第9章二元一次方程组 单元试卷2025-2026学年青岛版数学七年级下册

2025--2026学年第二学期七年级第九章二元一次方程组单元卷 （考试时间：90分钟；满分：120分） 一．单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x+y2＝1 B． C．2x+3y＝5 D．xy＝3 2．若关于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一个解是x＝2，y＝1．则a的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．表1为二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解，表2为二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解，则方程组的解为（　　） 表1 x ﹣1 1 2 3 y 1 ﹣1 ﹣2 ﹣3 表2 x 0 1 2 3 y ﹣2 ﹣1 0 1 A． B． C． D． 5．解方程组：，下列做法正确的是（　　） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．①+②，消去x D．①+②，消去y 6．若是二元一次方程组的解，则6m+n的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 7．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 9．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，解得，小明这样解方程的思想是（　　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（　　） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若一个二元一次方程的解为，则这个二元一次方程可以是　 ．（写出一个即可） 12．将方程3x+y＝5变形为用x的代数式表示y，则y＝ 　 　 ． 13．若x，y满足方程组，则x+y的值为　 　 ． 14．已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值　 　 ． 15．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若a+b＝24，a﹣b＝8，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为　 　 ． （第15题） （第16题） 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为　 　 ． 三．解答题（本题共6小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分）解方程组： （1）； （2）． 18．(10分）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？ 19．(10分）北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售A，B两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？ 20．(12分）在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是　 　 ； ②若点P的“美好点”为（7，﹣3），则点P的坐标是多少？ （2）若点P（a，a+3）的“美好点”位于x轴上，求a的值． 21．(12分）阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　 ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 22．(12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm、宽为40cm． （不计裁切损耗） 我是板材裁切师 任务1 拟定裁切方案 （1）若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张、坐垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背　 　 张和坐垫　 　 张． 方法三：裁切靠背　 　 张和坐垫　 　 张． 任务2 确定搭配数量 （2）若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务3 解决实际问题 （3）现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 一．单选题 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　C　） A．x+y2＝1 B． C．2x+3y＝5 D．xy＝3 2．若关于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一个解是x＝2，y＝1．则a的值为（　D　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列方程组中是二元一次方程组的是（　B　） A． B． C． D． 4．表1为二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解，表2为二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解，则方程组的解为（　B　） 表1 x ﹣1 1 2 3 y 1 ﹣1 ﹣2 ﹣3 表2 x 0 1 2 3 y ﹣2 ﹣1 0 1 A． B． C． D． 5．解方程组：，下列做法正确的是（ A　） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．①+②，消去x D．①+②，消去y 6．若是二元一次方程组的解，则6m+n的值是（　D　） A．18 B．20 C．22 D．25 7．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝（　A　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组（　C　） A． B． C． D． 9．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，解得，小明这样解方程的思想是（　C　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 10．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（　A　） A．3种 B．4种 C．6种 D．8种 二．填空题 11．若一个二元一次方程的解为，则这个二元一次方程可以是　x+y＝4（答案不唯一） ． 12．将方程3x+y＝5变形为用x的代数式表示y，则y＝ 5﹣3x ． 13．若x，y满足方程组，则x+y的值为　2 ． 14．已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值　﹣1 ． 15．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若a+b＝24，a﹣b＝8，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为　128 ． （第15题） （第16题） 16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为　 4 　 ． 三．解答题 17．解方程组： （1）； （2）． 解：整理得：， 解： ①+②得：4x+3y＝17④ ①+②得：x＝5， ①+③得：5x+y＝13⑤ ②﹣①得：， ⑤×3﹣④得：x＝2， ∴方程组的解为：． 把x＝2代入⑤得：y＝3， 把x＝2，y＝3代入③得：z＝1， ∴方程组的解为：． 18． 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“天宫”和“嫦娥”两种模型．已知1个“天宫”模型和4个“嫦娥”模型的进价共1750元；4个“天宫”模型和3个“嫦娥”模型的进价共3100元．求每个“天宫”和“嫦娥”模型的进价各为多少元？ 解：设每个“天宫”模型的进价为x元，每个“嫦娥”模型的进价为y元， 根据题意,列得方程组：， 解得：， 答：每个“天宫”模型的进价为550元，每个“嫦娥”模型的进价为300元． 19．北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售A，B两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？ 解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元， 根据题意,列得方程组， 解得， 答：A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元． 20．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是　（﹣4，5） ； ②若点P的“美好点”为（7，﹣3），则点P的坐标是多少？ （2）若点P（a，a+3）的“美好点”位于x轴上，求a的值． 解：②设点P的坐标是（a，b） 根据“美好点”的定义可得， 解得：， ∴点P的坐标是（3.5，﹣1）； （2）设点P（a，a+3）的“美好点”为Q（m，n）， 由条件可得， 即， ∵n＝0， ∴a＝﹣2.5． 21．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1 　 ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 解：设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元， 根据题意,列得方程组：， ①×2﹣②得：x+y＝6， ∴2x+2y＝2（x+y）＝2×6＝12． 答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元． 22．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm、宽为40cm． （不计裁切损耗） 我是板材裁切师 任务1 拟定裁切方案 （1）若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张、坐垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背　 9 　 张和坐垫　3 　 张． 方法三：裁切靠背　2　 张和坐垫　 6 　 张． 任务2 确定搭配数量 （2）若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务3 解决实际问题 （3）现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 解：任务二：∵（张）， ∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅； 任务三： 设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张， 根据题意得：， 解得：， ∵42+61＝103（张）， ∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $