专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，，平分，与的角平分线的反向延长线交于点，当时，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，过点作，设 根据平行线的性质以及角平分线的定义分别表示出，根据平行线的性质得出，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 设 ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 故选：A． 例2（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 例3（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过点E作，过点F作，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可设，则，再证明得到，，再由角平分线的定义得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∴， ∵平分， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例4（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知直线，则，，之间的关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过C作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质得出，，最后结合即可得出结论． 【详解】解：过C作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； 又， ∴， ∴， 故选：D． 例5（2025七年级下·浙江·专题练习）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，以及平行公理推论，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作，得到，以及结合平行公理推论证明，得到，最后根据运算求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义．首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，再根据角的和与差可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D ． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为________°． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则________°． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 4．（25-26七年级上·四川乐山·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个25-26发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，延长交于，由平行线的性质可得，由邻补角定义求出，然后利用三角形内角和等于180度即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成，在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行．当，时，__________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是正确作出辅助线．在图2中，延长，相交于点K，由平行线的性质可得，再利用，可得的度数，从而可求的度数． 【详解】解：在图2中，延长，相交于点K，如图所示： ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，，，，交于点F，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，过点F作，设，则，，由平行线的性质得到，证明，得到，则可得到；由平行线的性质得到，证明，得到，则可求出，则． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·重庆万州·月考）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且． 若，则的度数为______． 【答案】/140度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点E作，则，推出，再求出，即可求解． 【详解】解：过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）图1是某移动硬臀助力机械手，图2是其示意图，现立柱基座AB，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成角度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 过E作，得到，推出，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（在的左侧），伸展主臂，支撑臂构成，在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，当时，___________度 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长，，相交于点，由平行线的性质可得，再利用，可得的度数，从而可求的度数；解答的关键是作出正确的辅助线． 【详解】解：在图2中，延长，，相交于点，如图所示： ，， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 12．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用． 过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 14．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 15．（25-26七年级上·山西临汾·期末）思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 (2)①；②，见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解题关键. （1）根据题干信息的提示写出推理依据即可. （2）①如图2，过点P作，证明，进一步利用平行线的性质证明即可； ②如图3，过点P作，证明，进一步利用平行线的性质证明即可. 【详解】（1）解：证明：如图1，过点A作， ，， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， ， 即：. （2）解：①如图2，过点P作， ，， ， ，， ， ， ② 理由如下：如图3，过点P作， ，， ， ，， ， ， . 16．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、解决本题的关键是作辅助线构造两直线平行，利用两直线平行得到的角之间的关系求解． 比它的补角的多，可得等式，解方程可得； 延长交延长线于点，过点作，根据平行线的性质可证，从而可证，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 因为点为直线上的一动点，所以应分三种情况求解，当点在延长线上时；延长交直线于点，当点在上时；当点在的延长线上时． 【详解】（1）解：比它的补角的多， ， 解得：， 答：； （2）证明：如下图报增，延长交延长线于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或， 理由如下： 如下图所示，当点在延长线上时， ， ， ， ， 即； 如下图所示，延长交直线于点，当点在上时， 过点作， ， ， 则， 又， ， 则， 即； 如下图所示，当点在的延长线上时， ，且， ， ， ． 综上，或或． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；    ②当点在的延长线上时，；当点在线段上时， (3)①；② 【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）①过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：当在的延长线上时；当点在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）①根据（2）的结论得，即可得出结论； ②过点作交于点得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在线段上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （3）①∵，， 由（2）得：， ∵ ∴， ∴， ②如图所示，过点作交于点 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． （1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 19．（24-25六年级下·全国·期末）已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过点作，证明，再结合平行线的性质与角的和差关系可得答案； （2）如图，过点作，同理可得：．证明，．由角平分线的定义证明，，可得．结合，再进一步可得结论； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ，， ∴ ． （2）解：如图，过点作， 同理可得：． ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由（1）得， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角、角平分线以及垂线的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，（V）当F在射线上时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （V）如图5，当F在射线上时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 综上，的度数为或或或． 21．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 22．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 23．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2) (3)①；② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解； （2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论； （3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解． 【详解】（1）解：①分别过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ； ②同理①得：， ，， ； ③同理①得：， ，，， ； （2）解：，理由如下： 如图，作射线，分别过点作， 则， ， ， ， ， 即原图中：， （3）解： 由（2）可得：，， 平分，平分， ， ， 即， ， ； ②，， ，， ， 同理①的：， ，即， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，，平分，与的角平分线的反向延长线交于点，当时，则度数是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·重庆·月考）如图，已知直线，则，，之间的关系是（   ）    A． B． C． D． 例5（2025七年级下·浙江·专题练习）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为________°． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则________°． 4．（25-26七年级上·四川乐山·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个25-26发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是______ ． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成，在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行．当，时，__________． 6．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，，，，交于点F，则_____． 7．（24-25七年级下·重庆万州·月考）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且． 若，则的度数为______． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）图1是某移动硬臀助力机械手，图2是其示意图，现立柱基座AB，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成角度数为_________． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（在的左侧），伸展主臂，支撑臂构成，在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，当时，___________度 10．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 11．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 12．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    14．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 15．（25-26七年级上·山西临汾·期末）思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 16．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，，且比它的补角的多． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若点为直线上的一动点（点不在直线，上），连接，请你探究与之间的数量关系，直接写出你的结论，不需要证明． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 18．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 19．（24-25六年级下·全国·期末）已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 21．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 22．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 23．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $