第07讲 勾股定理的逆定理（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪科版）八年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 勾股定理的逆定理（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 3.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 续表 关系 【知识点02】勾股数 1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 . 2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”： 看是不是三个正整数 . (2)“找”： 找最大数 . (3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 . 【题型一】判断三边能否构成直角三角形 例1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C． D． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）在中，a，b，c分别是，，的对边．若，则为______（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1． (1)以图中点为一个顶点画，使，，，且点，点都在小正方形的顶点上； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型二】图形上与已知两点构成直角三角形的点 例2．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 变式1．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 变式2．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【题型三】在网格中判断直角三角形 例3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1，则的面积为______． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． (2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 【题型四】利用勾股定理的逆定理求解 例4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 变式1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则______． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【题型五】勾股定理逆定理的实际应用 例5．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）（“里”是我国市制长度单位，里米） A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米 变式1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于________．    变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【题型六】勾股定理逆定理的拓展问题 例6．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 变式1．（2024八年级下·安徽安庆·期中）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___． 变式2．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 【题型七】勾股树（数）问题 例7．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 变式1．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则__________． 变式2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 一、单选题 1．下列各组数据为勾股数的是（   ） A．8，15，17 B．，， C．，，4 D．2，3，4 2．中，、、所对的边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 4．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 5．已知四个三角形分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和；    ②三个内角度数之比为； ③三边长分别为3，4，5；④三边长的比为．其中直角三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（    ） A．南偏西30° B．南偏东60° C．北偏西30°或南偏东30° D．南偏东60°或北偏西60° 7．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 8．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 10．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 二、填空题 11．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 12．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 13．已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是____． 14．在中，已知，，则的度数为____________． 15．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于________． 16．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题 17．如图，在中，，，，是边上的中线，求的长． 18．在平面直角坐标系中，已知，点在轴上． (1)若的面积为，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形． (1)求的三边的长； (2)判断的形状，并说明理由． 20．如图所示，在四边形中，，，，，． (1)试说明：； (2)计算四边形的面积． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． (1)若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； (2)P是第一象限内一点，画出以点A、B、P为顶点的等腰直角三角形，并写出点的坐标． 22．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C都在格点（每个小正方形的顶点）上． (1)填空： ______，______． (2)求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 勾股定理的逆定理（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 3.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 续表 关系 【知识点02】勾股数 1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 . 2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”： 看是不是三个正整数 . (2)“找”： 找最大数 . (3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 . 【题型一】判断三边能否构成直角三角形 例1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）在中，a，b，c分别是，，的对边．若，则为______（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】锐角 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若一个三角形中，两边的长的平方等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理的逆定理可得时，为直角，则根据大边对大角可知，当时，是锐角， 故答案为：锐角． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1． (1)以图中点为一个顶点画，使，，，且点，点都在小正方形的顶点上； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，在网格中正确作出图形是解题的关键． （1）利用勾股定理，结合网格特点作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形． 【详解】（1）解：如图所示．（位置不唯一） （2）解：是直角三角形．理由如下： ，， ． 是直角三角形． 【题型二】图形上与已知两点构成直角三角形的点 例2．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 变式1．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 变式2．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【答案】见解析 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置. 【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②. 【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 【题型三】在网格中判断直角三角形 例3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 变式1．如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1，则的面积为______． 【答案】13 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】根据网格的特点和勾股定理求得,根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】，，, ， 为直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． (2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、无理数 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理画对应要求的直角三角形，无理数，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）找出常用的勾股数作图即可； （2）结合无理数的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图1：即为所求， ． ∵ ，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图2，即为所求， ∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∴． 【题型四】利用勾股定理的逆定理求解 例4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则______． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 【题型五】勾股定理逆定理的实际应用 例5．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）（“里”是我国市制长度单位，里米） A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 变式1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于________．    【答案】/90度 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】平方米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．证明是直角三角形，即可推出结果． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，由勾股定理得， ， 在中， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积（平方米）． 【题型六】勾股定理逆定理的拓展问题 例6．ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 【答案】A 【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状. 【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时， 由勾股定理可知42+52=41>36=62 可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形. 故应选A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势. 变式1．（2024八年级下·安徽安庆·期中）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___． 【答案】②③． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形． 【详解】解：（1）根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项错误； （2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确； （3），，这三个数中一定最大，，， 又∵2ab=2ch=4S△ABC， ∴，根据勾股定理的逆定理，即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确； （4）若以，，的长为边的3条线段能组成直角三角形， 假设a=3，b=4，c=5， ∵， ∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法． 变式2．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积． 小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；    [思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:    [探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)． 【答案】（1）5（2）3.5a2（3）4mn． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）依据图像的特点用割补法进行计算即可； （2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，3a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，3a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）是以2m，n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，3n为直角边的直角三角形的斜边长；是以4m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积． 【详解】（1）△ABC的面积＝3×4−×2×2−×1×4−×2×3＝5， 故答案为：5； （2）如图：由图可得，S△ABC＝3a×3a−×a×2a−×2a×3a−×a×3a＝3.5a2；     （3）如图，AB=，AC=，BC= ∴S△ABC＝4m×3n−×2m×n−×2m×3n−×4m×2n＝4mn．    【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键． 【题型七】勾股树（数）问题 例7．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则__________． 【答案】5 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 变式2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【答案】（1）；（2） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据题意给出的四组三维勾股数，可知，第一个数比第四个数小2，据此列出方程组计算即可； （2）根据（1）的方法以及已知定义，列出方程组，进而用含的式子分别表示，． 【详解】（1），，，是“三维勾股数”， ， ， 由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积， ，且为正整数， ， 解得， （2）， ， 即， 令， 解得， ． 【点睛】本题考查了新概念类比勾股数进行求解即可，找出题目中所给数据的规律是解题的关键． 一、单选题 1．下列各组数据为勾股数的是（   ） A．8，15，17 B．，， C．，，4 D．2，3，4 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A选项：8，15，17，均为正整数， ，符合勾股数定义，符合题意； B选项：，，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C选项：不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； D选项：，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：A 2．中，、、所对的边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．根据三角形内角和定理可得A、B、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【详解】 解：A、，，故不能判定是直角三角形； B、∵，，，故为直角三角形； C、，，故为直角三角形； D、∵，设，∴，为直角三角形； 故选：A． 3．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 4．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 5．已知四个三角形分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和；    ②三个内角度数之比为； ③三边长分别为3，4，5；④三边长的比为．其中直角三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关知识，掌握直角三角形的定义、勾股定理逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键；根据题干所给条件借助未知数，以及三角形内角和定理求出三角形各内角大小，或得出三角形三边满足的等量关系，借助勾股定理逆定理作出判断，即可解题． 【详解】解：①设， ， ， 故①正确； ②设， ， 则，，则， ，则，则，， 故②错误； ③， 该三角形是直角三角形： 故③正确； ④设较短边为，且三边长的比为，则其余两边为，， ， 该三角形是直角三角形． 故④正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 6．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮15min到达A，乙客轮用20min到达B点，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是（    ） A．南偏西30° B．南偏东60° C．北偏西30°或南偏东30° D．南偏东60°或北偏西60° 【答案】D 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：如图： ∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B， ∴甲客轮走了40×15=600（m），乙客轮走了40×20=800（m）， ∵A、B两点的直线距离为1000m， ∴6002+8002=10002， ∴∠AOB=90°， ∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， ∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°， 同理可得：乙客轮的航行方向也可能是北偏西60°． 综上所述：乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 8．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 10．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 二、填空题 11．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 12．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 13．已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是____． 【答案】24cm2． 【分析】根据勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可. 【详解】∵62+82=102， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：6×8=24(cm2)． 故答案为：24cm2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握是解题的关键． 14．在中，已知，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键． 由条件可得，根据勾股定理的逆定理，可知，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于________． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 16．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 三、解答题 17．如图，在中，，，，是边上的中线，求的长． 【答案】AD= 【分析】先通过勾股定理证明△ABC为直角三角形，再求AD长． 【详解】∵ ∴△ABC为直角三角形 ∵BD=BC=5 ∴ 【点睛】本题考查勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是本题关键． 18．在平面直角坐标系中，已知，点在轴上． (1)若的面积为，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)是三边不相等三角形，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形，涉及两点之间距离公式，数形结合是解决问题的关键． （1）由题意，结合三角形面积列方程求解即可得到答案； （2）由两点之间距离公式代值求解，根据三角形三边长度即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 设， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：是三边不相等三角形， 理由如下： 当时： ， 由于三边不相等，则是不等边三角形； 当时： ， 即是三边不相等三角形． 19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形． (1)求的三边的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 20．如图所示，在四边形中，，，，，． (1)试说明：； (2)计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，是直角三角形； （2）解：∵， ∴． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． (1)若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； (2)P是第一象限内一点，画出以点A、B、P为顶点的等腰直角三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，等腰直角三角形的定义，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据等腰直角三角形的定义结合网格求解即可． 【详解】（1）解∶如图，即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴． 22．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C都在格点（每个小正方形的顶点）上． (1)填空： ______，______． (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理． （1）根据勾股定理，即可解答； （2）连接，则，根据勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：如图，连接，则， 由（1），知， 所以． 因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $