专题1.2 三角恒等变换9大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题1.2 三角恒等变换（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两角和差的正余弦公式的应用 题型02 两角和差的正余弦公式的逆用 题型03 两角和差的正切公式的应用 题型04 两角和差的正切公式的逆用 题型05 二倍角公式、降幂公式的应用 题型06半角公式、万能公式、辅助角公式的应用 题型07 给角求值 题型08 给值求值 题型09 给值求角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两角和差的正弦、余弦、正切公式 熟练掌握公式结构，能快速识别并逆用公式；能将非特殊角拆分为特殊角的和差；能处理系数不匹配的变形。 必考题，选择填空多考查，解答题中作为化简变形的基础步骤出现，常与倍角公式结合。 二倍角公式、降幂公式 灵活选择 的不同形式；熟练运用降幂公式实现升角降次；能处理 与二倍角的互化。 高频考点，常在化简求值中作为核心步骤。常与两角和差公式结合考察。 半角公式、万能公式 理解公式的推导过程，能根据条件选择合适形式；掌握符号判断方法；熟练使用表达式 考查频率较低，多在求值问题中间接使用。 辅助角公式 能将三角函数和差化为单一三角函数后，结合三角函数的性质问题准确解答。 必考内容，常与三角函数图象性质结合出现。 知识点01 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 知识点02 二倍角公式、降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 知识点03 半角公式、万能公式、辅助角公式 1、半角公式 ①； ②； ③； 2、万能公式 cos 3、辅助角公式 （其中）． 题型一 两角和差的正余弦公式的应用 解｜题｜技｜巧 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 3、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 4、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 【典例1】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·天津西青·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26高一上·河北唐山·月考）若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 题型二 两角和差的正余弦公式的逆用 答｜题｜模｜板 观察式子结构，匹配或 的形式，直接逆用公式写出或。 【典例1】（25-26高二上·江苏南京·月考）若，为第二象限角，则＝（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：______ 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 题型三 两角和差的正切公式的应用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的应用，注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把所求的角拆成两个已知正切值的角，然后套用两角和差的正切公式。 【典例1】（25-26高一下·上海·月考）已知是第一象限角，且，则的值为_________． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边经过点，，则______. 【变式2】（25-26高一下·云南·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四 两角和差的正切公式的逆用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的逆用以及这个公式的一些变形，尤其是将1替换为  ​ 辅助凑形的变换。 【典例1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则________. 【典例2】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 【变式1】（2026高一下·全国·专题练习）已知的三个内角满足，则________． 【变式2】（2025·广东肇庆·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型五 二倍角公式、降幂公式的应用 答｜题｜模｜板 1、化简求值：遇结构，直接展开转化为单角，遇，优先考虑化为 统一角度 2、升幂降次：遇 时，用降幂公式将二次降为一次，遇 时，可根据需求选择不同形式（含或） 3. 统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简与证明： (1)化简：． (2)证明：． 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，化简． （2）证明：． 【变式1】（云南红河州、文山州2026届高三模拟预测数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三下·上海·专题练习）已知，则__________. 题型六 半角公式、万能公式、辅助角公式的应用 答｜题｜模｜板 1、半角公式：遇与共存时，优先考虑半角转化，开方时根据  所在象限确定符号 2、万能公式：将三角函数统一化为的有理式，适合求值域、解方程 3、辅助角公式：提取 后，构造 用于求最值、单调区间、对称轴时，先化为单一三角函数 【典例1】（25-26高一下·天津河北·开学考试）若为钝角，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知且，则的值为_____________． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）解不等式：． 【变式2】（25-26高一上·河北唐山·月考）已知，.则__________. 题型七 给角求值 答｜题｜模｜板 1、对角进行拆分、尽可能化为同角、特殊角，已知正余弦值的角。 2、通过三角恒等变换公式的应用、逆用、变形对项进行求值。 【典例1】（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 【典例2】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期末）下列等式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 题型八 给值求值 答｜题｜模｜板 1、利用诱导公式、拆角配角等来转换角度。常见的一些拆角：化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。主要角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 2、弦化切。对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 3、利用平方关系。对通过该关系式可以对与进行互化。遇到式子时，可以考虑平方相加。遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 【典例1】（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【变式1】（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 题型八 给值求角 答｜题｜模｜板 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，且，，则______ 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 【变式1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广东湛江·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B．1 C． D． 5．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·天津河北·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值 2．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知，为锐角，若，，则______； 3．（25-26高一下·全国·课后作业）化简：_____________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知都是锐角，，则______ 5．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·重庆·月考）函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，且．求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 三角恒等变换（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两角和差的正余弦公式的应用 题型02 两角和差的正余弦公式的逆用 题型03 两角和差的正切公式的应用 题型04 两角和差的正切公式的逆用 题型05 二倍角公式、降幂公式的应用 题型06半角公式、万能公式、辅助角公式的应用 题型07 给角求值 题型08 给值求值 题型09 给值求角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两角和差的正弦、余弦、正切公式 熟练掌握公式结构，能快速识别并逆用公式；能将非特殊角拆分为特殊角的和差；能处理系数不匹配的变形。 必考题，选择填空多考查，解答题中作为化简变形的基础步骤出现，常与倍角公式结合。 二倍角公式、降幂公式 灵活选择 的不同形式；熟练运用降幂公式实现升角降次；能处理 与二倍角的互化。 高频考点，常在化简求值中作为核心步骤。常与两角和差公式结合考察。 半角公式、万能公式 理解公式的推导过程，能根据条件选择合适形式；掌握符号判断方法；熟练使用表达式 考查频率较低，多在求值问题中间接使用。 辅助角公式 能将三角函数和差化为单一三角函数后，结合三角函数的性质问题准确解答。 必考内容，常与三角函数图象性质结合出现。 知识点01 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 知识点02 二倍角公式、降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 ； 在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 知识点03 半角公式、万能公式、辅助角公式 1、半角公式 ①； ②； ③； 2、万能公式 cos 3、辅助角公式 （其中）． 题型一 两角和差的正余弦公式的应用 解｜题｜技｜巧 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 3、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 4、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 【典例1】（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由同角三角函数的基本关系及和差公式即可求解. 【详解】由条件知，为第二或三象限角，． 当为第二象限角时，，； 当为第三象限角时，，． 故选：AC 【典例2】（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为， 联立，解得. 可得 . 【变式1】（25-26高一上·天津西青·期末）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案. 【详解】是锐角，，故， 又，都是锐角，故，又， 故，所以， 所以 . 故选：B 【变式2】（25-26高一上·河北唐山·月考）若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角公式可得，再结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】因为，且是第四象限角，则， 所以 题型二 两角和差的正余弦公式的逆用 答｜题｜模｜板 观察式子结构，匹配或 的形式，直接逆用公式写出或。 【典例1】（25-26高二上·江苏南京·月考）若，为第二象限角，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的余弦公式化简已知条件，可得，从而可得，再结合正切两角和公式即可求解. 【详解】由， 则，又为第二象限角，所以，所以， 所以，故A正确． 故选：A． 【典例2】（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果. 【详解】易知. 故选：A. 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：______ 【答案】1 【详解】原式． 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 题型三 两角和差的正切公式的应用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的应用，注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把所求的角拆成两个已知正切值的角，然后套用两角和差的正切公式。 【典例1】（25-26高一下·上海·月考）已知是第一象限角，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系求得，再结合正切的差角公式求解即可. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 又因为 所以． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 【变式1】（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边经过点，，则______. 【答案】 【分析】先利用三角函数定义得到，再利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得到， 所以. 【变式2】（25-26高一下·云南·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可得出的值，利用二倍角的正弦公式可得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以，则， 故. 题型四 两角和差的正切公式的逆用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的逆用以及这个公式的一些变形，尤其是将1替换为  ​ 辅助凑形的变换。 【典例1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则________. 【答案】 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 【典例2】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知实数满足，则下列情形不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先将已知等式化简得到与的关系，再逐一验证选项是否满足该关系. 【详解】已知， 变形可得： 因此（）. 对于选项A：，时，则，成立. 对于选项B：，时，则，成立. 对于选项C：时，则，故该情形不成立. 对于选项D：，时，则，成立. 故选：C 【变式1】（2026高一下·全国·专题练习）已知的三个内角满足，则________． 【答案】 【分析】根据三角形正切恒等式即可求解． 【详解】由三角形正切恒等式知， 恒等式证明：在中，，所以， 则， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2025·广东肇庆·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数商数的关系化简，结合两角和的正切公式得，利用诱导公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，∴（），∴. 故选：C. 题型五 二倍角公式、降幂公式的应用 答｜题｜模｜板 1、化简求值：遇结构，直接展开转化为单角，遇，优先考虑化为 统一角度 2、升幂降次：遇 时，用降幂公式将二次降为一次，遇 时，可根据需求选择不同形式（含或） 3. 统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简与证明： (1)化简：． (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为. 所以， ， ， ， 当时，原式无意义； 当，即， 即，即，时， 原式=， ， ，. （2）（2）证明 ： 左边 ＝右边， 所以． 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，化简． （2）证明：． 【答案】（1）0；（2）证明见解析 【详解】（1）由，得，， 所以 ． （2）证明：左边 右边． 所以． 【变式1】（云南红河州、文山州2026届高三模拟预测数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，所以， 所以，则． 【变式2】（2026高三下·上海·专题练习）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】化为齐次式，化弦为切即可得解. 【详解】因为，所以. 题型六 半角公式、万能公式、辅助角公式的应用 答｜题｜模｜板 1、半角公式：遇与共存时，优先考虑半角转化，开方时根据  所在象限确定符号 2、万能公式：将三角函数统一化为的有理式，适合求值域、解方程 3、辅助角公式：提取 后，构造 用于求最值、单调区间、对称轴时，先化为单一三角函数 【典例1】（25-26高一下·天津河北·开学考试）若为钝角，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，故， 而为钝角，故为锐角，故. 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知且，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件求出值，进而求出，再利用半角正切公式计算求解． 【详解】 由且，可知， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）解不等式：． 【答案】 【分析】令，利用万能公式化简整理不等式得，可解得，即，再根据正切函数的性质解不等式即可. 【详解】令，则， 利用万能公式将不等式化为， 化简整理得，则， 即，， ，，即， 则，解得，． ∴原不等式的解集为． 【变式2】（25-26高一上·河北唐山·月考）已知，.则__________. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的性质和基本不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 题型七 给角求值 答｜题｜模｜板 1、对角进行拆分、尽可能化为同角、特殊角，已知正余弦值的角。 2、通过三角恒等变换公式的应用、逆用、变形对项进行求值。 【典例1】（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 【典例2】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项D符合题意. 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期末）下列等式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A：运用正弦诱导公式进行运算判断即可；B：逆用二倍角余弦公式进行运算判断即可；C：逆用两角差的余弦公式进行运算判断即可；D：逆用两角差的正切公式进行运算判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项计算正确； B：，所以本选项计算不正确； C：，所以本选项计算不正确； D：，所以本选项计算正确. 故选：AD 【变式2】（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 题型八 给值求值 答｜题｜模｜板 1、利用诱导公式、拆角配角等来转换角度。常见的一些拆角：化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。主要角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 2、弦化切。对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 3、利用平方关系。对通过该关系式可以对与进行互化。遇到式子时，可以考虑平方相加。遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 【典例1】（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【答案】 / 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 【变式1】（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果. 【详解】由可得，解得； 则. 【变式2】（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解. 【详解】因为， 化简得， 即，又，， 所以. 题型八 给值求角 答｜题｜模｜板 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，且，，则______ 【答案】/ 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，并求出的取值范围，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因，则， 故 ， 因为，，所以，故. 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 【变式1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【变式2】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广东湛江·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由两角和的正弦公式可判断，对于BC，由两角和的正切公式可判断，对于D，由切化弦，结合余弦二倍角公式可判断. 【详解】 ，A正确； ， 所以，B正确： ，C错误； ，D错误． 故选：AB． 2．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式求得，再利用两角和与差的三角函数公式和辅助角公式化简，可得结果. 【详解】由. 又. 所以. 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 可得 ． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·天津河北·月考）已知. (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知与的范围，先由同角三角函数平方关系求出，再由商数关系求出； （2）先由二倍角公式求出与，再代入两角和的余弦公式展开计算. 【详解】（1） ； （2） . 2．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知，为锐角，若，，则______； 【答案】 【详解】设， 两边平方相加得 . 又因为，， 所以，所以， 又，为锐角，所以，所以， 所以. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）化简：_____________． 【答案】 【分析】利用积化和差公式化简即可求解. 【详解】原式 因为 所以原式 ． 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知都是锐角，，则______ 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 5．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 所以. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数关系结合条件即可得，则有，经验证，故A正确，对于B，，两边同时乘以，结合二倍角公式即可证明，对于C，使用半角公式可得，其中，结合诱导公式可得，使用和差化积可得，即，进而可求得，故C正确，对于D，由C知，，且，则有，进而可解得，故D正确. 【详解】对于A，， ， 因为，即，即， 即，则有， 当时，，在内无解， 当时，，令，，故A正确； 对于B，， 两边同时乘以得 ， 即，故B错误； 对于C，， 代入，， 故 因为， 所以， 故，故C正确； 对于D，由C知，即， 即，且， 则有， 即，故D正确， 故选：ACD. 2．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】启用万能公式，分别代入原式两边，进行代数式的变形，使两边经代数形式变换取得相等． 【详解】证明：设，由万能公式，则，， 分别代入原式两边，并进行代数式变形： 左边， 右边， ∵左边右边，∴原等式成立． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知可得，由同角的平方关系可判断A；由余弦的二倍角公式可判断B；由同角的平方关系及商数关系可判断C；由诱导公式可判断D. 【详解】由， 即， 得， 所以，故A正确； ，而，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 4．（25-26高三下·重庆·月考）函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法构造函数利用单调性求最值 【详解】令，则，且， 所以，， 因为， 令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，且．求的值． 【答案】 【分析】根据二倍角公式的两角和差的正切公式求解即可. 【详解】 . 因为，所以． 又， 所以，． 故原式． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $