专题01整式的乘法同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题01整式的乘法同步讲义 学习目标 ·理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，并能正确运算。 。·掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算方法。 能运用整式乘法法则进行化简、求值与简单应用。 ·培养运算准确性，养成先化简再计算的规范解题习惯。 学习内容概览 必备知识 1.幂的运算 2.单项式乘单项式 3.单项式乘多项式 4.多项式乘多项式 5.整式乘法的运算顺序 6.易错点警示 点梳理 1.同底数幂相乘 2.同底数幂乘法的逆用 3.幂的乘方运算 4.幂的乘方的逆用 5.积的乘方运算 6.单项式乘单项式运算 常考题型 7.积的乘方的逆用 8.科学记数法表示数的乘法 9,单项式乘多项式及求值 10.多项式乘多项式 精讲精炼 11.(x+p)(x+q)型乘法 12.多项式乘多项式与图形面积 13.单项式乘多项式的应用 14.多项式乘多项式-化简求值 15.整式乘法混合运算 16.多项式乘积不含某项求字母的值 17.多项式乘法规律性问题 强化巩固 解答题6题 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.幂的运算】 1.同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：a"a=an(m,n为正整数)逆用：an=aa 试卷第1页，共3页 2.幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(a)n=am(m,n为正整数)逆用：am=(a)n=(a)m 3.积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)=ab"(n为正整数)逆用：ab=(ab) 底数互为相反数时，先化为同底数再运算 运算时注意符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负 【知识点02.单项式乘单项式】 1.法则 系数相乘作为积的系数 同底数幂分别相乘 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 2.步骤先算系数→再算同底数幂→最后照抄单独字母 系数是负数时，注意符号 有乘方时，先算乘方，再算乘法 【知识点03.单项式乘多项式】 1.法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相 加。公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 2.关键 不漏乘、不丢项 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 【知识点04.多项式乘多项式】 1.法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加。 试卷第2页，共3页 公式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 常用公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 2.步骤逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 【知识点05.整式乘法的运算顺序】 1.先乘方（幂的运算） 2.再乘法（单项式、多项式乘法） 3.后加减（合并同类项） 【知识点06.易错点警示】 1.指数运算混淆：乘法是指数相加，乘方是指数相乘 2.符号错误：负系数乘多项式时，每一项都要变号 3漏乘、漏项：多项式相乘要逐项相乘 常考题型精讲精练 【题型1.同底数幂相乘】 +3y-2=03.27= 【典例】若 ,则 【跟踪专练1】若a~a= ,则“？”的值取() A.2 B.3 C.4 D.5 x+5y=3,8×32 【跟踪专练2】已知 ,则 的值为 【跟踪专练3】a,6,cd 表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数 ab,be,cd,da 组：第一个新数组为 (相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘)，第二个新 数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推，记6=acd,了=ah-bc·cdd血 第”个新数组的四数之积为了”为正整数)·现对于任意正整数”，”，下列说法： 试卷第3页，共3页 07。=7m, ②当a=1,6=2,c=3,1=4时，在了的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共 T 有6个： ③若-功 是大于2000的整数，则满足条件的”的最小值为11. 正确的有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 【题型2.同底数幂乘法的逆用】 【典例)已知a=2.a=5 ,✉乏红的管女 2026 【跟踪专练1】 32025x72025×-1） 2 【跟踪专练2】已知0+2b-3c-2=0.3”.9+27 ,则 的值为() A.27 B.9 C.6 D.1 【跟踪专练3】-2)”+2(-2 (n为大于1的整数)的结果是 【题型3.幂的乘方运算】 2 【典例】计算： XV- 3 【跟踪专练1】化简 2 的结果是() A.xvo B.xys C.4 D. 4 【跟踪专练2】若2×5=100 ,则x的值是 【跟踪专练3】已知0=2“，h=27,0=9,则”，6，‘的大小关系是《) 试卷第4页，共3页 A.a>b>c B.b>c>a C.a<b<c D.b<c<a 【题型4.幂的乘方的逆用】 【典例】(x)3= 【跟踪专练1】若2”=3.2”-2 则 () A.144 B.96 C.36 D.12 【跟踪专练】若=中，6=子，试用含“，0的代数式衣示20 【跟踪专练3】已知0=7%，b=4,c=3m 则abc 的大小关系为() A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a 【题型5.积的乘方运算】 典例】计算：(-5a2= 【跟踪专练1】-x)(-x2(-x)3= 【跟踪专练2】已知a+h=23,则(a+18)+(b-4纠5= 【跟踪专练3】计算m,m的过程如下：①-m'·m=-m,m②mm=-m步骤 ①，②分别表示的运算是() A.幂的乘方，同底数幂相乘 B.积的乘方，同底数幂相乘 C.幂的乘方，乘法结合律 D.积的乘方，合并同类项 【题型6.单项式乘单项式运算】 【典例】计算： 2y2.3y3= 【跟踪专练1】一个长方体的长、宽、高分别是3x-4,2x和x,则它的体积等于() A.23r-4到2xx=3x3-4x2 B.2x.2x= C.(3xr-4-2rx=6r3-8r 2x3x-4·x=6x2-8x D. 试卷第5页，共3页 a c 【跟踪专练2】“三角” /v Z 表示3z,“方框”bd表示-add,则 n m /n3 25 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是() A.-3am+b--2a=6a"+b B.(-6a'b)--ab)be-3abe c.4al刘w=2we 【题型7.积的乘方的逆用】 2022 【典例】计算2× 的值 【跟踪专练1】若5=0,4=b,则20=（) A.Sa B.4b C.ab D.Sab 【跟朦专练2】若户+2+3+4+5”+6+7+8+9=2025，则 23+43+63+83+103+123+143+163+183= 【跟踪专练3】-0.12504×(-8)m 的值为() A.1 B.-1 C.8 D.-8 【题型8.科学记数法表示数的乘法】 【典例】用科学记数法表示：(2×10)×-3×10)= 【跟踪专练1】某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为4×102比特.后续发射的升级型 号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到m比特，则m的值为() 试卷第6页，共3页 4x102 4×1014 C.1x10 1×105 A. B. D. 【跟踪专练2】已知电磁波的速度是3×I0s,从太阳系外距地球最近的一颗恒星发出的 电磁波，要4年的时间才能到达地球，一年以3×10 ”计算，则这颗恒星与地球的距离是 m 4 【跟踪专练3】综合实践课上，老师利用球的体积公式V=,计算出地球的体积约是 3 1.08×102立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的 一万倍，则这个星球的体积约是() 1.08×1016 1.08×108 A. 立方千米 B. 立方千米 C.1.08×10 立方千米 1.08'1024 D. 立方千米 【题型9.单项式乘多项式及求值】 【典例】化简-x-刂 的结果是( ) A.-x B.x C.x-1 D.x2-x+1 【跟踪专练1】用图1中的卡片覆盖图2月历上的四个数，记m=ad,n=bc,则m与n之间 的数量关系是 日一二三四五六 123 45678910 a 1121314151617 b 18192021222324 25262728293031 图1 图2 la b=ad-bc m m-3 【跟踪专练2】若规定：cd 则当m-3m-6=0时， 1-mm-2的值为 试卷第7页，共3页 0 【跟踪专练3】如果规定 N 表示单项式-20y' 表示多项式 ab-ed m 则计算割 的结果是() m 3 -2m3n-6mn2 A. B. -6m'n+2mn2 C. -2m3n+6mn2 D -6m'n-2mn2 【题型10.多项式乘多项式】 【典例】计算：(2x-(x+y= 【跟踪专练1】已知x-(x+2)=x2+m+ ,则m+n的值为() A.5 B.1 C.-1 D.-5 【跟踪专练2】已知M=(x-3训2x+,N=3x-5列-3，则M与N的大小关系是 【跟踪专练3】己知：无论*取何值时，（x+m(x+m=-6r+7 成立，则 mn+)+nm+的值为() A.20 B.8 C.-5 D.13 【题型11.(x+p)(x+q)型乘法】 【典例】若-x+3列=2+2x+m 则m= 【跟踪专练1】观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若 (x+a(x+b)=x2-9x+14 ,则a,b的值可能分别是() 试卷第8页，共3页 (+2)(+3=x中7x+1可 (6x2(6=x3x10 7一 A.2,7 B.-2,7 C.2,-7 D.-2,-7 跟踪专练2】若K-5x+川=r-2x+”,则m+n的值为 【跟踪专练3】【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知M=2x+3,N=2x+1,比较M和N的大 小.先求M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N<0,则M<V;若M-N=0,则 M=V,反之亦成立.本题中因 M-N=2x+3-(2x+1=2>0,所以M>N 【解决问题】若M=(x-3x-4,N=(x-(x-6,则M与N的大小关系为() A.M>N B.M=N C.M<N D.由x的取值而定 【题型12.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为 b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片 共张 2a+3b □b☐b a+b b a 图① 图② 【跟踪专练1】下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是() A.(x+4x+2-4-2(5- B.(x+2(2x-1 试卷第9页，共3页 x2+2x+4x-1+2(x-1 C. D.(x+2)+6x-1) 【跟踪专练2】如图是某公司的平面结构示意图，用含x、y的式子表示会议厅比办公区多 出的面积为 注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）· x+y 办公区 会客室 2x 会议厅 2x+y 【跟踪专练3】如图，若用正方形卡片A类（边长为a)、B类（边长为b)和长方形卡片 c类（长为a、宽为b)拼成长为2a+)、宽为a+30) 的长方形，需要C类卡片的张数为 () A.8 B.7 C.6 D.5 【题型13.单项式乘多项式的应用】 6x2 ，3x-2 【典例】一个长方形的长为“，宽为“，则这个长方形的面积为 【跟踪专练1】如图，小华同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2和b的长 方形可以拼成图①，也可以拼成图②，则下列关系式中，能利用图①和图②验证的是 () 2a 图① 图② 试卷第10页，共3页 专题01整式的乘法同步讲义 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，并能正确运算。 · 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算方法。 · 能运用整式乘法法则进行化简、求值与简单应用。 · 培养运算准确性，养成先化简再计算的规范解题习惯。 必备知识 点梳理 1.幂的运算 2.单项式乘单项式 3.单项式乘多项式 4.多项式乘多项式. 5.整式乘法的运算顺序 6.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.同底数幂相乘 2.同底数幂乘法的逆用 3.幂的乘方运算 4.幂的乘方的逆用 5.积的乘方运算 6.单项式乘单项式运算 7.积的乘方的逆用 8.科学记数法表示数的乘法 9.单项式乘多项式及求值 10.多项式乘多项式 11.(x+p)(x+q)型乘法 12.多项式乘多项式与图形面积 13.单项式乘多项式的应用 14.多项式乘多项式-化简求值 15.整式乘法混合运算 16.多项式乘积不含某项求字母的值 17.多项式乘法规律性问题 强化巩固 题型通关 解答题6题 【知识点01.幂的运算】 1.同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：aman=am+n（m,n为正整数） 逆用：am+n=aman 2.幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am)n=amn（m,n为正整数）逆用：amn=(am)n=(an)m 3.积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)n=anbn（n为正整数）逆用：anbn=(ab)n 注意 底数互为相反数时，先化为同底数再运算 运算时注意符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负 【知识点02.单项式乘单项式】 1.法则 系数相乘作为积的系数 同底数幂分别相乘 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式 2.步骤 先算系数→再算同底数幂→最后照抄单独字母 3.易错点 系数是负数时，注意符号 有乘方时，先算乘方，再算乘法 【知识点03.单项式乘多项式】 1.法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 2.关键 不漏乘、不丢项 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 【知识点04.多项式乘多项式】 1.法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 常用公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 2.步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 【知识点05.整式乘法的运算顺序】 1.先乘方（幂的运算） 2.再乘法（单项式、多项式乘法） 3.后加减（合并同类项） 【知识点06.易错点警示】 1.指数运算混淆：乘法是指数相加，乘方是指数相乘 2.符号错误：负系数乘多项式时，每一项都要变号 3.漏乘、漏项：多项式相乘要逐项相乘 4.结果未合并同类项 5.底数不同时，不能直接用同底数幂法则 【题型1.同底数幂相乘】 【典例】若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方逆运算．将看作一个整体并求出其值，然后逆用幂的乘方，同底数幂相乘将变形为，再整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【跟踪专练1】若，则“？”的值取（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是同底数幂的乘法运算、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘的运算法则． 根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，可列出关于指数的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设“？”的值为， 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， 即， ， 即“？”的值为． 故选：． 【跟踪专练2】已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方运算将和化为以2为底的幂，然后根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 【跟踪专练3】表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共有6个； ③若，是大于2000的整数，则满足条件的的最小值为11． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘等知识，可求，，，以此类推得出，假设成立，则，可求，然后举反例说明等式不成立即可判断①，求出，然后列出被4整除但不能被8整除的因数有4、12、36，共3个，即可判断②；求出，然后根据，，即可求出最小n的值，即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，， 若，则， ∴， ∴， 当，时，左边，右边， ∴左边右边， ∴假设不成立，故①错误； ∵，，，， ∴， ∴， ∴能被4整除但不能被8整除的因数有，，，共3个，故②错误； ∵，， ∴， 又是大于2000的整数， ∴， 又，， 所以最小整数n的值为11，故③正确， 故选：B． 【题型2.同底数幂乘法的逆用】 【典例】已知，，求的值为________． 【答案】10 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，将合并为， 将变为，然后逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【跟踪专练3】（为大于1的整数）的结果是________． 【答案】0 【分析】此题考查了同底数幂的乘法逆运算法则，利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型3.幂的乘方运算】 【典例】计算：________ 【答案】 【详解】解： 【点睛】积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，先利用相关法则计算括号内的乘方，再与前面的单项式相乘得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练2】若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 【跟踪专练3】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 【题型4.幂的乘方的逆用】 【典例】_____． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方法则的应用，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可求解． 【详解】根据幂的乘方法则，． 故答案为 ． 【跟踪专练1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将所求式子变形为已知条件可表示的形式，代入计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练3】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方性质，将三个数化为同指数的幂，再通过比较底数大小判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：首先将a，b，c变形为指数相同的幂，50、75、100的最大公约数为25． ∵， ， ， 又∵，指数， ∴，即． 【题型5.积的乘方运算】 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】根据积的乘方法则计算即可求解． 【详解】解：． 【跟踪专练1】______． 【答案】 【分析】先化简各因式，再根据积的乘方运算与单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练2】已知 ，则 ______． 【答案】0 【分析】本题考查了代数式的变形、互为相反数的奇数次幂性质，解题的关键是通过已知条件推导与的关系，利用奇次幂性质计算结果． 由，计算的结果，判断两者互为相反数；根据“互为相反数的两个数的奇次幂之和为0”，得出式子的值． 【详解】解：∵， ∴， 即， 则； ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】计算的过程如下：①②步骤①，②分别表示的运算是（   ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【分析】根据积的乘方和同底数幂相乘的法则，分别判断两个步骤对应的运算类型即可． 【详解】解：∵，步骤①将化简为，是将积的每个因式分别乘方再相乘，符合积的乘方的运算法则， ∴步骤①是积的乘方运算； ∵计算时，用到底数不变，指数相加的计算规则，符合同底数幂相乘的运算法则， ∴步骤②是同底数幂相乘运算． 【题型6.单项式乘单项式运算】 【典例】计算：______． 【答案】6 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式乘以单项式的运算法则为：系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【跟踪专练1】一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 【跟踪专练2】“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【题型7.积的乘方的逆用】 【典例】计算的值______． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练1】若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先将变形为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 【跟踪专练3】的值为（   ） A．1 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，将原式变为，然后逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【题型8.科学记数法表示数的乘法】 【典例】用科学记数法表示：_________． 【答案】 【分析】先计算系数乘积，再计算同底数幂的乘积，最后整理得到符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 【跟踪专练2】已知电磁波的速度是，从太阳系外距地球最近的一颗恒星发出的电磁波，要4年的时间才能到达地球，一年以计算，则这颗恒星与地球的距离是_______________m． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，再根据单项式的乘法运算法则计算即可解答． 【详解】解：由题意可得，这颗恒星与地球的距离是 ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列算式的能力，科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算． 【跟踪专练3】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 【题型9.单项式乘多项式及求值】 【典例】化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式并合并同类项进行化简． 【详解】解：原式， 化简结果为x， 故选：B． 【跟踪专练1】用图1中的卡片覆盖图2月历上的四个数，记，则与之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查列代数式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是发现日历的特点，设表示的数为，根据日历的特点表示出，再利用整式乘法的运算法则得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：设表示的数为，根据日历的特点表示出， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若规定：，则当时， 的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义列出算式，利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则进行计算，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意， ； 故答案为：15． 【跟踪专练3】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 【题型10.多项式乘多项式】 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开等式左边的多项式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：， 根据多项式相等对应项系数相等，得，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，，则M与N的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知：无论取何值时，都成立，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键． 先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ，， ． 故选：B． 【题型11.(x+p)(x+q)型乘法】 【典例】若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 展开左边多项式，与右边对比常数项． 【详解】解：左边展开：， 与右边对比， 得， 故答案为：． 【跟踪专练1】观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则a，b的值可能分别是（    ） A．2，7 B．，7 C．2， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项，由此得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：D． 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则，两个多项式相等，对应项系数相等的原理． 根据多项式乘多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值，从而得到的值． 【详解】解：∵， 且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】根据，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 【题型12.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共______张． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴要拼出一个长为，宽为 的大长方形需要这3种卡片共张， 故答案为：． 【跟踪专练1】下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式以及整式乘法的应用，能够正确列出代数式是解题关键； 先求出会议厅的宽为，然后用会议厅的面积减去办公区的面积，同时对代数式进行化简即可． 【详解】解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 【跟踪专练3】如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 【题型13.单项式乘多项式的应用】 【典例】一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式的运算法则． 根据长方形的面积为长宽，即可求解． 【详解】解：长方形的面积 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题，分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图的面积为：； 图的面积为：； 即， 故选：． 【跟踪专练2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 【跟踪专练3】已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法逆运算，代数式求值，合并同类项，先由得，再通过变形，然后整体代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：． 【题型14.多项式乘多项式-化简求值】 【典例】已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 把代入，原式， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开是解题的关键． 先利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开，再将，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【跟踪专练2】若，，则的值是__________． 【答案】// 【详解】本题考查代数式的求值、多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则将展开即可得出结果． 【分析】解： ∵，， ∴原式 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可． 本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：B． 【题型15.整式乘法运算】 【典例】已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题的关键． 先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可． 【详解】， 由题意知，， 原式． 代数式的值为4． 故答案为：4． 【跟踪专练1】三个连续偶数，中间一个为n，这三个连续偶数之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出另外两个偶数，分别为n+2，n-2，然后计算出三个连续偶数之积即可． 【详解】三个连续偶数，中间一个为n，另外两个为n+2，n-2， 三个连续偶数之积为： 故选A． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，准确表示出三个连续偶数是本题的关键． 【跟踪专练2】若表示一种新的运算，其运算法则为，的值为___． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据新定义列出式子，然后根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算、整式除法、积的乘方，解题关键是熟练运用整式运算的法则进行准确计算．根据整式的运算法则进行计算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型16.多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 【跟踪专练1】如果的乘积中不含项，则m为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的乘积中不含项，可得含项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 乘积中不含项， ∴， ∴ 故选：A． 【跟踪专练2】若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 【跟踪专练3】若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 【题型17.多项式乘法规律性问题】 【典例】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_______．    【答案】 【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【详解】解：依题意，根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第四项， ∴展开式中含项的系数是：， 故答案为： 【跟踪专练1】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 【跟踪专练2】在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 【答案】 / 【分析】观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它两侧的边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可写出的结果；找出第三项的系数规律，进而可知第9行的第三个数． 【详解】解：由题意可得， 第三行的第三项为， 第四行的第三项为， 第五行的第三项为， 第六行的第三项为， ， 第九行的第三项为． 【跟踪专练3】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 【解答题】 1．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方及其逆向应用，关键是熟练应用运算法则计算； （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （3）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （4）逆向应用积的乘方的公式及运算律进行运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 2．阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 3．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴． 4．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 5．试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【答案】见解析 【分析】先将原式展开并合并同类项进行化简，若化简结果为与某个整数的乘积，则可说明原式的值能被整除 【详解】证明：原式 又是正整数 是正整数 是的倍数 即对于任何正整数，式子的值都能被整除 6．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $