河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三下期03月二轮测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期03月二轮测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D D D A D A BCD ABD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．4 13．5 14．1 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列； （2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可. 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 16．(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 17．(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）（i）由（1）的信息，结合三棱锥的体积公式求解；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在中，由， 得，则， ，由四边形是矩形，得， 又平面，且， 所以平面. （2）（i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，而，则， 由，得，即有， 取中点，连接，则，又，则， 所以. （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求出双曲线的焦点，再根据焦点相同设椭圆方程，进而得出方程组求解即可； （2）（i）设直线、的倾斜角分别为和，得出，再利用两角和差的正切公式以及诱导公式得出直线、的斜率之积为，再分别设直线、方程并与椭圆方程联立求出坐标，再设的方程，将坐标代入，建立一元二次方程，结合韦达定理可求； （ii）将问题转化为求的范围，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算，再利用换元法求函数最值即可. 【详解】（1）双曲线的标准形式为， 因为，所以双曲线的焦点为， 因为椭圆与双曲线的焦点相同，故可设其方程为，且， 因为在椭圆上，所以，解得， 故椭圆的方程为； （2）（i）设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为， 由题设知和均不等于，又直线的斜率为，故其倾斜角为， 从而有，即， 则，即， 又，故， 设直线、的斜率分别为、，则， 设直线、的方程分别为、，设， 联立，得，解得， 则，故点， 同理可得， 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 代入点坐标得，化简得， 同理有， 故、是方程的两个根， 故，解得， 故直线方程为，过定点； （ii）因为，故，故， 由（i）可知，直线方程为， 设、，则，， 联立，得， 因为点在曲线内部，则必有， 则，， 则 ， 令，则， 因为，则，则，即， 故，所以， 则的取值范围为. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期03月二轮测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则集合 A． B． C． D． 2．设，则 A． B． C． D． 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 4．若函数为偶函数，则实数（   ） A．1 B． C．－1 D． 5．已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（    ） A． B． C． D． 6．将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ） A． B． C． D． 8．已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 10．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点 11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线l的斜率为 B． C．（O为坐标原点） D．当取最小值时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．展开式中的常数项为______。 13．若，则_______ 14．已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 17．（15分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（17分）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 19．（17分）已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的上顶点，为左焦点，，为上的两点，点关于轴的对称点为，线段的中点为，若为的平分线， （i）求证：直线过定点； （ii）求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $