专题03二次根式综合题八大题型(压轴专项训练) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题03二次根式综合题八大题型 题型一 二次根式与实数运算综合 题型二 二次根式与代数式化简求值综合 题型三 二次根式与勾股定理综合 题型四 二次根式的实际应用 题型五 二次根式与方差不等式综合 题型六 二次根式与几何图形计算综合 题型七 二次根式与新定义运算综合 题型八 二次根式规律探究综合 知识点01、核心概念（必考基础） 1.二次根式定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“​” 是二次根号。 2.二次根式有意义的条件 有意义⇔a≥0 有意义⇔a>0 +有意义⇔a=b 3.最简二次根式（3 条铁律） (1)被开方数不含分母 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 (3)分母不含根号 知识点02:三大非负数性质（解题关键） 1.∣a∣≥0；a2≥0；​≥0(a≥0) 2.非负数和为 0，则每一项都为 0即：若∣a∣+b2+c=0，则a=o，b=0，c=0 知识点03:核心公式（必背） 1.双重平方与平方开方 ()2=a(a≥0)=∣a∣= 2.乘除运算公式  (a≥0,b≥0)  (a≥0,b>0) 3.:乘法公式 平方差：(+)(−​)=a−b 完全平方：(±)2=a+b±2​ 知识点04:通用解题步骤 1.先判断有意义条件（定义域） 2.全部化为最简二次根式 3.套用公式、合并同类二次根式 4.代入计算、结果化最简 5.验证：非负、最简、符合题意 题型一 二次根式与实数运算综合 1.【必化简】所有根式，必先化为最简。不化简，不许算。 2.【套模型】一眼看出结构：是非负和？还是完全平方？直接套公式。 3.【照序算】按实数规则：先乘方开方，再乘除，最后加减。精准算到底。 【典例】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算立方根，算术平方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪专练1】已知，，，则的值为 _____． 【答案】1 【分析】先利用完全平方公式求出的值，再结合绝对值的性质得到的值，最后代入所求代数式计算结果． 【详解】解：已知，， 将两式分别平方，根据完全平方公式得： ①；②， ①②得：， 化简得，， ∴， ∵， ∴若，则，整理得，即； 若，则，整理得，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知实数，满足等式，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出、的值，再结合二次根式的乘除运算法则化简求值． 【详解】解：∵一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴非负项的和为时，每一项都为，可得方程组： 解得 化简二次根式：． 当时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和二次根式的乘除运算，解题关键是利用非负性求出、的值，再通过二次根式的运算法则化简式子后代入求值． 题型二 二次根式与代数式化简求值综合 第一步：通通化简（先通分、去根号） 把题目里所有式子都处理干净： 二次根式：化成 最简二次根式。 分式：通分、约分。 完全平方、平方差：展开或直接用公式。 要点：不化简，禁止求值。 第二步：合并同类（合并同类项与同类根式） 把能合并的都合并： 代数式：合并 同类项。 根式：只有 化简后被开方数相同 的才能合并。 整理成：整式 + 根式 的最简形式。 第三步：代入求值（代入前先简） 先化简，再代入。绝不要直接带复杂数字进去！ 代入后按实数运算顺序算：先乘方、开方.再乘除.最后加减. 一句话万能口诀 化简，合并，再代入 【典例】求值： (1)先化简后求值：，其中； (2)已知，，求下列各式的值：①；②． 【答案】(1)， (2)①12；②4 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果； （2）先求出，的值，再结合完全平方公式分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴① ； ② ． 【跟踪专练1】已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练3】【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）由题意可知： ， ∵，，，均为正整数， ∴，， 故答案为：，． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 二次根式与勾股定理综合 第一步：建模（找直角三角形） 动作：识图，找直角，定三边。 第二步：化式（把几何关系代数化） 动作：根据条件，列方程或根式。核心： 直接用：题目给长度，直接代入勾股定理计算。 用根式：题目给含根号的边长,直接参与运算。 用方程：题目给未知关系，设未知数 x，列出方程求解 第三步：运算（精准算出最终值） 动作：算到底，化最简。核心： 算平方：代入时，先算各边的平方（含根号的数平方后去掉根号）。 算开方：最后对结果进行开方，必须化成最简二次根式。 一句话万能口诀 “找直角，列关系，算开方。” 【典例】如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，证明，根据证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出； （2）方法同（1）； （3）分点在上和在的延长线上两种情况，结合勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； 综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为； （2）解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下： ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， 同理可得，， ∴， ∵在中，， ∴； 综上，的长为或． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，如图放置，其中，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，在中利用勾股定理求出的长，根据，先求出的长，再求出的长，即得答案． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： 在中， ​， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得​， ∴​​， ∴ 点C的坐标为． 故答案为：​． 【跟踪专练2】如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明得，过点作于点，在上取点，连接，使，分别求出，，得，进而可求出的周长． 【详解】解：根据题意得：，， 又， ∴， ∴， 过点作于点，在上取点，连接，使，如图， 则，， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠得， ∴， ∴的周长． 【跟踪专练3】如图，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴负半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，，，，且a，b，c满足． (1)若，直接写出线段的长； (2)已知点为轴上一动点，连接，以为边作等腰直角，． ①如图1，当点在上运动时（点不与重合），连接，判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在延长线上运动时，连接，在（1）的条件下，若，求的值； (3)如图2，在四边形GBHF中，H在BA的延长线上，G在x轴正半轴上，，直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② (3)周长最小值为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）①先证明，在中，由勾股定理求证即可；②由①的求解过程，同理可得：，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）作点F关于x的对称点D，点F关于的对称点，连接和，当共线时，周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴由二次根式有意义的条件可知，，且， 则， ∵， ∴， 则； 在中，由勾股定理可得； （2）解：①， 理由如下： 由（1）同理可知， 则， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 则； ②由①的求解过程，同理可得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得； （3）解：如图，作点F关于x的对称点D，点F关于的对称点，连接和， 则，， ∴周长， ∴当共线时，周长最小，如图， 由轴对称的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， 即周长最小值为． 题型四 二次根式的实际应用 1.【画图：找直角】把文字翻译为图形，画出直角三角形，标出直角边和斜边。 2.【套公式：先平方】代入勾股定理 a2+b2=c2，把各边（含根号）先平方，消去根号再运算。 3.【开方：化最简】最后开方，结果必须化为最简二次根式，并注明单位。 一句话口诀 画图找三角，平方去根号，化简写结果。 【典例】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 【跟踪专练1】汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【详解】解：由题意，小长方形的长为， 大长方形的长为， 小长方形的宽为， 大长方形的宽为， 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为， 大长方形的面积为， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时：， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 题型五 二次根式与方程不等式综合 1.【先化简】 把所有式子 “洗干净”。 二次根式：化成 最简。 方程 / 不等式：去括号、移项、合并同类项。不化简，直接算，90% 错。 2.【列方程 / 不等式】 把几何关系或题目条件翻译成数学式。 包含根式：直接代入，保持根号。 含未知量：设未知数，列出 等式 或 不等式。 3.【解并验证】 解方程：求出未知数，再代回原式检查。 解不等式：注意不等号方向，最后结果用 区间 或 范围 表示。 关键：根式结果必须 ≥ 0。 一句话终极口诀 化简 → 列式 → 求解验根。 【典例】已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． 【跟踪专练1】根据已知条件求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． (3)若，为实数，且，求的值． (4)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，值为；当时，值为 (4) 【分析】（1）先求出，，然后把原式变形为，再整体代入计算即可； （2）先将原式整理得，两边平方求得，据此求解即可； （3）利用二次根式的性质求得，得到或，再分别求解即可； （4）先判断，，然后根据二次根式的运算法则化简，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； （4）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【跟踪专练2】（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3）54 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案； （3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】方程，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解一元一次不等式． 根据二次根式的非负性，绝对值的非负性得到，根据解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 且， ， ， ， ． 故选：C． 题型六 二次根式与几何图形计算综合 第一步：识图定形（找图形） 动作：看清是哪种图形，找直角。 正方形、长方形、菱形 → 找对角线（天然直角）。 三角形、梯形、不规则图形 → 作垂线，构造直角三角形。 圆 → 找半径、直径，或用垂径定理造直角。 第二步：勾股代式（列关系）动作：用勾股定理或面积公式，把几何关系写成算式。 直角三角形：直接用 a2+b2=c2。 含根式边长：直接代入计算，平方时消去根号。 未知数：设 x，把边长用 x 表示，代入公式。 第三步：运算得解（算结果） 动作：解方程 / 算式，化简结果。 先算平方，再加减乘除。 最后开方，化成最简二次根式。 检查：边长必须为正数，符合实际。 一句话万能口诀 找直角，列勾股，化简出结果 【典例】如图，，过点，分别作，，交，的延长线于点，． (1)求证：四边形为矩形． (2)连接，交于点，若，，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】 （1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可； （2）先证出四边形是菱形，故设，（），则，再根据勾股定理得出，，列出方程，再解方程进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ． ，， ，， ， ∴四边形是矩形． （2）解：四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ． 设，（），则， 根据勾股定理得，， 即， ， 解得，， ，， ， ， ∴矩形的周长是24． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，于E，于F，，且，则平行四边形的周长是（　　 ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】先证明、是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴平行四边形的周长． 【跟踪专练2】如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 【跟踪专练3】如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 题型七 二次根式与新定义运算综合 第一步：读题翻译（对号入座） 动作：仔细读定义，看清字母对应关系。 第二步：代入根式（照猫画虎） 动作：把新定义转化为纯数学算式。 第三步：化简求值（按老规矩算）动作：按二次根式规则算到底。 一句话终极口诀 “读定义，对字母，老办法算。” 【典例】定义一种新的运算如下：（其中），则=__． 【答案】 【分析】根据新运算的定义、二次根式的运算即可得． 【详解】由新运算的定义得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，理解新运算的定义是解题关键． 【跟踪专练1】我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 【跟踪专练2】若实数，，我们规定，如． （1）的结果是______ （2）若，则的值为______ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，正确理解新规定的运算是解题的关键． （1）根据新规定的运算结合二次根式的运算法则计算即可； （2）根据新规定的运算列出方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）由题意得： （2）由题意得： 整理得： 解得： 故答案为：； 【跟踪专练3】新运算※，*规定如下：，． （1）____________． （2）的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． （1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【详解】解：（1）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． （2）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． 【跟踪专练4】定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：根据题意得，， ∴． 题型八 二次根式规律探究综合 1.计算并化简前几项 把题目给的前 3 到 4 个式子，逐个算出结果。 关键：必须全部化成最简二次根式，不要保留原式，这样更容易看清规律。 2.对比分析找变化 横向对比这几个化简后的结果，看： 符号：是正、负，还是交替出现？ 整数部分：有没有固定的整数，或是有规律的整数？ 根式部分：根号外面的系数和根号里面的被开方数，分别是按什么顺序变化的（比如依次加 1、加 2，或成倍数关系）。 3.归纳并写出第 n 项 用字母 n 表示第几个数（n 从 1 开始）。 根据刚才找到的规律，写出第 n 项的表达式。 收尾：把 n=1、n=2 代回去检验一下，确认规律正确，再落笔。 【典例】[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 【跟踪专练1】观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【答案】B 【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练3】【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题03二次根式综合题八 精 题型一二次根式与实数运算综合 题型二二次根式与代数式化简求值综合 题型三二次根式与勾股定理综合 题型四二次根式的实际应用 题型五二次根式与方差不等式综合 题型六二次根式与几何图形计算综合 题型七二次根式与新定义运算综合 题型八 二次根式规律探究综合 核心知识 知识点01、核心概念（必考基础） 1.二次根式定义形如Va(a≥0)的式子叫做二次根式， 2.二次根式有意义的条件 V有意义台a≥0 方有意义台0 Va-b+vb-a有意义台ab 3.最简二次根式(3条铁律) (1)被开方数不含分母 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 (3)分母不含根号 知识点02：三大非负数性质（解题关键） 1.lal20;a2≥0；√a≥0(a≥0) 试卷第1页，共3页 大题型 “√”是二次根号。 2.非负数和为0，则每一项都为0即：若a+b2+c0,则a=o,b-0,c=0 知识点03：核心公式（必背） 1.双重平方与平方开方 aa≥0) (a)2-a(a≥0) Va2-1al=1-da<o 2.乘除运算公式 V点Vb=Vb(a0,b≥0) - (a0.b0)y 3.:乘法公式 平方差：(Wa+BXVa-5)ab 完全平方：(WVb)2=a+b+2ab 知识点04：通用解题步骤 1.先判断有意义条件（定义域） 2.全部化为最简二次根式 3.套用公式、合并同类二次根式 4.代入计算、结果化最简 5.验证：非负、最简、符合题意 轴 练 题型一二次根式与实数运算综合 1. 【必化简】所有根式，必先化为最简。不化简，不许算。 2.【套模型】 一眼看出结构：是非负和？还是完全平方？直接套公式。 3.【照序算】按实数规则：先乘方开方，再乘除，最后加减。精准算到底。 【典例】计算： 0)4+-2 1 +-125 (2)-124+(V4)+3-64-V6+2-V6 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】已知a+b=V√2002+2，a-b=√√2002-2，b+c=b-c3,则ab-c 的值为 【跟踪专练2】己知V12+x2-V6+x2=1,则V12+x2+V6+x2的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 1 【跟踪专练3】已知实数a,b满足等式(4a-b+11)2+片b-4a-3=0,求 a b 的值. 题型二二次根式与代数式化简求值综合 第一步：通通化简（先通分、去根号） 把题目里所有式子都处理干净： 二次根式：化成最简二次根式。 分式：通分、约分。 完全平方、平方差：展开或直接用公式。 要点：不化简，禁止求值。 第二步：合并同类（合并同类项与同类根式） 把能合并的都合并： 代数式：合并同类项。 根式：只有化简后被开方数相同的才能合并。 整理成：整式+根式的最简形式。 第三步：代入求值（代入前先简） 先化简，再代入。绝不要直接带复杂数字进去！ 代入后按实数运算顺序算：先乘方、开方.再乘除最后加减 一句话万能口诀化简，合并，再代入 【典例】求值： (①)先化简后求值：2a+⑤)(a-V5-a(a-6)+6,其中a=√-1； 2)已知x=5+1,y=5-1,求下列各式的值：①x2+2w+y2;②上+ x y 【跟家专练】已知+6=5，b=,则，层+昌 的值为 1 【跟踪专练2】己知x= V2024-V2023’ 则x6-2V2023x3-x4+x3-2V2024x2+2x-√2024 的值为() A.0 B.1 C.√2023 D.√2024 【跟踪专练3】【观察发现】 试卷第1页，共3页 :(6+5=(6)+(5+26x5=11+230 1+2w30=6+5-6+5, :(2+3=22+(3+2×2×3=7+45, :V7+4V5=V2+5=2+V5 【初步探索】 (1)化简：√10+2√2i=-:√9-62=-： (2)形如Vm-2n可以化简为√a-√b,即Vm-2√n=√a-√b,且a,b,m,n均为 正整数，用含a,b的式子分别表示m,n,得m=-,n=_ 【解决问题】 (3)若√x+45=1+y5,且x,y均为正整数，求x的值： 题型三二次根式与勾股定理综合 第一步：建模（找直角三角形） 动作：识图，找直角，定三边。 第二步：化式（把几何关系代数化） 动作：根据条件，列方程或根式。核心： 直接用：题目给长度，直接代入勾股定理计算。 用根式：题目给含根号的边长，直接参与运算。 用方程：题目给未知关系，设未知数x,列出方程求解 第三步：运算（精准算出最终值） 动作：算到底，化最简。核心 算平方：代入时，先算各边的平方（含根号的数平方后去掉根号）。 算开方：最后对结果进行开方，必须化成最简二次根式。 句话万能口速“找直角，列关系，算开方。” 【典例】如图，已知ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为直线BC上的一动点（点 D不与点B、C重合)，以AD为边作ADE,使LDAE=90°，AD=AE,连接CE. E 图1 图2 备用图 试卷第1页，共3页 发现问题：如图1，当点D在边BC上时， (I)请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BD和CD、DE之间的数量关系： (②)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BD和CE之间的位置关 系，BD和CD、DE之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的 数量关系，说明理由； (③)当点D在射线CB上且其他条件不变时，若AB=8,CE=2√2，求出线段DE的长， 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，如图放置Rt△ABC,其中 ∠C=90°，AB=6,BC=3√5，则点C的坐标为· 33 (4)O 6 B 【跟踪专练2】如图，有一张等腰Rt△ABC纸片，AB=BC=2√3+2，小杰对其进行了操 作：选取边AC上一点E,连接BE,将△BCE沿BE所在直线翻折使得BC的对应线段BC'交 边AC于点D,再将△BAD沿BD所在直线翻折，使得BA的对应线段BA'恰好落在BE所在 直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则△DE'的周长为() 图① 图② 图③ A.2V5+√6 B.2√6+2√5-2C.2V6+2√2-2D.V6+2V5+2 【跟踪专练3】如图，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴负半轴上一点，点C为x轴正 半轴上一点，A0=a,B0=b,C0=c,且a,b,c满足a=√a-b+√b-a+c. 试卷第1页，共3页 H DO B O D 图1 图2 图3 (1)若c=3,直接写出线段AB的长： (2)已知点D为x轴上一动点，连接AD,以AD为边作等腰直角ADE,∠DAE=90°. ①如图1，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），连接CE,判断线段 BD,CD,DE之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点D在BC延长线上运动时，连接CE,BE,在(1)的条件下，若BE=10, 求DE的值； (3)如图2，在四边形GBHF中，H在BA的延长线上，G在x轴正半轴上，BF=2√5，直 接写出△FGH周长的最小值. 题型四二次根式的实际应用 1. 【画图：找直角】把文字翻译为图形，画出直角三角形，标出直角边和斜边。 2.【套公式：先平方】代入勾股定理a2b2=c2,把各边（含根号）先平方，消去根 号再运算。 3.【开方：化最简】最后开方，结果必须化为最简二次根式，并注明单位。 -句话口速 画图找三角，平方去根号，化简写结果。 【典例】如图，某市有一块长为3a+b)米，宽为2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将 阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（α+b)米的正方形雕像. a+b 2a+b a+b 3a+b (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含α、b的代数式表示，结果要化简） 试卷第1页，共3页 (2)求出当a=√5，b=√2时的绿化面积. 【跟踪专练1】汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样.如图扇子的扇面 分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为√90元©m,宽为 √40元cm,则圆形扇面的周长为 cm 【跟踪专练2】如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成 了一个大长方形，已知小长方形的长为√27，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正 确的是() A.大长方形的长为6√3 B.大长方形的宽为5√5 C.大长方形的周长为115 D.大长方形的面积为90 【跟踪专练3】跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的头顶安全”，根据《中华人 民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物 品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任， 据物理学研究，高空抛物下落的时间1（秒）和高度（米）近似满足关系式1 2h (其中 g取9.8m/s2),高空抛物落地时的动能（焦)=10（牛/千克）×物体质量（千克）×高度（米）. 试卷第1页，共3页 禁止高空抛物 No Killer littering (1)当h=98米时，求物体下落的时间t(结果保留根号)； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害.某质量为0.1千克的 玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行 人吗？说明理由， 09 题型五二次根式与方程不等式综合 1.【先化简】 把所有式子“洗干净”。 二次根式：化成最简。 方程/不等式：去括号、移项、合并同类项。不化简，直接算，90%错。 2.【列方程/不等式】把几何关系或题目条件翻译成数学式。 包含根式：直接代入，保持根号。 含未知量：设未知数，列出等式或不等式。 3.【解并验证】 解方程：求出未知数，再代回原式检查。 解不等式：注意不等号方向，最后结果用区间或范围表示。 关键：根式结果必须≥0。 句话终极口诀化简→列式→求解验根。 【典例】已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x,x2. (1)求k的取值范围： (2)若xx2=5,求k的值. (3)在(2)的条件下，求 x2+ 的值。 VxVx 【跟踪专练1】根据已知条件求值： (1)已知x=√5+√2，y=√5-√2，求xy+y的值 ②已知x=5+,求r-+1的值， 2 ③)若x,y为实数，且y=V-4+4-F+2,求y的值. x+1 试卷第1页，共3页 ④已知=5，=4，求+的能 【跟踪专练2】(1)计算va+b)(Va-万： (2)已知a-b=12,√a-6=2,求√a+Vb的值： (3)已知√x+2026-Vx-26=38,求Vx+2026+√x-26的值. 【跟踪专练3】方程2x-4=-√x-y-m,当y>0时，m的取值范围是() A.0<m<1 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2 题型六二次根式与几何图形计算综合 第一步：识图定形（找图形）动作：看清是哪种图形，找直角。 正方形、长方形、菱形→找对角线（天然直角）。 三角形、梯形、不规则图形→作垂线，构造直角三角形。 圆→找半径、直径，或用垂径定理造直角。 第二步：勾股代式（列关系）动作：用勾股定理或面积公式，把几何关系写成算式。 直角三角形：直接用a2+b2=c2。 含根式边长：直接代入计算，平方时消去根号。 未知数：设x,把边长用x表示，代入公式。 第三步：运算得解（算结果）动作：解方程/算式，化简结果。 先算平方，再加减乘除。 最后开方，化成最简二次根式。 检查：边长必须为正数，符合实际。 一句话万能口诀找直角，列勾股，化简出结果 【典例】如图，口ABCD,过点A,C分别作AF⊥CD,CE LAB,交CD,AB的延长线 于点F,E, D 夕 (I)求证：四边形AECF为矩形， (2)连接AC,BD交于点O,若AC⊥BD,AC=4V5,BE=3,求矩形AECF的周长. 【跟踪专练1】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠EAF=45°， 且AE+AF=2√2，则平行四边形ABCD的周长是() 试卷第1页，共3页 A.2 B.4W2 C.4 D.8 【跟踪专练2】如图，李明家有一块长方形空地ABCD,长BC为√2m,宽AB为√32m.现 要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中长方形水池的 长为0+1m,宽为0-1m. D B (I)求长方形空地ABCD的周长 (2)已知李明家种植的草莓售价为8元kg,且可产草莓15kg/m2.若李明家将所种的草莓全 部销售完，则销售收入为多少元？ 【跟踪专练3】如图，某居民小区有一块矩形绿地ABCD,绿地的长BC为√162m,宽AB为 28m,现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为(3+1m ，宽为(3-m B (1)该矩形绿地ABCD的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米50元的地 砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 09 题型七二次根式与新定义运算综合 第一步：读题翻译（对号入座）动作：仔细读定义，看清字母对应关系。 第二步：代入根式（照猫画虎）动作：把新定义转化为纯数学算式。 试卷第1页，共3页