专题04 正弦定理与余弦定理 专项训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题04 正弦定理与余弦定理 题型01 正余弦定理的边角互化 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 4．（14-15高二上·山东德州·期中）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 6．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 题型02 利用正余弦定理解三角形 7．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 8．（2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 10．（2026·云南·模拟预测）已知的内角A、B、C对边分别为a、b、c．，．D在边BC上，，． (1)求a； (2)求的面积． 11．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 12．（2026·云南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型03 三角形面积问题 13．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·辽宁辽阳·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D． 15．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 17．（25-26高三上·广西·期末）（多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 18．（2026·贵州毕节·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 19．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 题型04 利用正余弦定理解决实际应用问题 20．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1） 21．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有___________． 22．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 23．（2026·陕西·二模）延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为，当其中一片风叶与塔杆叠合时，一位身高1.8米的技术人员站在另一片风叶端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为（如左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60米处，则测得塔杆顶部仰角为（如图所示）．那么风叶转动时叶片顶端最高离地面（    ） A．81.8米 B．89.8米 C．95.8米 D．101.8米 24．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 强化训练 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A．4 B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·三模）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西·二模）某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路与分别长4米和3米．物业公司准备在四边形围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）（多选）已知△的外接圆半径为，且，则（    ） A． B．边上的高为 C．△的面积为 D．边上的中线长为 12．（2026·陕西咸阳·一模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 13．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 14．（2026·江西·一模）（多选）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 15．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 16．（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 17．（2026·安徽宿州·一模）在中，分别是边边的中点，若，则的面积是______. 18．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 20．（2025·江西·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为__________． 21．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正弦定理与余弦定理 题型01 正余弦定理的边角互化 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理边化角整理可得，然后结合和差公式、基本不等式即可得解. 【解析】因为， 所以，整理得， 由正弦定理边化角得， 若，则，不满足题意，故. 又， 所以， 整理得， 则 ， 易知，若，则，不合题意； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 2．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【解析】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【解析】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 4．（14-15高二上·山东德州·期中）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【解析】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 5．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理的推论及可得； （2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得，再根据余弦定理求得，即可得的周长． 【解析】（1）由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以. 因为，所以. （2）由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得， 所以. 由（1）得，所以. 所以， 所以. 所以的周长为． 6．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 【答案】/ 【解题思路】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【解析】在中，对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. ，故. 题型02 利用正余弦定理解三角形 7．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【解题思路】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【解析】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 8．（2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【解析】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 9．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角的大小； (2)先在中求得，再利用三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求得. 【解析】（1）由正弦定理得得， 所以，所以由余弦定理得， 因为，所以． （2）在中，，所以，， 又， 在中，由正弦定理得． 10．（2026·云南·模拟预测）已知的内角A、B、C对边分别为a、b、c．，．D在边BC上，，． (1)求a； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用面积相等列式求得，然后利用余弦定理求解； （2）直接利用三角形面积公式求解即可. 【解析】（1）由和得 ，又，，如图， 因为，所以， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 所以． （2）据（1）知， 所以的面积为． 11．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. (1)求a，的值： (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）利用正弦定理角化边，利用余弦定理角化边，最后解方程组即可求解； （2）利用二倍角公式和两角差正弦公式即可求值. 【解析】（1）在△ABC中，由，，可得， 因为，，， 可得， 代入，，可得：， 化简得：， 所以，，即； （2）由（1）可知C为钝角，且， 则，， 所以. （3）. 12．（2026·云南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理、余弦定理、勾股定理求解即可. 【解析】 由正弦定理知，，所以，. 所以，又，所以. 在中，. 因为为的中点，所以. 在中，. 在中，. 题型03 三角形面积问题 13．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【解析】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 14．（2026·辽宁辽阳·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【解题思路】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【解析】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则，即， 又，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 15．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【解析】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 16．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 17．（25-26高三上·广西·期末）（多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【解题思路】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【解析】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 18．（2026·贵州毕节·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】由余弦定理可得，， 因为，所以， 故的面积为. 19．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【解题思路】利用圆内接四边形对角互补，把四边形分成两个三角形利用余弦定理求解，利用三角形面积公式只需求对角的正弦值即可. 【解析】如图连接，因为四边形为圆的内接四边形，所以， 在中，，，有， 在中，，，有 , 所以，又，解得， 所以， 则， 即. 题型04 利用正余弦定理解决实际应用问题 20．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、，满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为____________．（精确到1） 【答案】373 【解题思路】过C作，过B作，进而，易知，在中，求得，进而，在中，用正弦定理即可求得的长，进而可知的长. 【解析】如图，过C作，过B作， 则， 由B点测得A点的仰角为，得为等腰直角三角形，， 则， 由，得， 在中，由正弦定理得，， 而， 因此，所以. 故答案为：373 21．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有___________． 【答案】② 【解题思路】将空间几何问题转化为确定塔高与的过程，对于每个数据组，首先判断能否由已知角度和已知边长唯一确定水平距离与两个塔高；若能，则两塔尖的空间坐标唯一确定，距离随之唯一确定，若给出的角度条件不足以唯一确定所有未知的塔高或位置，则存在多解，从而无法唯一确定两塔尖距离. 【解析】①： 与的长度，用余弦定理确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由知唯一确定. ②：取，设， ， 解得或，故②不能唯一确定. ③： 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由，及已知，可确定唯一. ④：由三余弦定理可求得，后续与①一致，可唯一确定的长度. 故答案为：② 22．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解题思路】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【解析】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 23．（2026·陕西·二模）延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为，当其中一片风叶与塔杆叠合时，一位身高1.8米的技术人员站在另一片风叶端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为（如左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60米处，则测得塔杆顶部仰角为（如图所示）．那么风叶转动时叶片顶端最高离地面（    ） A．81.8米 B．89.8米 C．95.8米 D．101.8米 【答案】D 【解题思路】设扇叶长度为，在左图根据角度关系表示出，结合右图可分析出，求得的取值，得出到底面距离，风叶转动时最高点到底面距离为到底面距离加上一个扇叶长. 【解析】由左图，中，，则， 又扇叶之间的夹角为，则，则， 又，设叶片的长度为，则，， 根据右图，在中，由于，则， 左右图中人的高度不变，则，即，得， 则到底面的距离为， 当扇叶转动到最高点，最高点到底面的距离为. 24．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【解析】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 25．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 强化训练 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同角三角函数商数关系整理，可得.根据正弦定理整理原式，再结合中和两角和的正弦公式化简求值即可. 【解析】由，可得，即. 根据正弦定理， ，且， 所以 . 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【解析】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 3．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【解析】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 4．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理计算可得. 【解析】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 5．（2025·河北秦皇岛·三模）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系，再通过余弦定理建立关于的等式，从而求解的值. 【解析】因为，所以. 根据正弦定理可得，所以. 因为，所以根据余弦定理，可得：， 化简可得，所以. 因为为的边，，所以. 故选：D. 6．（2026·陕西·二模）某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路与分别长4米和3米．物业公司准备在四边形围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【解析】如图，将扇形补全为半圆，为圆的直径，连接、， 在中，,所以 由，从而垂直平分，则， 由，所以过点，则, 所以， 则丁香花种植面积为平方米. 7．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【解析】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 8．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得，则， 故的面积为. 9．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【解析】 因为，所以. 故选：B. 10．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【解析】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）（多选）已知△的外接圆半径为，且，则（    ） A． B．边上的高为 C．△的面积为 D．边上的中线长为 【答案】BC 【解题思路】对三角恒等变换化简可得，其中角满足，，又，当且仅当，，可得，再结合三角函数单调性和三角形面积公式、正弦定理、余弦定理判断各选项即可． 【解析】由，有， 由代换与辅助角公式有， 其中角满足， 又，当且仅当，， 故有，，且， 由，则为钝角，所以，故A不正确； 因为，所以， 因为△的外接圆半径为，所以， 所以△的面积为，故C正确； 设边上的高为， 所以△的面积，解得，故B正确； 取中点为，连接， 因为，为锐角，所以， 又，，则， 在中，由余弦定理得， 所以，故边上的中线长为，故D不正确. 故选：BC. 12．（2026·陕西咸阳·一模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【解题思路】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【解析】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 13．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【解题思路】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对C，根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定理求出，利用三角形面积关系，求出答案. 【解析】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则， 又，所以，解得，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径，所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 14．（2026·江西·一模）（多选）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BCD 【解题思路】根据所给条件长度判断A，由余弦定理判断B，过点作，解三角判断C，利用求三角形面积判断D. 【解析】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确. 故选：BCD 15．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 【答案】ACD 【解题思路】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【解析】在中，，故， 代入原式得： ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 16．（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【解题思路】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【解析】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 17．（2026·安徽宿州·一模）在中，分别是边边的中点，若，则的面积是______. 【答案】 【解题思路】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解. 【解析】如图，设的三条中线交于点，则点为的重心， 由重心的几何性质有，，， 在中，，所以， 即，解得，所以， 所以； 所以，即的面积是. 故答案为：. 18．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【解题思路】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解. 【解析】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 【答案】或2 【解题思路】由余弦定理得，解方程即可得解. 【解析】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 20．（2025·江西·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解题思路】由正弦定理得，根据三边关系确定，根据余弦定理，用边表示为，进而求出最值即可. 【解析】因为，由正弦定理得，在中，，即，故，， 由余弦定理得， 又因为， 所以， 当即时等号成立. 故答案为：. 21．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【解题思路】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【解析】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $