精品解析：辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（二）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出集合，再由集合的交集运算与补集运算即可求解. 【详解】因为，则，，即， 所以，则. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，故复数在复平面内所对应的点的坐标为， 因为在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为，即. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，列出关系式，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，而， 根据正态分布曲线的对称性，可得，解得. 4. 已知函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 5. 若抛物线的准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线准线l方程为， 圆的圆心为原点，半径为1，所以圆心到直线的距离为， 所以，故，即抛物线的准线方程为， 所以抛物线的方程为. 6. 下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性对各个选项进行判断即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以函数的定义域为. 因为，所以不是奇函数，A不满足要求. 对于B，函数的定义域为，且，则是奇函数， 当时，，所以函数在上单调递增，B满足要求； 对于C，函数的定义域为， 且，则函数不是奇函数，C不满足要求； 对于D，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数， 当时，，所以函数在上不单调，D不满足要求. 7. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质、余弦函数性质结合中间值判断即可. 【详解】， 因为， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（ ） A. 侧面积为 B. 表面积为 C. 体积为 D. 外接球的表面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据底面边长求出底面积，根据高可求出侧面积，进而可求出表面积，根据外接球的球心在高上，列方程可求出外接球的半径，进而可求其表面积. 【详解】如图，在正六棱锥中，取的中点，底面的中心，连接， 因为底面正六边形的边长为2，则，所以底面积， 又高为3，得体积，故C错误； 则侧面三角形的高，侧面积， 所以表面积，故A，B正确； 因为正六棱锥的外接球的球心在上，设半径为， 则，即，解得， 所以正六棱锥的外接球的表面积，故D错误. 10. 已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列，公比为，则（ ） A. 的公差为3 B. C. 既存在最大值又存在最小值 D. 只存在最大值不存在最小值 【答案】ABD 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 由，，成等比数列，得， 而，解得，故A正确； 得到数列的通项公式为， 则，，则不存在最大值，存在最小值，故C错误； 由，，得到，故B正确； ，， 由二次函数性质得只存在最大值不存在最小值，故D正确. 11. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（ ） A. B. 当时，有 C. 当时，的最小值为4，则 D. 若关于方程有实数根，则所有实数根之和为零 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性可求出函数解析式，进而可判断A；作出的图象，根据单调性可判断B；根据上的最小值可判断C；根据奇函数图象的对称性可判断D. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上可得， 所以，故A正确； 画出函数的图象，如图， 当时，单调递增，故当时，有，故B错误； 由图象可知，当时，的最小值为4，则，故C正确； 因为函数和均是定义域为的奇函数， 故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称， 所以所有实数根之和为零，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得， 则. 13. 把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，底面圆的半径为3，则圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合轴截面为等腰直角三角形求解圆锥的高，再结合圆锥的体积公式求解. 【详解】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，如图所示. 在直角圆锥中，为底面圆的直径，由圆锥底面半径和， 可得圆锥的高为，所以圆锥的体积为. 14. 设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可求得角，利用等面积法可得，最后根据正弦定理进行边角互化即可求解. 【详解】，移项可得，即， 因为，所以. 由，则， 所以，利用正弦定理得， 又因为，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质列方程求解; （2）由,进行裂项相消求和得证. 【小问1详解】 由题意得 解得 所以. 【小问2详解】 由， 所以 . 16. 小李为了参加某项考试，对其理论题进行了100次模拟练习，小李记录了自己100次练习情况并将成绩（满分100分）频数分布统计如下表所示. 成绩区间 频数 10 20 30 20 20 （1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； （2）小李用分层抽样方式从的练习成绩中随机抽取了5次成绩，再从这5次成绩中随机选2次，设成绩落在区间内的次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）平均数为：77；上四分位数为：. （2）分布列为 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表估计样本平均数和上四分位数. （2）先明确的可能取值，求出对应的概率，可得的分布列，再根据期望公式求即可. 【小问1详解】 依题意，平均值. 因为，， 所以上四分位数落在区间内， 所以上四分位数为. 【小问2详解】 由样本数据可知，练习成绩在，之内的频数之比为， 由分层抽样得，在内抽取了2次成绩，在内抽取了3次成绩， 所以的所有可能取值有0，1，2， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以. 17. 如图，在正四棱台中，为的中点，. （1）证明：； （2）平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意作出图形，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质证明即可. （2）利用割补法对原图形作出处理，再求解体积比即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题意知四边形为正方形，则， 将正四棱台还原为正四棱锥， 如图，作出符合题意的图形， 则平面，又平面，得到， 因为，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，即. 【小问2详解】 利用平面把棱台分成三棱锥和几何体， 设，由题意得， . 因为， 所以，，故. 【小问3详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，可得， 取，则，，得到， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 19. 已知椭圆：. （1）求的离心率； （2）若直线：上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求点的坐标； （3）若菱形的四个顶点都在上，证明：与的交点为坐标原点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定的值，可求椭圆的离心率. （2）设一条切线方程为，根据直线与椭圆的相切关系，确定的关系，再设，根据点在上，可得，利用，可求点的坐标. （3）分直线斜率是否存在讨论.当直线斜率存在且不为0时，设直线方程，与椭圆方程联立，可表示成的中点坐标，再根据菱形的对角线互相垂直，表示出的中点，最后根据两线段的中点重合，可证明结论. 【小问1详解】 由：，得，，又，则，即， 所以离心率. 【小问2详解】 如图： 由题设，易知两条切线的斜率一定存在， 设切线方程，联立，可得， 则，得， 则切线方程为，而在切线上， 则，所以， 则. 设，分别为过点的两条切线的斜率，根据垂直关系有， 所以，得， 故点的坐标为. 【小问3详解】 如图： 当的斜率不存在时，则的斜率为0，此时菱形的顶点为椭圆的四个顶点， 故与的交点为坐标原点； 当的斜率为0时，则的斜率不存在，此时菱形的顶点为椭圆的四个顶点， 故与的交点为坐标原点； 当的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设点，，的中点为. 联立，得， 所以，且， 所以，，即. 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的方程为， 化简得， 同理可得中点的横坐标， 因为且，所以，即点， 即与的交点为坐标原点. 综上所述，与的交点为坐标原点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 4. 已知函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 若抛物线准线为直线，且被圆：所截得的弦长为，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数既是奇函数又在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 7. 从标有0，1，2，3，4五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（ ） A. 侧面积为 B. 表面积为 C. 体积为 D. 外接球的表面积为 10. 已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列，公比为，则（ ） A. 的公差为3 B. C. 既存在最大值又存在最小值 D. 只存在最大值不存在最小值 11. 已知是定义域为奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（ ） A. B 当时，有 C. 当时，的最小值为4，则 D. 若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________. 13. 把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，底面圆的半径为3，则圆锥的体积为________. 14. 设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 16. 小李为了参加某项考试，对其理论题进行了100次模拟练习，小李记录了自己100次练习情况并将成绩（满分100分）频数分布统计如下表所示. 成绩区间 频数 10 20 30 20 20 （1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； （2）小李用分层抽样的方式从的练习成绩中随机抽取了5次成绩，再从这5次成绩中随机选2次，设成绩落在区间内的次数为，求的分布列及数学期望. 17. 如图，在正四棱台中，为的中点，. （1）证明：； （2）平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 19. 已知椭圆：. （1）求的离心率； （2）若直线：上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求点的坐标； （3）若菱形的四个顶点都在上，证明：与的交点为坐标原点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $