专题05 三角线的线段和内角和问题（七大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05三角线的线段和内角和问题 目录 典例讲解 类型一、利用三边关系化简 类型二、三角形有关线段的作图问题 类型三、三角形的面积问题 类型四、利用三角形内角和定理计算 类型五、利用三角形内角和定理推理、证明 类型六、利用三角形外角的性质计算 类型七、利用三角形外角的性质证明 压轴专练 典例详解 类型一、利用三边关系化简 处理方式： ①先根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断绝对值内式子的正负； ②去绝对值符号（正不变，负变号），再合并同类项化简。 【例1】已知三角形的三边长分别为1，a,4,则化简a-1+a-7的结果等于() A.6 B.7 C.8 D.2a-8 【答案】A 【分析】 【详解】解：三角形三边长分别为1，a,4, .4-1<a<4+1, .3<a<5, .3<a<5, .a-1>0,a-7<0, 1/47 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a-1+a-7=(a-)+(7-a), a-1+a-7=a-1+7-a=6, 故选：A. 【例2】已知a,b,c是ABC的三条边长，化简：-3|a+b-c+2|b-c-a-|a-b-c上 【答案】-6b+4c 【详解】解：a,b,c是ABC的三条边长， ∴a+b>c,a+c>b,b+c>a, ∴.a+b-c>0,b-c-a<0,a-b-c<0, ..-3a+b-c+2b-c-a-a-b-c =-3a+b-c+2-b+c+a--a+b+c =-3a-3b+3c-2b+2c+2a+a-b-c =-3a+2a+a+-3b-2b-b)+3c+2c-c =-6b+4c. 故答案为：-6b+4C 【变式1-1】己知ABC的三边长分别为3,5，a,化简a-9+a-2= 【答案】7 【详解】解：因为ABC的三边长分别为3,5，a, 所以5-3<a<5+3. 解得2<a<8. ∴.a-9<0,a-2>0, a-9+a-2=9-a+a-2=7. 故答案为：7. 【变式1-2】已知ABC的三边长分别为a,b,c,化简：|a-b+c|-b-c-a|-|a+b+c|. 【答案】-a-b-c 【详解】：ABC的边长为a,b,C, ..a+c>b,b-c-a=b-(c+a)<0, 2/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..a-b+c-b-c-a-a+b+cl =a+c-b-(a+c-b)-a-b-c =a+c-b-a-c+b-a-b-c =-a-b-c. 【变式1-3】已知ABC的三边长分别为1,4，a,化简：a-2-a-1+a-6. 【答案】5-a 【详解】解：因为ABC的三边长分别为1,4，a. 所以4-1<a<4+1 解得3<a<5. .a-2>0,a-1>0,a-6<0, a-2-la-1+a-6 =a-2-(a-1)+6-a =5-a. 类型二、三角形有关线段的作图问题 【例3】如图，己知△ABC,根据下列要求画图并回答问题： B (I)过点A画AD⊥BC,垂足为D;点A到BC的距离是线段_的长： (2)过点C画CE‖AB,交AD于点E;再画CF⊥AC,交AB于点F; (3)连接EF,图中与△CEF面积相等的三角形是_， 【答案】(I)图见解析，AD; (2)见解析； (3)△CEA 【详解】(1)解：如图，AD即为所求. 3/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点A到BC的距离是线段AD的长. (2)解：如图，CE,CF即为所求. (3)解：CE‖AB, ∴点E到AB的距离与点F到CE的距离相等， S.CEF=SCEA 即与△CEF面积相等的三角形是△CEA, 【例4】如图，己知直角三角形ABC,∠C=90°，请按要求作图. 在原有图形基础上进行面积扩充，使扩充后图形的总面积为原图形面积的2倍，用两种方法尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹 【答案】见解析 【详解】解：如图1中，延长BC,在射线BC上截取点E,使CE=BC,连接AE,△ABE即为所求： 如图2中，延长AC,在射线AC上截取点D,使得CD=AC,连接BD,△ABD即为所求， A 图1 D 图2 【变式2-1】图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格 点，ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹， 4/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)在图①中，作ABC的中线BD. ②在图②中，在B边上找一点6，连接CE,使48CE的而积为号 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】(1)解：如图①，中线BD即为所求； B 图① (2)解：如图②，点E即为所求 t. B 图② 【变式2-2】如图，已知ABC中，AB=9,BC=12,AC=5. (I)画出ABC的高AD和BE; 5/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)画出ABC的中线CF; 3)计算4D 的值是 BE 【答案】（①）画图见解析 (2)画图见解析 35 12 【分析】 【详解】(1)解：如图所示，线段AD、BE即为所求； O E、 (2)解：如图所示，线段CF即为所求： (3)解：“S。4Bc -ADBC-1 ACBE. .AD BC ACBE, 、ADAC5 BE-BC12' 故答案为： 12 【变式2-3】如图，在ABC中，AB=AC=BC,P为ABC的外部一点，PM、PN、PO分别与直线AB 、AC、BC垂直，垂足分别为点M、N、Q,BD是ABC的高， P (I)作出线段BD、PM、PN、P2; (2)写出线段BD、PM、PN、PQ之间的等量关系式并证明. 【答案】(1)见解析 (2)PM+PN=BD+PQ,证明见解析 6/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：如图所示 D (2)解：PM+PN=BD+PQ,证明如下： 如上图，连接AP,BP,PC, S4BP SAPC S.ABC +S.BPC, LABxPM+1xACxPN=1xACxBD+1xBCxPQ,AB=AC =BC. :.2 2 2 .PM+PN BD+PO. 类型三、三角形的面积问题 【例5】如图，AD为ABC的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点E处，DE与边AC交于点F.记 △ACD的面积为S,,△AEF的面积为S2,要想求S,-S2的值，只要知道() 】 A.ABC的面积 B.△DFC的面积 C.△ADF的面积 D,四边形ABDF的面积 【答案】C 【分析】 【详解】解：：AD为ABC的中线， .S.ABD =S.ACD =S1, 由折叠的性质得：△ABD≌△AED, S.4BD =S.AED =S1, 7/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :SADF+S。AEF=SAED,S。AED=S1,SAEr=S2, S,-S2=S。4DF, ∴.想求S,-S2的值，只要知道△ADF的面积即可， 故选：C 【例6】如图，正方形ABCD,E、F分别为AB、BC上的点，连接AF、CE相交于一点G,若 BF S.ABE 2 BE4 BCSc7,BA5,△ABF的面积等于5，△BCE的面积等于14，求四边形EBFG的面积 D E B 【答案】 128420 2727 【详解】解：连接AC、BG,如图所示： G E BE 4 BA 5' AE1 BE 4' BE 2 BC 7' BF2 CF3' S.aGt=2 S.coF5 设S4GE=a,SBGF=2b,则SEBG=4a,SFGc=5b, :△ABF的面积等于5，△BCE的面积等于14， a+4a+2b=5 4a+2b+5b=14' 8/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a= 27 解得： b= 50, 27 7 28 50100 S,EB6=4× 27 27 S.Gr=2 27=27 28,100128 S国边形BEGr=S,BG+S,BGF= 272727 128 故答案为： 27 【变式3-1】如图所示，梯形下底是上底的1.5倍，梯形中阴影部分面积等于空白部分面积，三角形0BC的 面积是12，那么三角形A0D的面积是 【答案】8 【详解】解：设梯形上底AD为x,则下底BC为1.5x,△AOD的边AD上的高为m,△BOC上的高为， :梯形中阴影部分面积等于空白部分面积， :空白部分的面积等于梯形面积的一半，即△AOD的面积+△BOC的面积=梯形ABCD的面积的一半， 1.1 1（x+1.5x)m+n .5×xm+号×1.5xn=二× 2 2 2 2 1.5xn+xm_2.5xm+2.5xm 2 2xm+3xn=2.5xm+2.5xn, .m=n, S402=AD=x=2 S.B0c BC 1.5x3' 2 2 .S.4on=3S.0c=3 ×12=8, 故答案为：8 【变式3-2】平行四边形的面积是30m2(如图)，甲、乙底边的比是3：2，甲、乙、丙的面积比是， 其中乙三角形的面积是 cm2. 9/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 丙 甲 乙 【答案】 3:25 【分析】 【详解】解：由图形可知，三角形甲、乙、丙等高， :甲、乙、丙的面积比等于底之比， :甲、乙底边的比是3：2，平行四边形对边相等， 甲、乙、丙的底之比为3：2：5， :平行四边形的面积是30cm, “乙三角形的面积=30×2 =6(cm2）, 故答案为：3：2：5,6 【变式3-3】在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成6个面积相等的 小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在△ABC中，SA4Bc=12,E是BC上的动点，点D是 AC的中点，AE、BD相交于点F. D B E B E B E 图1 图2 图3 ①若E为BC的中点，如图2所示，则四边形CDFE的面积是 ②若BE:EC=1:4,如图3所示，则四边形CDFE的面积是 【答案】 4 28 5 【分析】 【详解】解：①如图2所示，连接CF交AB于点G, 10/47 专题05 三角线的线段和内角和问题 目录 典例讲解 类型一、利用三边关系化简 类型二、三角形有关线段的作图问题 类型三、三角形的面积问题 类型四、利用三角形内角和定理计算 类型五、利用三角形内角和定理推理、证明 类型六、利用三角形外角的性质计算 类型七、利用三角形外角的性质证明 压轴专练 类型一、利用三边关系化简 处理方式： ①先根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断绝对值内式子的正负； ②去绝对值符号（正不变，负变号），再合并同类项化简。 【例1】已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 【例2】已知a，b，c是的三条边长，化简:_______． 【变式1-1】已知的三边长分别为，，，化简________． 【变式1-2】已知的三边长分别为，化简：． 【变式1-3】已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 类型二、三角形有关线段的作图问题 【例3】如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． 【例4】如图，已知直角三角形，，请按要求作图． 在原有图形基础上进行面积扩充，使扩充后图形的总面积为原图形面积的2倍，用两种方法尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【变式2-1】图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作的中线． (2)在图②中，在边上找一点，连接，使的面积为． 【变式2-2】如图，已知中，，，． (1)画出的高和； (2)画出的中线； (3)计算的值是_________． 【变式2-3】如图，在中，，为的外部一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、，是的高． (1)作出线段、、、； (2)写出线段、、、之间的等量关系式并证明． 类型三、三角形的面积问题 【例5】如图，为的中线，将沿翻折，使点B落在点E处，与边交于点F．记的面积为，的面积为，要想求的值，只要知道（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【例6】如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积_____ 【变式3-1】如图所示，梯形下底是上底的倍，梯形中阴影部分面积等于空白部分面积，三角形的面积是12，那么三角形的面积是___________．    【变式3-2】平行四边形的面积是（如图），甲、乙底边的比是，甲、乙、丙的面积比是_______，其中乙三角形的面积是________cm2． 【变式3-3】在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点．    ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是________； ②若，如图3所示，则四边形的面积是________． 类型四、利用三角形内角和定理计算 处理方式： ①牢记核心定理：三角形内角和为； ②已知两角求第三角，直接用 减两角和； ③含比例/倍数关系，设未知数（如设最小角为），列方程求解。 【例7】如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，是边上的高，平分交于点．若，求和的度数． 【变式4-1】如图，四边形中，，E、F分别是、上的点，当的周长最小时，的度数为_____． 【变式4-2】图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合：使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知是的角平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 类型五、利用三角形内角和定理推理、证明 【例9】证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【例10】如图，直线分别与直线，相交于点，，．    (1)如图1，写出直线，的位置关系，并证明； (2)如图2，的平分线与的平分线相交于点．写出线段，位置关系，并证明； (3)如图3，点在线段上，的平分线与的平分线相交于点．用等式表示与的数量关系，并证明． 【变式5-1】在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【变式5-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【变式5-3】在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 类型六、利用三角形外角的性质计算 处理方式： ①核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任意一个不相邻内角； ②直接套用性质代换角度，将外角转化为两个内角和计算； ③多角嵌套时，逐层利用外角性质，逐步拆解求解目标角。 【例11】如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【例12】如图，是的角平分线， ，交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【变式6-1】如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的度数为 ________ ． 【变式6-2】如图，直线，，E，F在上，且满足，平分． (1)求的度数； (2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围：若不变，求出这个比值； (3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况使?若存在，求出的度数；若不存在，说明理由． 【变式6-3】如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点P，，，求和的度数． 类型七、利用三角形外角的性质证明 【例13】如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【例14】已知四边形ABCD，， (1)如图1所示，求证：； (2)如图2所示，点E、F在线段BC上，且保持，AF平分． ①求证：； ②如图3，若上下平行移动AD，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 【变式7-1】已知直线，点C，B分别在直线，上，点A在直线和之间．    (1)如图1，若，则______； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，点E在直线上，且，求证：； 【变式7-2】（1）如图（1）所示，中，，的平分线交于点O，求证：； （2）如图（2）所示，，的平分线交干点O，求证：； （3）如图（3）所示，，的平分线交于点O，请直接写出与的关系． 【变式7-3】如图1，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是，，交于．（注：长方形对边平行，四个角都是直角）    (1)求证：； (2)如图2，再将图1中的四边形沿折叠，点，的落点分别是，，交于． ①求证：； ②若，求的度数． 1．设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 3．小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为____________． 5．已知有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，且，则这个三角形的最大内角度数为______． 6．如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度． 7．如图，点是射线上一点，，，平分，点在射线上，连接．当垂直于的一边时，的度数为______． 8．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 9．如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 10．如图，在中，，，于点，平分，求与的度数． 11．已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图1，直接写出和之间的数量关系______； (2)如图2，过点B作于点D，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，则与有什么位置关系，说明理由． 12．如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 13．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图②，且恰好平分，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $