数学二模模拟卷（上海专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·解析版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，掌握运算法则是解答本题的关键． 结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项运算，一一判断即可． 【详解】解：A选项：，故该选项错误； B选项：，故该选项错误； C选项：，故该选项错误； D选项：，故该选项正确． 故选：D． 2．小明买了m千克苹果，花了n元，则每千克苹果是（　　） A．元 B．元 C．mn元 D．（n﹣m）元 【答案】B 【分析】根据单价=总价÷苹果的重量，列式即可． 【详解】依题意得：每千克苹果的价格=（元）． 故选B． 【点睛】本题考查了列代数式，比较简单，理解单价的表示是解题的关键． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数包括一次函数 C．一次函数不包括正比例函数 D．正比例函数是一次函数 【答案】D 【分析】根据一次函数和正比例函数的意义解答． 【详解】解：∵在中，当b≠0时，一次函数不是正比例函数， ∴正比例函数不包括一次函数，故A、B错误； ∵在中，当b=0时，一次函数变为正比例函数， ∴一次函数包括正比例函数，正比例函数是一次函数的一种特殊形式，故C错误，D正确； 故选D． 【点睛】本题考查一次函数和正比例函数的应用，熟练掌握一次函数和正比例函数的意义及二者关系是解题关键． 4．某校九年级10个班级向某贫困地区捐献图书的册数如下表： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班 册数 84 65 98 84 90 76 84 90 103 86 这10个班所捐图书册数的中位数和众数分别是（     ） A．84册，90册 B．84册，84册 C．85册，84册 D．85册，103册 【答案】C 【分析】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：数据排序后为：， 中位数为（册）， 84出现3次，其他数出现次数均少于3次，则众数为84册． 故选：C． 5．已知 ，下列说法中，不正确的是（　　） A． B．与方向相同 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、，故该选项说法错误，符合题意； B、因为，所以与方向相同，故该选项说法正确，不符合题意； C、因为，所以，故该选项说法正确，不符合题意； D、因为，所以，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行． 6．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情况的半径即可得到r的取值范围． 【详解】解：∵半径为4，两圆圆心距， 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当时，两圆相交，有两个公共点，符合要求； ∴与有公共点时，的半径r的取值范围是． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．不等式组的解集是__________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集；先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的取法规律确定解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，两边同时除以，不等号方向改变，得； 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 9．一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数．一元二次方程有两个实数根的条件是判别式非负，且二次项系数不为零，本题中二次项系数为1，故只需判别式大于等于零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10．若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则， ，由小到大的顺序是_______________．（答案用“”连接） 【答案】 【分析】反比例函数图象在第一、三象限，当是，图象是第三象限的一支，函数值小于零，且函数值随自变量的增大而减小；当是，图象是第一象限的一支，函数值大于零，且函数值随自变量的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象如下图所示， ∵ ∴反比例函数像在第一、三象限， 当时，；当，，，且图象随着的增大而减小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质，理解反比例函数图象的位置及图象的特点是解题的关键． 11．已知，则的值是________． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，再代入方程求出的值，最后计算代数式的值即可，熟练掌握二次根式的非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵和都有意义， ∴，且， 解得：， 将代入方程，得， 即， ∴， ∴， 故答案为： 0． 12．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为，则的值为________． 【答案】1 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律，得到新的解析式，求出、、的值，即可得到答案． 【详解】∵， 抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为， ∴， ∴，解得：， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数一般式化为顶点式，解方程组，平移规则，是解题关键． 13．一个盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查概率计算；根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：2个白球、5个红球和8个黄球，总数为：， ∵红球有5个， ∴红球的概率为：， 故答案为：． 14．如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 【答案】 【分析】设，解得到；求出，解得到，则可推出，根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， 如图2所示，在中，， ∴； 在中，，则， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．为了解学生每周体育锻炼时间，学校体育与健康学科组从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，将收集到的数据整理后，按平均锻炼时间(单位：)分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．绘制成如下不完整的统计图．若该校共有名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于的学生有_______人． 【答案】 【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体，先求得组的占比，进而用乘以组的百分比，即可求解． 【详解】解：D组的占比为 ∴估计该校平均每周体育锻炼时间不少于的学生有人 故答案为：． 16．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____． 