要证， 即证， 而 ， 即证， 即证， 即证， 而，显然满足上式，原式得证. 13．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将的周长为利用正弦定理及余弦定理变形化简，求出，再结合角的范围，即可求出角； （2）利用余弦定理及基本不等式先求出，再根据三角形面积公式即可求出面积的最大值. 【解析】（1）由正弦定理可得， 因为的周长为， 所以，即，化简可得， 故由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为，，所以由余弦定理 可得，解得，当且仅当时取等号， 所以面积， 即当时，面积取最大值. 14．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）利用余弦定理将目标转化为，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出. 【解析】（1）由题可得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）解法一：，， 由余弦定理可得：，即. 所以，即. ， 由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以 所以，所以 解法二：由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以， 所以， 所以. 15．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【解析】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 16．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【解析】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 17．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有、，再应用余弦定理求； （2）由（1）及正弦定理求出外接圆的半径，结合求边长的范围. 【解析】（1）因为成等差数列，所以，又，所以． 设，则，则． （2）由（1）得， 则外接圆的半径， 则，则，， 则的取值范围为． 18．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【解析】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 19．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【解析】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解三角形中的范围与最值问题 题型01 三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 3．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 4．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 5．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 6．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 7．（2026·河南南阳·一模）（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．周长取值范围为 D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 题型02 三角形中的面积的最值或范围 8．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 9．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 10．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 11．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 12．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东泰安·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 14．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 题型03 几何图形中的计算 15．（25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 16．（25-26高三上·河北·期末）在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 18．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 19．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 20．（2026·山东·模拟预测）在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 题型04 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 21．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 22．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 24．（24-25高三上·云南·月考）在中，分别为角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值. 25．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选）在平面四边形中，，，，，为边的中点，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，，，四点共圆，则 B．当时，，，，四点共圆 C．若，则的面积为 D．当变化时，长度的最大值为 26．（2025·陕西西安·二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知R是该三角形外接圆的半径，且． (1)求角C； (2)若的面积为S，求的取值范围． 强化训练 1．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 4．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川资阳·一模）（多选）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 6．（2025·辽宁大连·一模）（多选）在中， 已知 ，下列说法不正确的是（   ） A． B．若， 则面积最大值为 C．记的内切圆半径为， 设， 则在上单调递增 D．若 ，若和的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形 7．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）设内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．的外接圆面积为 D．若M为中点，则 8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 9．（2026·湖北孝感·二模）在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时，______. 11．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为________. 12．（2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)证明：. 13．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 14．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 15．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 16．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 17．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 18．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $