精品解析：辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（三）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学(三) 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，在复平面内复数对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前n项和，若 则 （ ） A B. C. 1 D. 2 4. 已知函数（且）的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为 ，，过的直线与 的左、右两支分别交于 两点.若为等边三角形，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 某商家欲制作一种圆锥形的饮料杯，其中放入一枚半径为1的巧克力球，当加满饮料时小球淹没在饮料中，则该饮料杯的最小容积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（ ） A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. D. 10. 在棱长均为1的正三棱柱 中，是 的中点，过点 ，与平行的平面为，则（ ） A. 平面截该三棱柱所得截面为直角三角形 B. 平面 C. 到平面的距离为 D. 平面平面 11. 已知随机变量X的取值为0，1，2，…，n(n∈N)，X的分布列为；.定义由X生成的函数，为的导函数.现将一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y表示正面向上的次数，由Y生成的函数记为，为的导函数，则（） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 13. 已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数 （1）当时，求的最值； （2）若函数 有三个极值点，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥 中，，，且两两垂直，点 M 满足. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆过点，且离心率为 （1）求E的方程； （2）直线经过E左焦点与E相交于A，B两点，直线与E相交于C，D两点，且的交点为E的右焦点，记的斜率分别为 （i）证明：λ为定值； （ii）求点P到的距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学(三) 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，在复平面内复数对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数运算法则及复数的几何意义计算即可得. 【详解】，故复数对应的点为，位于第四象限. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得. 3. 记为等差数列的前n项和，若 则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出，即可求出公差，即可求解. 【详解】由已知等差数列中，得， 即，所以， 又，则公差，所以. 4. 已知函数（且）的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 5. 已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将  代入， 得：； 于是：. 再将 代入， 得：， 由函数图象经过点，  得：， 由 (2) 得，代入 (1)： ， 两边乘以，得： ， 故：， 又由图象可知：，所以， 故，所以，， 故，解得：， 将 代入 (2)，得： ， 已知，所以： 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为 ，，过的直线与 的左、右两支分别交于 两点.若为等边三角形，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线定义知 ，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由已知得 由双曲线定义知 ， 故 在中，由余弦定理得 故 ，离心率 7. 某商家欲制作一种圆锥形的饮料杯，其中放入一枚半径为1的巧克力球，当加满饮料时小球淹没在饮料中，则该饮料杯的最小容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，设为水面，底面半径，高，小球的球心为，利用可得，令，进而得到，再利用基本不等式即可求解. 【详解】圆锥的轴截面如图所示，其中为水面，设底面半径，高，小球的球心为， 由，得，即， 所以， 故圆锥的体积， 令，则， 当且仅当时，等号成立，此时， 则该饮料杯的最小容积为. 8. 已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设由余弦定理得 ，利用换元法结合三角函数的性质求解即可. 【详解】如图，由题可得,设 中由余弦定理得 ， 在中由余弦定理可得 故 ，设 则 当且仅当 时取等号，此时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（ ） A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知得， 所以，故A错误； 由 ，故，故 B正确； 由，故C正确； 由已知得，故 D 正确. 10. 在棱长均为1的正三棱柱 中，是 的中点，过点 ，与平行的平面为，则（ ） A. 平面截该三棱柱所得截面为直角三角形 B. 平面 C. 到平面的距离为 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理得出A，应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理判断B，D，应用等体积法及三棱锥体积公式计算求解C. 【详解】如图，连接，交点为，连接， 因为分别是中点，所以，平面，不在平面内， 故平面，故截该三棱柱所得截面，所以平面为平面， 又平面平面，所以，平面， 所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，所以A正确； 因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面，所以D正确； 因为，所以 与 不垂直 ， 又因为，所以 与 不垂直，所以不垂直平面，故 B错误； 可求得三棱锥 的体积为 ， 设到平面的距离为 ， ， 则三棱锥的体积为 ， 所以，解得 ，故 C 正确. 11. 已知随机变量X的取值为0，1，2，…，n(n∈N)，X的分布列为；.定义由X生成的函数，为的导函数.现将一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y表示正面向上的次数，由Y生成的函数记为，为的导函数，则（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别列出X和Y的分布列，写出和，分别代入选项计算即可 【详解】X的分布列为 X 0 1 2 P ， 则 由已知， 即Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P ，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】分小李、小明所在场馆有人、人、4人，进行讨论即可得. 【详解】分情况讨论：若小李、小明所在场馆有人(即只有小李和小明)， 此时另一场馆有人，共种安排方法； 若小李、小明所在场馆有人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 若小李、小明所在场馆有4人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法种； 所以共有种安排方法. 13. 已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先求出抛物线方程及焦点坐标，得到直线方程，联立求出点坐标，即可求出面积. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以，则. 所以直线的方程为，即. 与抛物线方程联立，整理得，即. 解得或. 所以. 故的面积为. 14. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故 ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理解三角形，求出角即可. （2）根据正弦定理边角互化和正弦二倍角公式，对条件进行变形，求出，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值. 【小问1详解】 由已知得，由余弦定理得，即. 【小问2详解】 由，所以， 由正弦定理得，故. 由（1）知 ， 所以，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）列联表见解析 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据利用频率即可估计概率； （2）根据题干表格进行统计即可； （3）计算出，与进行比较即可． 【小问1详解】 由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； 【小问2详解】 列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 【小问3详解】 零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 17. 已知函数 （1）当时，求的最值； （2）若函数 有三个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值，无最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数判断函数的单调性，再根据单调性确定最值点，进而求出最值； （2）因为函数有三个极值点等价于其导数有三个不同的变号零点，所以先对求导，将导数整理后，把问题转化为某个方程在上有三个不同的正根，再通过构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与值域，从而确定参数的取值范围. 【小问1详解】 当时， 当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 无最大值. 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 此时函数只有一个极值点，不符合题意； 当时， ， 由，得或 . 又有三个极值点，故有两个不为1的变号的零点， 由，得：， 令，则原方程等价于， ， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 在处取得极大值， 当时，；当时，， 作出的图象， 由图象可知，要使与有两个变号的交点，且交点横坐标不为1， 需满足， 因此，实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥 中，，，且两两垂直，点 M 满足. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接与交于点E，连接，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：连接与交于点E，连接， 因为，， 所以∽，则，即， 又，故所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 又，所以， 所以， 则 ，， 由已知得 故 ， 由已知得， 设平面的法向量为，则 ， 即 ， 取，则故， 设平面的法向量为 ， 则 ，故， 取 则， 可得， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆过点，且离心率为 （1）求E的方程； （2）直线经过E的左焦点与E相交于A，B两点，直线与E相交于C，D两点，且的交点为E的右焦点，记的斜率分别为 （i）证明：λ为定值； （ii）求点P到的距离的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念以及椭圆离心率的定义，列出方程，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）（i）根据直线与椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，表示出两直线的斜率，进而判断斜率间的数量关系即可．　 （ii）利用点斜式表示出直线的方程，进而得到过定点，再结合两点间的距离公式求解． 【小问1详解】 解：由已知得，解得， 故E的方程为 【小问2详解】 （i）证明：由（1）知，设的方程为，则 设 则， 设的方程为 将与椭圆方程联立得( 设， 则为上面方程两根， 所以， 故 因此 同理 所以 所以 (ii)解：由（i）知， 的方程为， 即 又化简得所以直线过定点， 所以点到的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $