精品解析：浙江省杭州学军中学2026-2027学年第一学期高二开学考试适应性数学试卷

杭州学军中学2026学年第一学期开学适应性考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数. 【详解】在空间直角坐标系，关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数， 所以P关于平面对称点是， 故选:C 2. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 3. “点在函数图像上”是“点在函数图像上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域结合充分必要条件判断. 【详解】函数，因为，所以函数的定义域为， 函数，要使根式有意义，则，所以函数的定义域为， 若点在函数图像上，则可以取任意实数，当时点不在函数图像上， 所以“点在函数图像上”不能推出“点在函数图像上”，充分性不成立； 若点在函数图像上，则，此时， 所以若“点在函数图像上”可以推出“点在函数图像上”，必要性成立； 综上“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 5. 下列有关事件与概率的说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A与B不独立 C. 若A与B对立，则与互斥 D. 若，则A与B对立 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的性质判断A；由独立事件的定义判断B；由对立事件与互斥事件的定义判断C；通过举例判断D. 【详解】根据概率的性质可知，若，则，故A正确； 根据独立事件的定义可知，若，则 A与B不独立，故B正确； 若A与B对立，则与对立，所以与互斥，故C正确； 一枚骰子投掷一次，记事件A＝{出现点数为1，3，6}，事件B＝{出现点数为2，4，6}， 则，满足，但A与B不是对立事件，故D错误. 故选：D． 6. 已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质求出结果. 【详解】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以，即， 又，所以的最小值是． 7. 春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（ ） A. 120 B. 100 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将长方体盒子展开在一个平面上，再计算彩绳扎紧的情况下的彩绳长度即可得. 【详解】依据图（1）的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上， 则彩绳的平面展开图是一条由到的折线，如下图所示： 在扎紧的情况下，彩绳的平面展开图是一条由到的线段， 此时用绳最短， cm. 故选：C. 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. 的最大值为2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，由根式的非负性得到；BC选项，两边平方，令，，得，将其看成一个关于的二次方程，由根的判别式得到不等式，求出，分别求导求出的值域，得到，作差法得到，B正确，C错误；D选项，，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； BC选项，两边平方得， 整理得，令，， 方程转化为， 将其看成一个关于的二次方程，则， 解得， 取， 求导得， 令得，解得， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，，当时，， 故， 再取， 求导得， 令得，解得， 故当时，， 故在上单调递增， 所以， 综上，，故，，B正确； 的最大值为4，C错误； D选项，，故，D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. 存在，使得 D. 存在，使得在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示结合同角三角函数的基本关系式可判断A的正误；利用数量积的坐标形式结合辅助角公式、正弦函数的性质可判断B的正误，根据向量平行的坐标形式结合辅助角公式计算后可判断C的正误，根据投影可求，故可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，故即， 故，故，故A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确； 对于C，若，则，故，矛盾. 故C错误； 对于D，， 则在上的投影向量为， 故，故， 由A可得，故D正确. 故选：ABD. 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. 是实数 B. z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C. 若复数z满足，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算z与其共轭复数的乘积，再从几何的角度考虑与关于实轴对称，最后分析表示圆. 【详解】对于A，复数的共轭复数为，,正确. 对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确. 对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误. 对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确. 故选：ABD. 11. 已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，，由向量数量积定义，求出结果即可判断；对于B，举反例，当时，等式不成立，即可判断；对于C，因为，可得,由向量的加法法则，求出的结果，即可判断；对于D，求得,以，由向量的数量积定义，求出的结果，即可判断. 【详解】对于A，因为，且是边长为的菱形， 所以，， 所以，故A正确； 对于B，当时，， 而， 此时不满足，故B错误； 对于C，因为（只有）， 所以， 所以，, 所以，故C正确； 对于D，因为, 由C可知， 所以， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出甲、乙打卡同一地点的概率，则根据事件的互补性即可求出甲、乙打卡不相同景点的概率． 【详解】设三个景点分别为、、， 则甲前往、、的概率分别为，，， 乙前往、、的概率分别为，，， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率：， 所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为． 故答案为：． 13. 已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的周期性，画出函数图象，即可求解. 【详解】由题意当时，， 当时，由可知当时函数周期为， 当时，， 此时， 作出函数图象如下： 函数恰有1个零点，即与有且仅有一个交点， 由函数图象可知：， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值； （2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围． 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． 【小问2详解】 ，， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【答案】（1）kg （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． （3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解. 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 【小问3详解】 由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 17. 在中，，，． （1）求角A的大小； （2）求； （3）若线段AB上点D满足，求CD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件切化弦，结合正弦和角公式整理化简计算即可； （2）先利用余弦定理结合第一问计算，再利用余弦定理计算即可； （3）先由内角和及正弦和角公式计算，再利用正弦定理求边即可. 【小问1详解】 由， 即， 又， 所以， 在中，，所以，则； 【小问2详解】 由，，， 结合余弦定理可得， 所以，则； 【小问3详解】 易知， 所以 ， 由正弦定理得. 18. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 【答案】（1）证明：延长，交于点，延长，交于点，连接， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 为中点，是线段上靠近的三等分点， ，，， 平面，平面，平面； （2） （3）外接球半径的最小值为；为线段上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，延长，交于点，连接，利用三角形相似，即可得到，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）利用（1）中的辅助线即可得到平面与平面的夹角的平面角，可得解； （3）作出和的外心，分别求出外接圆的半径，即可将三棱锥的外接球半径用表示，进而可求得最小值以及点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，，，，， ，同理可得，即为等腰三角形， 为中点，，即， 在平面中，，，， ，，， 是平面与平面的交线， 是平面与平面的夹角的平面角， ，，， 即平面与平面的夹角为； 【小问3详解】 ，，，平面， 平面， ，平面， 平面，平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面，过点作直线平面，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则，解得，， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 又， 要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 在上动，， ，即三棱锥的外接球半径的最小值为， ，，四边形是平行四边形， ，此时为线段上靠近的三等分点. 19. 已知函数，（）． （1）若，求函数的值域； （2）若方程有两个不同的根，． （i）若，求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）记，则， ， 令，，即， 又，则， ，由于，则． 可得①，② ①式中，，即， 化简可得：，即． ②式中，，即， 化简可得：，即． 因此． 【解析】 【分析】（1）利用时与在上均单调递增的性质，直接判断复合函数的单调性，从而确定其值域；结合定义域及端点函数值，得出函数的最小值及变化趋势； （2）（i）将方程代入具体函数形式后取对数，转化为关于的二次方程，利用韦达定理表示出；结合条件及的表达式，转化为关于的不等式进行求解； （ii）通过二次方程的根与系数的关系及二次函数零点分布，得到两根与的大小关系，进而比较与的大小；利用这些不等关系构造关于的两个不等式，结合进行化简，最终证明所需的双边不等式. 【小问1详解】 当时，在上单调递增， 因此值域为． 【小问2详解】 （i）方程有两个不同的根，，即有两个不同的根，． 等式两边取对数，可得， 两边平方整理可得，． 其中， 韦达定理可得：，， 由以上可知， 若，即，因此， 则，解得． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2026学年第一学期开学适应性考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 3. “点在函数图像上”是“点在函数图像上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 无解 5. 下列有关事件与概率的说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A与B不独立 C. 若A与B对立，则与互斥 D. 若，则A与B对立 6. 已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（ ） A. 120 B. 100 C. D. 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. 的最大值为2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. 存在，使得 D. 存在，使得在上的投影向量为 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. 是实数 B. z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C. 若复数z满足，则 D. 若，则 11. 已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 13. 已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 14. 四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 17. 在中，，，． （1）求角A的大小； （2）求； （3）若线段AB上点D满足，求CD的长． 18. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 19. 已知函数，（）． （1）若，求函数的值域； （2）若方程有两个不同的根，． （i）若，求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $