9.3公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解课件--2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第九章 因式分解 9.3 公式法 苏科版初中数学八年级下册 第1课时 运用平方差公式因式分解 1.7.2013 ‹#› 01 学习任务 概念理解：理解平方差公式的因式分解形式，掌握能用平方差公式分解因式的多项式的结构特征。 方法掌握：能熟练运用平方差公式进行因式分解，掌握“先提公因式，再用公式”的综合分解方法。 能力提升：能运用平方差公式解决实际计算、几何应用、代数说理等综合问题，体会转化思想与整体思想。 1.7.2013 ‹#› 02 核心素养 数学抽象与逻辑推理 在探究平方差公式因式分解形式、归纳公式结构特征的过程中，培养代数抽象能力与严谨的逻辑推理素养。 数学运算 在运用平方差公式进行因式分解、处理综合变形、解决简便计算问题的过程中，提升运算的准确性与熟练度。 模型观念与整体思想 在运用平方差公式解决几何问题、代数说理、实际应用问题的过程中，建立公式应用模型，发展数学应用能力。 “ 通过本节课的学习，我们不仅要掌握知识，更要提升数学核心素养。” 1.7.2013 ‹#› 课前自主·知识预习奠基 夯实基础 · 温故知新 · 开启新知探索 1.7.2013 ‹#› 复习回顾 因式分解的核心定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解 提公因式法 先确定多项式各项的公因式，将公因式提取出来，实现和差化积。 整式乘法中的平方差公式 我们在整式乘法中学习过平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 思考：把这个公式反过来，能不能用于因式分解？ 1.7.2013 ‹#› 新知导入 公式逆用 把整式乘法的平方差公式反过来，就得到因式分解的平方差公式： 整式乘法（积化和差）：(a+b)(a−b)=a2−b2 因式分解（和差化积）：a2−b2=(a+b)(a−b) 核心定义：像这样，逆向使用乘法公式进行因式分解的方法，叫作公式法。平方差公式是公式法中最基础、最常用的公式之一 1.7.2013 ‹#› 观察思考 观察下列多项式，说说各项有什么共同特点？ 1. a²b+ab² 2. 3x²-6x³ 3. 9abc-6a²b²+12abc² 思考 1.这些多项式的各项，是否都含有相同的数字因数？ 2.这些多项式的各项，是否都含有相同的字母？ 3.相同字母的指数有什么特点？ 1.7.2013 ‹#› 知识点1 平方差公式的结构特征 能运用平方差公式分解因式的多项式，必须满足以下核心结构特征： 1、项数特征：多项式有且只有两项； 2、形式特征：两项都能写成某个整式（数、单项式、多项式）的平方形式； 3、符号特征：两项的符号必须相反（一正一负）。 举个例子 x2−4：两项，x2和22，符号相反，符合特征； −a2+9b2：两项，(3b)2和a2，符号相反，符合特征； x2+4：两项符号相同，不符合； a2+ab+b2：三项，不符合 1.7.2013 ‹#› 知识点2 平方差公式因式分解的一般步骤 运用平方差公式分解因式，分三步完成，确保分解准确、规范。 第一步 变形定底数 把多项式的两项分别变形为(▫)2−(△)2的形式 确定公式中的a=▫，b=△ 第二步 套公式分解 套用平方差公式，分解为(▫+△)(▫−△)的形式 第三步 化简去括号 对分解后的括号内的式子进行去括号、合并同类项，将结果化为最简形式，确保分解彻底 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 1.填空，将下列式子写成平方差的形式： (1) a2−16=a2−(  )2 (2) 64−b2=(  )2−b2 (3) 9m2−4n2=(  )2−(  )2 (4) −(x+1)2+9=(  )2−(  )2 2.判断下列多项式能否用平方差公式分解因式，能的打“√”，不能的打“×”： (1) x2+y2（ ） (2) −x2+y2（ ） (3) x2−(−y)2（ ） (4) −x2−y2（ ） 1.7.2013 ‹#› 答案与解析 1.填空：(1) 4；(2) 8；(3) 3m，2n；(4) 3，x+1 解析：根据乘方的意义，将常数、单项式、多项式转化为平方形式，找准平方的底数。 2.判断答案与解析： (1) ×。理由：两项符号相同，不符合平方差公式符号相反的要求。 (2) √。理由：原式可变形为y2−x2，两项平方、符号相反，符合特征。 (3) √。理由：原式化简为x2−y2，符合平方差公式特征。 (4) ×。理由：两项符号相同，无法用平方差公式分解 1.7.2013 ‹#› 知识点3 提公因式法的定义 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法 核心公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 变形本质 提公因式法是因式分解最基础、最常用的方法，本质是逆用单项式乘多项式的整式乘法法则，实现多项式的“和差化积” 1.7.2013 ‹#› 知识点4 提公因式法的一般步骤 用提公因式法分解因式，分三步完成，步步对应，避免出错 第一步 确定公因式 按照“三定”原则，准确找出多项式各项的公因式 第二步 确定另一个因式 用多项式的每一项分别除以公因式，将所得的商相加，作为括号内的另一个因式 第三步 写成乘积形式 将多项式写成公因式与另一个多项式相乘的形式，完成因式分解 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 把下列各式分解因式 (1) 5x³-10x² (2) 4x²-12x (3) -x²y+4xy-5y 参考答案 (1) 5x²(x-2)； (2) 4x(x-3)； (3) -y(x²-4x+5) 详细解析 (1) 确定公因式为5x²， 原式=5x²·x - 5x²·2 = 5x²(x-2) (2) 确定公因式为4x， 原式=4x·x - 4x·3 = 4x(x-3) (3) 首项为负，先提取负号，确定公因式为-y 原式=-y·x² +(-y)·(-4x)+(-y)·5 = -y(x²-4x+5) 1.7.2013 ‹#› 课堂探究·能力合作提升 深耕方法 · 突破难点 · 提升解题能力 1.7.2013 ‹#› 例题1 把下列各式分解因式： (1) 36−25x2 (2) 16a2−9b2 思路点拨：先将两项分别写成平方的形式，确定公式中的a和b，再套用平方差公式分解，确保底数准确 1.7.2013 ‹#› 参考答案 (1) (6+5x)(6−5x)；(2) (4a+3b)(4a−3b) 详细解析 (1) 36−25x2 第一步：变形定底数，36=62，25x2=(5x)2，原式=62−(5x)2； 第二步：套公式分解，确定a=6，b=5x，分解为(6+5x)(6−5x)。 (2)16a2−9b2 第一步：变形定底数，16a2=(4a)2，9b2=(3b)2，原式=(4a)2−(3b)2； 第二步：套公式分解，确定a=4a，b=3b，分解为(4a+3b)(4a−3b)。 1.7.2013 ‹#› 例题2 把下列各式分解因式 (1) 9(a+b)2−4(a−b)2 (2) 4(x−1)2−9(x+1)2 思路点拨：把括号内的多项式看作一个整体，当作平方差公式中的“a”和“b”，先套用公式分解，再对括号内的式子进行去括号、合并同类项化简 1.7.2013 ‹#› 参考答案 (1) (5a+b)(a+5b)；(2) −(5x+1)(x+5) 详细解析 (1)第一步：变形定底数，9(a+b)2=[3(a+b)]2，4(a−b)2=[2(a−b)]2； 第二步：套公式分解，把3(a+b)看作a，2(a−b)看作b，分解为： [3(a+b)+2(a−b)][3(a+b)−2(a−b)] 第三步：化简，去括号合并同类项： =(3a+3b+2a−2b)(3a+3b−2a+2b) =(5a+b)(a+5b) (2)第一步：变形为[2(x−1)]2−[3(x+1)]2； 第二步：套公式分解为[2(x−1)+3(x+1)][2(x−1)−3(x+1)]； 第三步：化简： =(2x−2+3x+3)(2x−2−3x−3) =(5x+1)(−x−5) =−(5x+1)(x+5) 1.7.2013 ‹#› 例题3 把下列各式分解因式： (1)a2b−b3 (2) 2x2−8 =b(a2−b2) =b(a+b)(a−b) (3) x4−81 =2(x2−4) =2(x+2)(x−2) =(x2)2−92 =(x2+9)(x2−9) =(x2+9)(x+3)(x−3) 1.7.2013 ‹#› 例题4 有一个圆环形的观景台，已知外圆半径R=12.5m，内圆半径r=7.5m，求观景台（阴影部分）的面积S（π取3.14，结果精确到1m2） 【解析】 根据圆环面积公式，可得：S=πR2-πr2 第一步：先提取公因式π，再用平方差公式分解：S=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r) 第二步：代入R=12.5m，r=7.5m计算：S=π×(12.5＋7.5)×(12.5-7.5)=π×20×5=100π ≈100×3.14=314(m2) 答：观景台的面积约为314平方米 1.7.2013 ‹#› 例题5 已知k是正整数，求证：(k+2)2-k2 是4的倍数。 【解析】 第一步：对(k＋2)2-k2用平方差公式分解因式：=(k+2)2-k2=(k+2+k)(k+2-k) 第二步：化简式子：=(2k+2)×2=2(k+1)×2=4(k+1) 第三步：分析倍数关系： ∵ k是正整数，∴ k+1也是正整数， ∴ 4(k+1)是4的倍数， ∴ (k+2)2-k2是4的倍数 1.7.2013 ‹#› 课后测评·学业效果巩固 学以致用 · 查漏补缺 · 巩固学习成果 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第1题 下列从左到右的变形，属于正确的提公因式法因式分解的是（ ） A. a2+(−b)2 B. 5m2−20mn C. −x2−y2 D. −a2+16 【答案】D 【解析】 选项A：原式=a2+b2，两项符号相同，不能用平方差公式分解； 选项B：两项不是平方形式，有公因式5m，只能用提公因式法分解，不符合； 选项C：两项符号相同，无法用平方差公式分解； 选项D：原式=16−a2=42−a2，两项平方、符号相反，符合平方差公式特征，正确。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第2题 把多项式2x2−8分解因式，结果正确的是（ ） A. 2(x2−4) B. (x+2)(x−2) C. 2(x+2)(x−2) D. (2x+4)(x−2) 【答案】C 【解析】 第一步：提取公因式2，原式=2(x2−4)； 第二步：x2−4符合平方差公式，继续分解为(x+2)(x−2)；最终结果为2(x+2)(x−2)。 选项A：分解不彻底，排除； 选项B：遗漏了公因式2，排除； 选项D：分解不彻底，且公因式未提取干净，排除；因此选择C选项。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第3题 分解因式(x−1)2−9的结果是（ ） A. (x+8)(x+1) B. (x+2)(x−4) C. (x−2)(x+4) D. (x−10)(x+8) 【答案】B 【解析】 把(x−1)看作整体，9=32，原式符合平方差公式特征： 第一步：变形为(x−1)2−32； 第二步：套用平方差公式分解：[(x−1)+3][(x−1)−3]； 第三步：化简括号内的式子：=(x−1+3)(x−1−3)=(x+2)(x−4) 因此选择B选项。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第4题 下列因式分解正确的是（ ） A. m2−n2=(m−n)2 B. −x2−y2=−(x+y)(x−y) C. 16−4a2=4(2+a)(2−a) D. a3−a=a(a2−1) 【答案】C 【解析】 选项A：平方差公式用错，正确结果应为(m+n)(m−n)，排除； 选项B：原式两项符号相同，无法用平方差公式分解，排除； 选项C：先提取公因式4，得4(4−a2)，再用平方差公式分解为4(2+a)(2−a)，分解正确； 选项D：分解不彻底，a2−1还能继续分解为(a+1)(a−1)，正确结果应为a(a+1)(a−1)，排除 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第5题 对于任意正整数m，整式(4m+5)2−9一定能（ ） A. 被8整除 B. 被m整除 C. 被m-1整除 D. 被2m-1整除 【解析】 第一步：变形为平方差形式，9=32，原式=(4m+5)2−32； 第二步：套用平方差公式分解： =(4m+5+3)(4m+5−3) =(4m+8)(4m+2) 第三步：提取公因式化简： =4(m+2)·2(2m+1) =8(m+2)(2m+1) ∵ m是正整数，∴ 8(m+2)(2m+1)是8的倍数，一定能被8整除，因此选择A选项 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第6题 把下列各式分解因式： (1) 25(a+b)2−16(a−b)2 (2) x4−16 =(x2)2−42 =(x2+4)(x2−4) =(x2+4)(x+2)(x−2) =[5(a+b)]2−[4(a−b)]2 =[5(a+b)+4(a−b)][5(a+b)−4(a−b)] =(5a+5b+4a−4b)(5a+5b−4a+4b) =(9a+b)(a+9b) 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第7题 利用因式分解简便计算：1002−992+982−972+…+22−12 【答案】5050 【解析】 观察式子，每两项为一组，每组都符合平方差公式特征，先分组分解，再求和： 原式=(1002−992)+(982−972)+…+(22−12) =(100+99)(100−99)+(98+97)(98−97)+…+(2+1)(2−1) =100+99+98+97+…+2+1 =(1+100)×100÷2=5050 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第8题 在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边c=25，直角边a=24，求直角边b的长度。 【答案】7 【解析】 根据勾股定理，在直角三角形中，a2+b2=c2，因此：b2=c2−a2 第一步：代入数值，用平方差公式分解：b2=252−242=(25+24)(25−24) 第二步：计算：b2=49×1=49 ∵ b是直角边的长度，为正数， ∴ b==7 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 核心概念 平方差公式： a2−b2=(a+b)(a−b)，本质是整式乘法平方差公式的逆用 核心思想 转化思想： 将多项式转化为平方差的标准形式，实现和差化积 整体思想： 将多项式看作整体，套用公式分解，拓展公式的应用范围 关键要求 因式分解必须分解彻底，要检查每一个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止 1.7.2013 ‹#› 谢谢观赏 1.7.2013 ‹#› $