【答案】 【分析】延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2，和是等边三角形，可以求得，并且可证MN∥，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解. 【详解】解：如图示： 等腰直角三角形的腰长为2， 即： ， ∵和是等边三角形，等腰直角三角形 ∴BC=2，DM=EN= 延长DF交边BC于点F ∵ 分别是等边△ABD和等边△ACE的重心 ∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC， 又∵∠BAC=90° ∴AC∥DF ∴点F是BC的中点 同理可得EN的延长线也交BC于点F ∴ ∵， ∴ ∴MN∥   ∴，即 ，解得. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键. 18．已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，，，求得，再根据折叠的性质得到，，，求得，推出，由E是边的中点，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】如图，延长交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵将沿折叠，点A落到点F处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数定义等知识，解题关键是熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算． 【答案】 【分析】根据非零数的零次幂，绝对值的性质，二次根式的性质，乘方的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式，非零数的零次幂，绝对值的性质的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 20．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 21．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，且该车型电量降至10%则会出现电亏警报，若王师傅从B市高速公路出口驶出后还要继续在高速公路上行驶，请你通过计算提醒王师傅，还能行驶多少km汽车会出现电亏警报． 【答案】(1) (2)该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，以及根据电量变化计算行驶路程． （1）通过图像确定函数类型为一次函数，利用已知点坐标待定系数法求解析式； （2）先求当前剩余电量，再根据电亏警报电量计算还能行驶的路程． 【详解】（1）解：设，代入，， 得，， 解得：，， ； （2）解：令，则， ，令，则有，解得， ， 答：该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报． 22．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 23．已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，证明，得到，结合，即，推出，从而得到，结合，推出，那么，得到，即，最后结合从而得证； （2）先证明，得到，再证明，得到，那么，由四边形是平行四边形．可知．从而有，最后得证． 【详解】（1）证明： ， ，， ， ， ， ． ． 又 ，即． ， 四边形是平行四边形． （2）证明： ，， ． ． ， ，， ， ． ． 四边形AECD是平行四边形． ． ． 即． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t． （i）若，求a的取值范围； （ii）已知，P、Q两点均在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧，过点P作轴于N，交于M，设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、，若，，求的值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据抛物线与y轴交于，则，再把代入解析式可得，即可求解； （2）（i）由（1）知，则，所以抛物线，再根据，得不等式组，解之即可； （ii）当时，求出抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为．再由的边上的高为和，得．然后由点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，求得，，则，，从而求，根据，得出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴； （2）解：（i）由（1）知， ∴， ∴抛物线， ∵， ∴， 解得， ∴a的取值范围是； （ii）当时，则， 由（i）知， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 如图， 设直线的函数表达式为， 把，代入得 ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、， ∴的边上的高为， ∵， ∴． ∵点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， 此时． ∵点P，Q在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧， ∴， ∴符合题意． 25．综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，由旋转的性质得，则可推出，，据此可得结论； （2）由三角形中位线定理推出，如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），证明，得到．证明，得到，据此可得结论； （3）当点E在上方时，延长交于点．证明四边形是矩形，得到，，求出的长，进而求出的长，根据列式求解即可；当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，可求出，再由等面积法求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 是的中点，， ， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3）， ∵，线段经过的中点， ∴ ， ． 由旋转的性质可得， ，即， ∴， ． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点． ， ∴， 由（3）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ； ∵， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考第二次模拟考试【上海卷】 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共48分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小明买了m千克苹果，花了n元，则每千克苹果是（　　） A．元 B．元 C．mn元 D．（n﹣m）元 3．下列说法中，正确的是（    ） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数包括一次函数 C．一次函数不包括正比例函数 D．正比例函数是一次函数 4．某校九年级10个班级向某贫困地区捐献图书的册数如下表： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班 册数 84 65 98 84 90 76 84 90 103 86 这10个班所捐图书册数的中位数和众数分别是（     ） A．84册，90册 B．84册，84册 C．85册，84册 D．85册，103册 5．已知 ，下列说法中，不正确的是（　　） A． B．与方向相同 C． D． 6．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．因式分解：___________． 8．不等式组的解集是__________． 9．一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 10．若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则， ，由小到大的顺序是_______________．（答案用“”连接） 11．已知，则的值是________． 12．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为，则的值为________． 13．一个盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为__________． 14．如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 15．为了解学生每周体育锻炼时间，学校体育与健康学科组从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，将收集到的数据整理后，按平均锻炼时间(单位：)分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．绘制成如下不完整的统计图．若该校共有名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于的学生有_______人． 16．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____． 18．已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算． 20．解方程：． 21．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，且该车型电量降至10%则会出现电亏警报，若王师傅从B市高速公路出口驶出后还要继续在高速公路上行驶，请你通过计算提醒王师傅，还能行驶多少km汽车会出现电亏警报． 22．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 23．已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t． （i）若，求a的取值范围； （ii）已知，P、Q两点均在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧，过点P作轴于N，交于M，设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、，若，，求的值． 25．综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 2 3 4 5 6 答案 D B D C D 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.4ab(3b-2ac) 8.3<x<5 92 10.y1<y3<y2 11.0 12.1 14.6-2V3 15.720 16.391 17.3W2+V6 3 18.2 4 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 设计7-小5-斗治+ 【答案】-2+35 1/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【】解：-6- +27+-@ =1-2+V5-√3+35-1 =-2+35. 20.解方程：4x -1=22 x2-9-x+3x-3 【答案】x=7 【详解】解：等式两边同乘以(x2-9)得， 4x-x2-9=2(x-3-2(x+3), x2-4x-21=0, (x-7)(x+3)=0, x1=7,x2=-3, 经检验：x2=-3是原方程的增根，舍去： 所以原方程的解为x=7. 21. 【答案】y=-写+80 (2)该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报 【详解】(1)解：设y=kx+b(0≤x≤240)，代入(0,80)，(150,50)， b=80 得， 150k+b=50 解得：k=-方=80： 1 y=5x+80: (2)解：令x=240,则y=32, 100x10%=10,令J=10,则有-+80=10，解得=350. 350-240=110, 答：该车还能行驶110km汽车会出现电亏警报. 2/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22. 【答案】(1)①0.165：②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 121+b=283 【详解】(1)①解：由表2可知， 121+c=134 134+b+d=339 [b=162 解得：{c=13, d=43 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为： 56 ≈0.165： 339 339×(121×43-162×132 ②x2= ≈7.469>3.84， (121+162)(13+43)(121+13)(162+43 所以p<0.05, 所以有95%的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； (2)解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致 虚假相关。 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果。 23. 【答案】 【详解】(1)证明：：AD∥BC, .∠ADO=∠EBO,∠DAO=∠BEO, ∴△AD0∽△EB0, OA OD OE OB OA·BE=OE.CE, OA CE OE BE 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 OD CE OB BE OD+OB CE+BE OB BE BD BC OB BE 又∠OBE=∠DBC ∴AOBE∽△DBC .∠BOE=∠BDC ·OE CD,即AE∥CD. :AD∥BC, :四边形AECD是平行四边形. (2)证明：： ∠BDE=∠DAE,∠OED=∠DEA, :△DOE∽△ADE. DE OD AEAD AD∥BC, .∠ADO=∠EBO,∠DAO=∠BEO, △AD0naEB0, OD OB AD BE DE OB AE BE :四边形AECD是平行四边形， :AE =CD DE OB CDBE 即OB·CD=BE·DE. 24. 【答案】(1)a-b=-3: a)号<a<-1:-2 【详解】(1)解：：抛物线与y轴交于C(0,3), c=3, :抛物线与x轴交于A(-1,0), 4/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .a(-1)2-b+3=0, a-b=-3: (2)解：(1)由(1)知a-b=-3, .b=a+3, 抛物线y=ax2+(a+3)x+3, 2<1<3, 4a+2(a+3)+3>0 9a+3(a+3+3<01 <a<-1, ÷a的取值范围是-氵<a<-1, 2 ()当t=3时，则B3,0), 由(i)知b=a+3, ∴.9a+3(a+3)+3=0, 解得a=-1, :抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. 如图， A 设直线BC的函数表达式为y=kx+m, 把B3,0),C(0,3)代入得 3k+m= ∫k=-1 m=3 0,解得：m=3 .直线BC的函数表达式为y=-x+3. 设P、Q的横坐标分别为X、x3,aPMQ、△CMN的面积分别为S、S2, .△PMQ的边PM上的高为x2-x, 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x2=-2+2x, x2-1=-x+2x1-x1=-x+1. :点M的坐标为x,-x+3),点N的坐标为(x,0),点P的坐标为x,-x+2x+3), PM=-x2+2x+3-(-x1+3=-x2+3x1,MN=-x+3, S=+3x-+x,5,=-x+到x, =-x+ S S2=4S1, 1 。1 六-+写=存解得x=2 3 此时x2=-x2+2x= 4 :点P,Q在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧， .0<x<2<3, 六2符合题意。 25. 【答案】(1)四边形BCDF是平行四边形，理由见解析 (2)BC=2DM,理由见解析 B)80109或161因 109 13 【详解】(1)解：四边形BCDF是平行四边形，理由如下： F是AC的中点，LABC=90°， =Cr=r=40, .∠BAF=∠ABF, :Z BFC ZBAC+Z ABF =22BAC 由旋转的性质得CD=CF,LDCF=2LBAC, :BF CD,ZBFC ZDCF BF∥CD, 四边形BCDF是平行四边形. 6/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：BC=2DM,理由如下： :在图1中，D、E分别是AC,BC的中点， △CDE是ABC的中位线，AC=2CD,BC=2EC, .DE∥AB, ∠CED=∠ABC=90°； 如图3所示，设BE与CD的交点为N(此后过程都基于图3)， B M N E D 图3 :∠CDE=90°，线段BE经过CD的中点， DN=CN=EN =CD AC =2CD,BC=2EC, ACBC =2 CD CE 由旋转的性质可得∠ACB=∠DCE, :.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE, 六△ACD∽△BCE, ∠ADC=∠BEC. 在△DNM和△ENC中， '∠MDN=∠CEN DN=EN ∠MND=∠CNE ∴.△DNM≌AENC(ASA), ∴.DM=CE. .BC=2CE, 7/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BC=2DM (3)解：如图4所示，当点E在BC上方时，延长DE交AB于点G. G D:CE⊥BC, H B 图4 ∠BCE=90°， 由(3)可知，∠CED=90°， ∴∠CEG=180°-∠CED=90°， 又：∠ABC=90°， :四边形BCEG是矩形， GE=BC,CE=BG,LBGD=90°， AB=8,BC=6, DE=54B=4,CE=8G=8C=3, 2 GD=GE+ED=6+4=10, BD=√BG2+GD2=V32+102=109, :AH⊥BD, sin∠ABH=AH-DG AB BD AH 10 8109 AH=80=80109 N109 109 如图5所示，当点E在BC的下方时，过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P, 8/9 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H B ! . D E 图5 ∠BPE=90°， :∠PBC=180°-∠ABC=90°=∠CED, :四边形BCEP是矩形， .PE=BC=6,BP=CE=3, PD=PE-DE=6-4=2, :BD=PD2+BP2=22+3=3: :AH⊥BD, Sn-AH,BD=号1B-PD, 2 2 AH·BD=AB·PD, .V13AH=8x2, AH=16=163 1313 综上所述，AH的长为80109或1613 109 13 9/92026年中考第二次模拟考试【上海卷】 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分）》 1[A][B][C][D] 3.A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D1 2[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 8. 10. 12 13. 16. 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) y/kw.h 5 150 240 x/km 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) D D B M E B C B 图1 图2 D 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小明买了m千克苹果，花了n元，则每千克苹果是（　　） A．元 B．元 C．mn元 D．（n﹣m）元 3．下列说法中，正确的是（    ） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数包括一次函数 C．一次函数不包括正比例函数 D．正比例函数是一次函数 4．某校九年级10个班级向某贫困地区捐献图书的册数如下表： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班 册数 84 65 98 84 90 76 84 90 103 86 这10个班所捐图书册数的中位数和众数分别是（     ） A．84册，90册 B．84册，84册 C．85册，84册 D．85册，103册 5．已知 ，下列说法中，不正确的是（　　） A． B．与方向相同 C． D． 6．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．因式分解：___________． 8．不等式组的解集是__________． 9．一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 10．若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则， ，由小到大的顺序是_______________．（答案用“”连接） 11．已知，则的值是________． 12．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为，则的值为________． 13．一个盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为__________． 14．如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 15．为了解学生每周体育锻炼时间，学校体育与健康学科组从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，将收集到的数据整理后，按平均锻炼时间(单位：)分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．绘制成如下不完整的统计图．若该校共有名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于的学生有_______人． 16．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____． 18．已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算． 20．解方程：． 21．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，且该车型电量降至10%则会出现电亏警报，若王师傅从B市高速公路出口驶出后还要继续在高速公路上行驶，请你通过计算提醒王师傅，还能行驶多少km汽车会出现电亏警报． 22．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 23．已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t． （i）若，求a的取值范围； （ii）已知，P、Q两点均在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧，过点P作轴于N，交于M，设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、，若，，求的值． 25．综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $