专题17.1 平行四边形的性质（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题17.1 平行四边形的性质 教学目标 1.掌握平行四边形的定义、表示方法及边、角、对角线、对称性等核心性质。 2.理解两条平行线之间的距离概念及性质，能运用平行四边形性质进行边长、角度、面积计算。 3.能利用平行四边形性质证明线段相等、角相等、线段平行等结论，提升推理能力。 4.会运用平行四边形性质解决实际问题，构建数学建模思想。 5.了解平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合应用，初步形成转化思想。 教学重难点 重点 （1）平行四边形的定义及边、角、对角线的核心性质。 （2）利用性质进行边长、角度、面积的计算。 （3）平行线之间的距离概念及“处处相等”的性质应用。 （4）结合性质证明线段、角的关系。 难点 （1）平行四边形性质与全等三角形、等腰三角形的综合推理。 （2）含折叠、旋转的平行四边形问题中，性质的灵活运用。 （3）实际问题中隐含条件的挖掘（如高与底的对应、图形对称关系）。 （4）平行线之间距离与平行四边形面积的关联计算。 知识点01：平行四边形的定义与表示 1.定义： 的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法：用符号“”表示，如平行四边形记作，需按 或 顺序标注顶点，不可单独使用符号代替“平行四边形”。 3.双重属性：定义既是性质（平行四边形两组对边分别平行），也是判定方法（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·河北邢台·月考）如图所示，四边形是平行四边形，可以记作（    ） A． B． C． D． 知识点02：平行四边形的核心性质 性质维度 具体内容 符号语言 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线交点 对角线、交于，为对称中心 边 ，；， 角 ，；等 对角线 ， 【即学即练】 1．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 知识点03：两条平行线之间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫做这两条平行线之间的 。 2.性质：平行线之间的距离 ，是定值（与垂线段位置无关）。 3.关联应用：可用于解决平行四边形的高、同底等高图形面积等问题。 【即学即练】 1．（2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 知识点04：平行四边形的面积与周长 1.周长： （两邻边和的2倍）。 2.面积： （底与高需对应，即高为底边上的垂线段长度）。 3.拓展结论： 等底等高的平行四边形面积相等； 对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形（均为平行四边形面积的）； 过对角线交点的直线，将平行四边形分成周长和面积均相等的两部分。 【即学即练】 1．（23-24七年级上·广东肇庆·开学考试）一个平行四边形框架，拉动一组对角变成了一个长方形（如图）．这两个图形相比较（    ）    A．面积相等，周长不等 B．面积不等，周长不等 C．面积相等，周长相等 D．面积不等，周长相等 题型01平行四边形的定义识别 方法技巧：紧扣“两组对边分别平行”“同一四边形”“含同一未知数”核心条件，排除非平行四边形（如单组对边平行、含非平行对边的图形）。 【典例1】. （24-25八年级下·四川成都·期末）下列各命题是真命题的是（ ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形相邻的两个角相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【变式1】. （24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．平行四边形对边平行 B．平行四边形邻边相等 C．平行四边形对角线互相垂直 D．平行四边形对角互补 【变式2】. （23-24八年级上·浙江金华·期末）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边平行 C．平行四边形对角互补 D．平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【变式3】. （23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．其中，错误的说法是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型02平行四边形边、角性质的基础计算 方法技巧：直接运用“对边相等”“对角相等”“邻角互补”性质，结合已知条件列式计算；求周长先找两邻边长度，求角度注意邻角与对角的区别。 【典例2】. （25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·周测）在中，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 题型03平行四边形对角线性质的应用 方法技巧：牢记“对角线互相平分”，即对角线交点为中点，可转化为线段中点问题；涉及对角线长度计算时，结合三角形三边关系辅助判断。 【典例3】. （22-23八年级上·重庆·期中）如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【变式1】. （21-22八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的对角线，请用尺规作图法在线段上找一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式2】. （2022·广西河池·二模）如图，在中，平分交于． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证： 【变式3】. （2026年陕西省铜川市中考一模数学试题）如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 题型04平行线之间距离的计算与应用 方法技巧：明确距离是“垂线段长度”，利用“处处相等”性质，可转化为平行四边形的高，用于面积计算或线段长度推导。 【典例4】. （24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·周测）如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【变式3】. （24-25九年级下·广东东莞·自主招生）如图，在平行四边形中，、两点分别在、边上，，连接，分别交于，两点． (1)求证：； (2)求证：． 题型05平行四边形面积的计算 方法技巧：先确定底和对应的高（避免底高不对应），灵活运用“等积法”（同一平行四边形不同底高的乘积相等）求解未知边长或高。 【典例5】. （24-25七年级上·河南南阳·开学考试）在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【变式1】. （24-25八年级下·湖北宜昌·期中）已知直线与平行四边形的一组对边分别相交于E、F两点，以下命题及逆命题都正确的有（　　） ①当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点； ②当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点； ③当直线平分的周长时，那么直线必平分的面积； ④当直线平分的面积时，那么直线必平分的周长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】. （22-23八年级下·陕西汉中·期末）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【变式3】. （23-24八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是面积为S的平行四边形． (1)如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； (2)如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； (3)如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明； (4)如图④，已知点为内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接，求的面积． 题型06利用平行四边形性质证明线段/角相等 方法技巧：通过平行四边形性质得到对边平行/相等、对角相等，再结合全等三角形判定（ASA、SAS、AAS等）证明结论；优先利用对称性简化推理。 【典例6】. （2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． (1)求证：． (2)求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】. （2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【变式3】. （25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型07平行四边形与折叠、旋转的综合计算 方法技巧：折叠/旋转前后图形全等，对应边、对应角相等，结合平行四边形对边平行的性质，推导角度或边长关系，注意折叠后重合部分的等量关系。 【典例7】. （25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【变式3】. （2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 题型08平行四边形与全等三角形的综合推理 方法技巧：先利用平行四边形性质转化边、角条件（如对边相等、内错角相等），再构造全等三角形，通过全等结论反向推导所需证明的线段或角关系。 【典例8】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 【变式1】. （2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【变式2】. （2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 【变式3】. （25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 一、单选题 1．下列结论中，不一定成立的是（    ） A．平行四边形对边平行 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线互相平分 D．平行四边形对角线相等 2．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 4．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 5．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题 6．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 7．如图，在中，对角线与相交于点O，，E为中点，若，，则的长是_____ 8．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 9．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 10．如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 三、解答题 11．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 12．如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 13．如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 14．在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于点．若，，求的值． 15．请阅读下列材料： 小海在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和．小海很感兴趣，并尝试进行了证明． (1)请完成小海的证明过程． (2)如图，在中，，，，求的周长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.1 平行四边形的性质 教学目标 1.掌握平行四边形的定义、表示方法及边、角、对角线、对称性等核心性质。 2.理解两条平行线之间的距离概念及性质，能运用平行四边形性质进行边长、角度、面积计算。 3.能利用平行四边形性质证明线段相等、角相等、线段平行等结论，提升推理能力。 4.会运用平行四边形性质解决实际问题，构建数学建模思想。 5.了解平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合应用，初步形成转化思想。 教学重难点 重点 （1）平行四边形的定义及边、角、对角线的核心性质。 （2）利用性质进行边长、角度、面积的计算。 （3）平行线之间的距离概念及“处处相等”的性质应用。 （4）结合性质证明线段、角的关系。 难点 （1）平行四边形性质与全等三角形、等腰三角形的综合推理。 （2）含折叠、旋转的平行四边形问题中，性质的灵活运用。 （3）实际问题中隐含条件的挖掘（如高与底的对应、图形对称关系）。 （4）平行线之间距离与平行四边形面积的关联计算。 知识点01：平行四边形的定义与表示 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法：用符号“”表示，如平行四边形记作，需按顺时针或逆时针顺序标注顶点，不可单独使用符号代替“平行四边形”。 3.双重属性：定义既是性质（平行四边形两组对边分别平行），也是判定方法（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·河北邢台·月考）如图所示，四边形是平行四边形，可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的表示，根据平行四边形的表示方法即可求解，掌握平行四边形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，可以记作， 故选：． 知识点02：平行四边形的核心性质 性质维度 具体内容 符号语言 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线交点 对角线、交于，为对称中心 边 对边平行且相等 ，；， 角 对角相等，邻角互补 ，；等 对角线 互相平分 ， 【即学即练】 1．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 知识点03：两条平行线之间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做这两条平行线之间的距离。 2.性质：平行线之间的距离处处相等，是定值（与垂线段位置无关）。 3.关联应用：可用于解决平行四边形的高、同底等高图形面积等问题。 【即学即练】 2．（2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 知识点04：平行四边形的面积与周长 1.周长：（两邻边和的2倍）。 2.面积：底高（底与高需对应，即高为底边上的垂线段长度）。 3.拓展结论： 等底等高的平行四边形面积相等； 对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形（均为平行四边形面积的）； 过对角线交点的直线，将平行四边形分成周长和面积均相等的两部分。 【即学即练】 3．（23-24七年级上·广东肇庆·开学考试）一个平行四边形框架，拉动一组对角变成了一个长方形（如图）．这两个图形相比较（    ）    A．面积相等，周长不等 B．面积不等，周长不等 C．面积相等，周长相等 D．面积不等，周长相等 【答案】D 【分析】把长方形拉成平行四边形时，平行四边形的底等于原长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽，四条边长不变，据此可选择． 【详解】解：如图：    因为平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，且底＝长，高＜宽， 所以两个图形面积不相等， 因为一个平行四边形框架，拉动一组对角变成了一个长方形， 所以两个图形四条边长不变，它们的周长相等。 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形和长方形的关系，明确长方形的宽不等于平行四边形的高是关键． 题型01平行四边形的定义识别 方法技巧：紧扣“两组对边分别平行”“同一四边形”“含同一未知数”核心条件，排除非平行四边形（如单组对边平行、含非平行对边的图形）。 【典例1】. （24-25八年级下·四川成都·期末）下列各命题是真命题的是（ ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形相邻的两个角相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 利用平行四边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：．平行四边形的对角线互相平分但不相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ．平行四边形的相邻的两个角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； ．一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：． 【变式1】. （24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（    ）． A．平行四边形对边平行 B．平行四边形邻边相等 C．平行四边形对角线互相垂直 D．平行四边形对角互补 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形对边平行，说法正确，符合题意； B、平行四边形邻边不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分，原说法错误，不符合题意； D、平行四边形对角相等，原说法错误，不符合题意； 故选A． 【变式2】. （23-24八年级上·浙江金华·期末）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边平行 C．平行四边形对角互补 D．平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形邻边不一定相等，故选项错误，不符合题意； B．平行四边形对边平行，故选项正确，符合题意； C．平行四边形对角相等但不一定互补，故选项错误，不符合题意； D．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式3】. （23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．其中，错误的说法是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故④符合题意； 故选：D． 题型02平行四边形边、角性质的基础计算 方法技巧：直接运用“对边相等”“对角相等”“邻角互补”性质，结合已知条件列式计算；求周长先找两邻边长度，求角度注意邻角与对角的区别。 【典例2】. （25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·周测）在中，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，计算周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，cm，cm， ∴cm，cm， ∴cm． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题关键． 【变式2】. （24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 【变式3】. （24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质包括对角线互相平分，但对角线不一定相等或垂直，据此进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、互相垂直， ∴选项C正确； 故选：C 题型03平行四边形对角线性质的应用 方法技巧：牢记“对角线互相平分”，即对角线交点为中点，可转化为线段中点问题；涉及对角线长度计算时，结合三角形三边关系辅助判断。 【典例3】. （22-23八年级上·重庆·期中）如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 【变式1】. （21-22八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的对角线，请用尺规作图法在线段上找一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】解：如图，分别以 为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交于点E，连接， 则点为所作．    【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】. （2022·广西河池·二模）如图，在中，平分交于． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为顶点，根据角平分线作图法作出的平分线； （2）利用平行四边形对角相等、角平分线定义及平行线内错角相等，推出同位角相等，从而证明两直线平行． 【详解】（1）解：如图为的平分线和点． （2）证明：如图， ∵平分，平分， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】. （2026年陕西省铜川市中考一模数学试题）如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 题型04平行线之间距离的计算与应用 方法技巧：明确距离是“垂线段长度”，利用“处处相等”性质，可转化为平行四边形的高，用于面积计算或线段长度推导。 【典例4】. （24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·周测）如下图，于点E，经测量，，则AB与CD两平行线之间的距离是1.5cm还是1.8cm？为什么？点C到直线AB的距离是多少？ 【答案】与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度．点到直线的距离为 【分析】两条平行线，其中一条直线上一点到另一条直线的距离即为两条平行线间的距离，据此结合的长度即可解答； 根据平行线间的距离处处相等即可得到点到的距离． 【详解】解：与之间的距离是，∵两平行线之间的距离指的是它们间任意一条垂线段的长度，而题中且在上，∴的长度就是这两条平行线间的距离． 点到直线的距离同样是 ，由于，故同一条平行线上的任意点到另一条平行线的垂直距离相等，∵到的垂直距离为，那么到的垂直距离也必然是． 【点睛】本题考查两条平行线间的距离，掌握两条平行线间的距离的定义是解题的关键． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 【变式3】. （24-25九年级下·广东东莞·自主招生）如图，在平行四边形中，、两点分别在、边上，，连接，分别交于，两点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线间的距离相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； （1）连接，，根据平行线间的距离相等可得的面积的面积，根据四边形是平行四边形，得出，根据平行线间的距离相等得出的面积的面积，的面积的面积，即可得证； （2）过作于，过作于，根据的面积的面积的面积的面积，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，， ， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积的面积，的面积的面积， ∴； （2）证明：过作于，过作于， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 题型05平行四边形面积的计算 方法技巧：先确定底和对应的高（避免底高不对应），灵活运用“等积法”（同一平行四边形不同底高的乘积相等）求解未知边长或高。 【典例5】. （24-25七年级上·河南南阳·开学考试）在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， 由图可知：平行四边形的面积为：，三角形的面积为，梯形的面积为； 故三个图形的面积都相等； 故选D． 【变式1】. （24-25八年级下·湖北宜昌·期中）已知直线与平行四边形的一组对边分别相交于E、F两点，以下命题及逆命题都正确的有（　　） ①当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点； ②当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点； ③当直线平分的周长时，那么直线必平分的面积； ④当直线平分的面积时，那么直线必平分的周长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的中心对称的性质，解题关键是正确应用性质．根据平行四边形的中心对称的性质解答即可． 【详解】解：①当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点，正确，逆命题也正确； ②当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点，正确；逆命题也正确； ③当直线平分的周长时，那么直线必过对角线的交点,那么直线必平分的面积，正确；逆命题也正确； ④当直线平分的面积时，那么直线必过对角线的交点,那么直线必平分的周长，正确，逆命题也正确； 故选：D． 【变式2】. （22-23八年级下·陕西汉中·期末）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】(1)无数 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【详解】（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【变式3】. （23-24八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是面积为S的平行四边形． (1)如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； (2)如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； (3)如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明； (4)如图④，已知点为内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的性质可知：，即可解决问题； （2）理由平行四边形的性质可知：，即可解决问题； （3）结论：．如图③中，作于，延长交于．根据； （4）设的面积为，的面积为，则，推出，可得的面积． 【详解】（1）解：如图①中，∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ． 故答案为． （2）如图②中，四边形是平行四边形， ，， ， ． 故答案为： （3）结论：． 理由：如图③中，作于，延长交于．    ∵，， ， ． （4）设的面积为，的面积为， 则， ， 的面积． 题型06利用平行四边形性质证明线段/角相等 方法技巧：通过平行四边形性质得到对边平行/相等、对角相等，再结合全等三角形判定（ASA、SAS、AAS等）证明结论；优先利用对称性简化推理。 【典例6】. （2025九年级下·四川巴中·学业考试）已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． (1)求证：． (2)求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）连接，同理（1）可得：，然后根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，且点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式2】. （2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 【变式3】. （25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型07平行四边形与折叠、旋转的综合计算 方法技巧：折叠/旋转前后图形全等，对应边、对应角相等，结合平行四边形对边平行的性质，推导角度或边长关系，注意折叠后重合部分的等量关系。 【典例7】. （25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可． 【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为， ∴此时，点位于第四象限， ∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，， ∴轴，， ∴， ∴当点位于第四象限时，坐标为， 故选：B． 【变式1】. （24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 【变式2】. （24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式3】. （2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08平行四边形与全等三角形的综合推理 方法技巧：先利用平行四边形性质转化边、角条件（如对边相等、内错角相等），再构造全等三角形，通过全等结论反向推导所需证明的线段或角关系。 【典例8】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，，根据角平分线定义证明，根据“”证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】. （2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，根据平行线的性质得到和，从而证得； （2）易证得，由（1）知，则，进而得到，从而求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， 同理得， 在和中， ， ； （2）解：如图，连接、， 点E在内部， 由（1）知， ， ， 设的面积为S，四边形的面积为T， ． 【变式3】. （25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 一、单选题 1．下列结论中，不一定成立的是（    ） A．平行四边形对边平行 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线互相平分 D．平行四边形对角线相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：因为平行四边形的对边平行，对角相等，对角线互相平分， 但是对角线不一定相等，矩形的对角线相等． 所以不一定成立的是D选项． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 2．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 3．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 4．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 【答案】10 【分析】连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得，再证明，可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 5．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 二、填空题 6．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 7．如图，在中，对角线与相交于点O，，E为中点，若，，则的长是_____ 【答案】10 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出的长 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 为中点， 在中，由勾股定理得： 8．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 【答案】/135度 【分析】根据等边对等角可得的度数，则由三角形外角的性质可得的度数，由平行四边形的对边相等，对角相等可得，则可证明，得到，求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】设，由平行四边形的性质得 ，可得，，由得,，得出，根据列方程求得即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 10．如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【答案】 【详解】解： 的对角线、相交于点，其周长为， ，，，， ①； 的周长比的周长大， ， ②， ①②得：， ， ． 三、解答题 11．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 12．如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，，通过平行线性质可得，，则有，然后通过“”证明全等即可； （）由（）得，，根据角平分线定义可得，最后三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)4； (2)24． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质和勾股定理求解即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，即是直角三角形。 ， 即：， ； （2）解：， ， 14．在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于点．若，，求的值． 【答案】或 【分析】根据平行四边形面积很容易求出和，然后分两种情况进行讨论，求出、的值，求出和的值，相加即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ①如图： 由平行四边形面积公式得：， 得，， 在中，由勾股定理得：， 把，代入，得． 同理在中，，即在的延长线上（如上图）， ∴，， 即， ②如图： ∵由①同理有，， 在中，由勾股定理得：， 同理， 由①知：，， ∴． 故的值是或． 15．请阅读下列材料： 小海在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和．小海很感兴趣，并尝试进行了证明． (1)请完成小海的证明过程． (2)如图，在中，，，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的周长为 【分析】（1）过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点，设，，，则，再利用勾股定理计算出，即可证明； （2）由四边形是平行四边形，可得，，再由，设，则，再利用（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设，，，则， ∴， 在中，，即， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴设，则， 由（1）可知，， ∴， 解得， ∴，， ∴的周长为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $