精品解析：青海西宁市大通县2026届高三年级第二学期第一次模拟检测数学试题

2025~2026学年度第二学期大通县高三年级第一次模拟检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合，，在数轴上合并两个集合的范围可得： 所有元素覆盖的区间是从（包含）到（不包含），即. 2. 已知复数，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法运算求得 ，即可求解． 【详解】因为，所以 的虚部是． 故选：C． 3. 下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，焦点到准线的距离为，然后分析判断即可 【详解】因为焦点到准线的距离为1，所以， 对于A，,故A错误； 对于B，，故B选项符合. 对于C，，故C错误， 对于D，，则，故D错误， 故选：B. 4. 在等比数列中，，，则的公比为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】设的公比为q，由题意，得，解得，所以的公比为3． 5. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩变换即可求解． 【详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象． 故选：A． 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 7. 已知 是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 又，， 因为 是第二象限角，所以，， 所以，， 所以. 8. 已知圆柱的底面半径为r，高为 ，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某省城市足球联赛中13个球队角球数如下：5，5，5，5，6，7，8，8，9，9，10，14，17，则（ ） A. 该组数据的众数为5 B. 该组数据的极差为12 C. 该组数据的平均数为 D. 该组数据的第40百分位数为7 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，该组数据的众数为5，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数为，故C错误； 因为，所以该组数据的第40百分位数是第6个数据，即7，故D正确． 10. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以 或，所以，，AB正确； 当时， ，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于 ，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 11. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若为等差数列，则公差可能为1 C. 若，则当且仅当时，取得最小值 D. 若数列是递增数列，则 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【详解】由，当时，， 当 时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当 时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当 时，， 所以，，，又当 时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当 时，， 故数列为递增数列等价于对任意的 ，恒成立， 即，可得，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 【答案】112 【解析】 【分析】写出的展开式的通项即可 【详解】的展开式的通项为， 令 ，得． 故答案为：112 【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，较简单. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交的左支于 两点，且，则的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，从而得到的值，再根据双曲线的定义得到，最后结合求出的周长. 【详解】双曲线方程为：，，，. 直线经过且与双曲线的左支交于 两点，由双曲线的定义可得： ，. 上述两式相加得：. 又，. 所以的周长为. 故答案为：14 14. 已知函数 是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 【答案】## 【解析】 【详解】，由知 的周期为2，又 是偶函数， 所以， 当时，， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为 ， （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，结合三角和差公式化简得，进而得到即可； （2）由余弦定理得，即，结合，得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 即， 又，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以， 又，所以，解得， 所以． 16. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）300，400，500 （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数分别为700，800，再根据样本数据综合体育活动时间五天内低于10小时的人数比例求解即可； （2）由题意得 的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可. 【小问1详解】 由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8， 已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800， 而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数，高一、高二高三占比分别为，，， 由 ，，， 因此，估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500． 【小问2详解】 由题可知，每天综合体育活动时间达到通知要求的，高三有3人，另5人没有达到要求， 所以 的可能取值为0，1，2，3， 则，，，． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）点 是函数图象上任意一点，求点 到直线距离的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）确定函数的定义域，求导，求 ， 在定义域内的解得单调区间； （2）设点（），利用点到直线的距离公式构造新函数求解最值即可；或者根据几何性质，当曲线上过一点的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离即所求最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 对函数求导得， 令 ，得；令 ，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 解法一：设点（）， 所以点 到直线的距离为， 令，则， 令 ，得（舍去）或， 当时， ，单调递增；当时， ，单调递减， 所以在处取到极大值，也是最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 即点 到直线距离的最小值为． 解法二：直线的斜率 ， 设（ ），又，令， 得，解得（舍）或，所以点的坐标为， 所以曲线上与直线平行的切线的切点为， 由题意知点 到直线距离的最小值即为点到直线的距离， 又点到直线的距离， 所以点 到直线距离的最小值为． 18. 如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ， ，点是棱上一点，且 平面. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：过作 ，交 于点， 在梯形中， ，所以 ，所以 ， 连接，则平面平面 ， 因为 平面 平面 ，所以 ， 因为 平面 平面，所以 ， 因为 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）过作 ，交 于点，连接，利用线面垂直的性质和判定定理得到平面，从而可证； （2）以为原点， 分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系 ，分别求出平面 和平面 的法向量，代入空间二面角公式计算，最后再由同角的三角函数关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点， 分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系 . 设 ，则， 由（1）知 ，所以四边形 是平行四边形， ，即分别是， 的中点， 所以， 设平面 的法向量为， 因为，所以， 取得. ，设平面 的一个法向量为， 则， 取 ，则平面 的一个法向量， 设平面 与平面 所成二面角为 ，则. 故. 19. 已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． （1）求C的方程； （2）已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线 ，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线 与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线 的距离的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程，求解 ，即可得到椭圆方程； （2）（i）利用斜率公式及两直线垂直的条件化简即可求解； （ii）当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合，进而得出直线 过定点，当直线 的斜率不存在时，求出直线 ，与椭圆的方程联立，得出 坐标，得出直线 过定点即可求解. 【小问1详解】 由题意知 解得 ， ，， 所以C的方程是 ． 【小问2详解】 （i）由题意知，设，，因为， 所以，即， 所以． （ii）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，，， 由得， 所以，，， 所以，整理得， 所以，整理得， 所以或． 当时，直线 的方程为，过定点，不符合题意； 当时，直线 的方程为，过定点． 当直线 斜率不存在时，，，，直线 的方程是与椭圆方程 联立得， 同理得，此时直线 的方程是，过定点． 综上，直线 过定点，该定点坐标是， 当时，点B到直线 的距离取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期大通县高三年级第一次模拟检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则的公比为（ ） A. B. C. D. 3 5. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 7. 已知 是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆柱的底面半径为r，高为 ，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某省城市足球联赛中13个球队角球数如下：5，5，5，5，6，7，8，8，9，9，10，14，17，则（ ） A. 该组数据的众数为5 B. 该组数据的极差为12 C. 该组数据的平均数为 D. 该组数据的第40百分位数为7 10. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 当时， 11. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若为等差数列，则公差可能为1 C. 若，则当且仅当时，取得最小值 D. 若数列是递增数列，则 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交的左支于 两点，且，则的周长为______． 14. 已知函数 是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为 ， （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 16. 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11 高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12 高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5 （1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求； （2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）点 是函数图象上任意一点，求点 到直线距离的最小值． 18. 如图，在四棱锥中， 平面，底面是梯形， ， ，点是棱上一点，且 平面. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 19. 已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． （1）求C的方程； （2）已知M，N是直线 上的两点，且满足，记直线 ，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线 与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线 的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $