5.1分式及其基本性质（1）教学设计2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 1 分式及其基本性质（第1课时） 一、学习任务分析 分式属于“数与代数”领域。此前，学生已经学习了字母表示数、代数式、整式、因式分解等内容，分式是继整式之后学习的又一类代数式。分式的学习是进一步掌握分式方程、理解反比例函数等重要内容的基础。 本节课是“分式及其基本性质”的第1课时。教学设计以数学建模和类比思想为核心，引导学生从具体情境中抽象出分式模型，并类比分数理解分式的概念。在此基础上，学生将掌握分式有无意义的条件，学习求分式的值，进而理解分式有意义及分式值为零的具体要求。 本节课设计了较多的自主探究活动，教师在教学中应给予学生充分的时间和空间，发挥学生主观能动性。在学习过程中渗透类比思想，帮助学生感受模型观念，在不断的抽象与推理中逐步提高学生的数学素养。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学阶段已经掌握了分数的相关知识。分式可看成分数在代数意义上的延伸与一般化形式，因而两者在基本性质与运算规则上具有相似性。在前面的学习中，学生已学会用字母表示实际问题中的数量关系，能够对整式进行分类，并初步具备用整式表示现实情境中的数量关系的意识及初步的建模能力。此外，学生已经具备独立探究的能力，有了合作学习的组织能力与方法，并积累了一定的分类、归纳、反思与总结等数学活动经验，为本节课的学习奠定了良好的基础。 学生活动经验基础：在整式学习中，学生初步具备用整式表示现实情境中的数量关系、建立数学模型的意识。通过相关学习，学生已形成观察、归纳、类比、抽象与概括的能力，并具备自主探索与合作交流的能力。 三、教学目标 1.能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是刻画现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号意识； 2.了解分式的概念，理解分式有意义的条件，明确分式与整式的区别； 3.经历观察、归纳、类比的活动过程，发展抽象能力以及有条理的表达能力。 教学重点：理解分式的概念。 教学难点：理解分式有意义的条件及其在实际情境中的意义。 四、教学过程设计 【第一环节】知识回顾，结构关联 1.活动内容 前面我们学习了整式的除法，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式。 （1）计算下列各题，并说说你的理由。 ①x5y÷x2＝x3y； ②8m2n2 ÷2m2n＝4n； ③a4b2c÷3a2b＝a2bc。 （2）计算下列各题，并说说你的理由。 ①(ad＋bd)÷d＝a＋b； ②(a2b＋3ab)÷a＝ab＋3b； ③(xy3－2xy)÷xy＝y2－2。 （3）两个整式的商一定是整式吗？我们可以类比整数除以整数展开探究。 2.活动目的 设置结构化的问题，意在引导学生类比分数、整式的学习经验，自主提出接下来要研究分式，并思考研究思路与方法，从而形成研究内容的整体架构。对问题（3）的思考，有助于学生对相关内容形成结构化认识，提高知识与方法的应用与迁移能力。 3.注意事项 在学生回答问题（3）时，教师不必急于进行新内容的教学，而应继续追问“你是怎么想的”“你打算如何展开研究呢”，引导学生充分交流与表达，体会数学知识与方法之间的联系，并通过具体例子帮助学生逐步形成对相关内容的结构化认识。 【第二环节】创设情境，感受模型 1.活动内容 2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口市的旅程时间。京张高速铁路正线全长174km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍。 设乙列车的平均行驶速度为x km/h，请回答下列问题： （1）乙列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少？ （2）甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少？ 尝试·思考 （1）李叔叔计划用x元购买一批单价为a元/kg的苹果，由于购买量大，现每千克便宜了b元，那么李叔叔现在可以购买多少千克苹果？ （2）在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这（a＋b）天该赛事的日均收看人数为多少万？ 2.活动目的 首先，以“京张高速铁路开通”为问题情境，引入用分式表达实际问题的数量关系。接着，以“购买苹果”“观看北京冬奥会”等情境，丰富用分式表达数量关系的实例。随后，引导学生通过观察所列的代数式，，，，归纳总结其与整式的不同点，从而获得分式的特征，初步感受分式模型，发展符号意识，为后续归纳分式概念做好准备。 3.注意事项 对于“京张高速铁路开通”“购买苹果”“观看北京奥运”等问题，学生一般能得出结果，但表达方式可能有所不同。学生可能会用除法表示，也可能用代数式的形式表示。教学中，教师应鼓励各种合理的表达方式，并要求学生说说自己的思考过程。在分享与交流的基础上，教师可引导学生对两种表示方法进行分析与总结，得出以下结论：学习了代数式后，除法通常用分数线表示，规范的写法为，，，。 对于，，，的形式，部分学生可能会产生疑问：它们不是整式，那是什么式子呢？教师应鼓励学生大胆猜想，并要求他们对猜想的合理性进行解释。对于一些缺乏逻辑的说法，教师也需明确指出其问题所在。 【第三环节】揭示本质，归纳概念 1.活动内容 观察·交流 上面问题中出现了代数式，，，，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？与同伴进行交流。 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式。如果B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 尝试·交流 你能赋予分式，一些实际意义吗？与同伴进行交流。 2.活动目的 （1）引导学生通过观察代数式，，，，类比分数、整式的学习经验，归纳得出分式的概念。学生此前在学习分数与整式的过程中，已经积累了相关经验，并明确了应重点观察和比较代数式中整式之间的运算关系及其结果。教学中，可引导学生对具体代数式进行观察与思考，进而比较整式与分式的异同，归纳出分式的概念，以此发展其抽象能力与符号意识等核心素养。 （2）通过赋予分式，实际意义，丰富学生对分式的认识，进一步加深学生对分式特征的认知。 3.注意事项 （1）鼓励学生用自己的语言描述分式的共同特征。如果遇到困难，可适时安排小组讨论，或引导学生从形式、所含运算等方面进行思考。教师及时追问，帮助学生明确分式的特征，渗透类比思想。对于“分式的分母不能为零”这一要点，可引导学生类比分数的分母不能为零进行理解，同时说明字母可以表示任意数。通过这样的方式获取知识，学生能够理解得更透彻，掌握得更牢固，运用起来也更为灵活。 （2）赋予分式实际意义的活动，不必局限于教材“尝试·交流”中给出的分式，可以鼓励学生自由举例，并解释其意义。 【第四环节】例题详析，学以致用 1.活动内容 例1（1）当a＝1，2，－1时，分别求分式的值； （2）当a取什么值时，分式有意义？ 2.活动目的 （1）会求分式的值。 （2）理解分式有意义的条件和分式值为零的条件。 例1及活动探究的设置，既可用于评价学生对上一环节分式定义的理解情况，又在问题深度上呈现递进性，通过引导学生试错、辨析等，进一步加深其对分式定义的理解，提高解题能力。 3.注意事项 （1）分式求值较为简单，可让学生独立完成。 （2）引导学生理解分式有无意义的条件。 （3）结合具体题目分析分式值为零应满足的条件。 通过例题学习，帮助学生从两方面理解分式：一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数；二是类比分数可知，分式的分母不能为零。学生基本能够通过计算得出分式的值，但对分式有意义的条件往往理解不深，教学中需借助与分数的类比、辅以多样实例，帮助学生加深理解。 【第五环节】总结提升，纳入系统 1.活动内容 （1）本节课我们是怎样获得分式的概念的？ （2）你对分式有哪些认识？ （3）类比分数的学习，你还有哪些想继续探究的问题？ 2.活动目的 总结与梳理是学习过程中必不可少的一个环节。学生通过总结与反思，能够从多角度完善知识体系，实现思维升华。教学中可再次渗透类比思想，结合小学阶段对分数相关知识的学习，引导学生展望本章后续的学习内容，增强其对学好本章内容的信心。 3.注意事项 学生可以对本节课探索分式概念的过程进行回顾反思，也可以阐述自己对分式的理解，还可以对未来分式的学习进行展望。学生只要言之有理，教师都应予以鼓励，不要求面面俱到。此外，还可组织学生尝试绘制本节课的思维导图，以梳理知识脉络。 【第六环节】因材施教，分层作业 1.活动内容 必做题：教科书习题5.1 第1，2，3题。 选做题：在下列整式中任选两个，分别作为分子或分母，你能组合出几个不同的分式？请写出这些分式，并选择一个你喜欢的数代入求值。 （1）2a；（2）a－2；（3）a2＋1。 2.活动目的 课堂上通过具体情境归纳出分式的定义，课后继续拓展学习，保持知识的连贯性。作业采用分层设计，关注不同层次的学生，在培养学生抽象与推理能力的同时，为学有余力的学生提供尝试空间，让不同水平的学生均获得发展的空间与可能。 3.注意事项 学生可以根据自己的学习情况，自主选择是否挑战选做题。 学科网（北京）股份有限公司 $