精品解析：新疆乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学(问卷)

乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学（问卷） （卷面分值:150分;考试时间:120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.两人各射击1次，则恰有一人脱靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率加法公式、对立事件的概率公式，结合概率的乘法公式进行求解即可. 【详解】两人各射击1次，甲中靶，乙脱靶的概率为， 两人各射击1次，甲脱靶，乙中靶的概率为， 所以有一人脱靶的概率为， 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得、的坐标，根据条件，列出等式，即可得答案. 【详解】设，则，， 因为， 所以，解得，则. 故选：A 3. 经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 必然事件发生的概率可能为 B. 若为两个事件，则 C 若事件彼此互斥，则 D. 若事件互斥，且满足，则是对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概率以及互斥事件概率与对立事件概率的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，必然事件发生的概率一定为1，故A错误； 对于B，若为两个事件互斥事件，则，故B错误； 对于C，若事件彼此互斥，则， 但不一定有，因为这三个事件的和不一定是全集，故C错误； 对于D，若事件互斥，且，，则是对立事件，故D正确. 5. 在平面直角坐标系中，直线与直线垂直，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意算出直线的斜率，根据垂直算出直线的斜率，根据，计算倾斜角. 【详解】解：因为，所以， 因为直线与直线垂直，所以， 即， 又，所以. 故选：D. 【点睛】两条直线垂直： ①如果两条直线的斜率存在，设为，则有； ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，. 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由离心率的定义可得a，b关系，进而可得渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，且. 所以，得，所以渐近线方程为. 故选：B 7. 已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量共面的基本定理当时即可求解. 【详解】， 又∵是空间任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴，解得 故选：B 【点睛】方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面． 8. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且斜率为的直线与直线之间的距离是 B. 数列满足，则 C. 等差数列满足，则 D. 过作直线与圆交于A，B 两点，则的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式求解判断A；利用累加法求解判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用圆的弦长公式，结合圆的性质计算判断D. 【详解】对于A，过点且斜率为的直线方程为，即， 因此所求距离为，A错误； 对于B，由，得， 则，B正确； 对于C，在等差数列中，由，得，则，C错误； 对于D，圆的圆心，半径，，点在圆内， 则圆心到直线距离最大值为，所以的最小值为，D正确. 11. 已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，则（ ） A. B. 的最小值为8 C. 若，则的最小值为5 D. 直线和斜率之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A可由焦点坐标可得，对于B可由弦长公式可得最小值，对于C由抛物线的定义将转化为Q点到准线的距离，再结合图形特征可得.对D直接用根据系数关系计算可得. 【详解】由抛物线的焦点，得，即，故A错误； 抛物线方程为.如图： 设，由题意可知直线的斜率不等于0， 设直线的方程为，过Q作准线的垂线，垂足为M. 联立，消去x，，， 所以， 所以 ， 当时等号成立，故B正确； 再由抛物线的定义，所以， 当三点共线时等号成立，故C正确； 又，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】，解得，故， 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 综上， 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且，双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，化简得到，在中，由余弦定理，列出方程，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，因为，可得， 由双曲线的定义可得，所以， 在中，因为， 由余弦定理得， 解得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，即可求出，的值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入等差数列的求和公式，即可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以前n项和. 16. 为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 （1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； （2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可列出其样本空间，即可求解； （2）符合“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，利用古典概率即可求解； （3）由题符合题意的有：，，有种可能，即可求解. 【小问1详解】 样本空间为：. 【小问2详解】 事件“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，所以概率为， 【小问3详解】 事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”， 来自学校有两种可能：，，来自学校一种可能，总计结果有种可能， 所以概率为. 17. 圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. （1）求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； （2）求经过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点及圆的方程，再利用圆的性质确定点P的轨迹，进而求出方程. （2）确定点与圆的位置关系，再利用圆的切线性质求出切线方程. 【小问1详解】 直线恒过定点，则圆的方程为， 而，则点在圆内，当点与点都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当点与点之一重合时，点也在此圆上， 所以点P的轨迹方程为，即. 【小问2详解】 由，得点在圆上，直线的斜率为， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据点到面的向量法建立方程求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及点在椭圆上，利用待定系数法可得椭圆方程； （2）①由已知可得直线方程，联立直线与椭圆，根据弦长公式可得，再根据点到直线距离可得面积；②设，与椭圆联立可得点坐标，同理可设，得点坐标，再根据，，三点共线，可得，即可得最值. 【小问1详解】 由已知椭圆的离心率为，即，化简可得， 则椭圆方程为， 又椭圆过点，则， 解得， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 设，， ①由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； ②设，即 联立直线与椭圆， 消去可得， 则， 解得， 且，， 又，则， 所以， 同理可设，即可得， 又，，三点共线，则， 即，化简可得，即 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以当且仅当时等号成立， 综上所述的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学（问卷） （卷面分值:150分;考试时间:120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.两人各射击1次，则恰有一人脱靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 必然事件发生的概率可能为 B. 若为两个事件，则 C. 若事件彼此互斥，则 D. 若事件互斥，且满足，则是对立事件 5. 在平面直角坐标系中，直线与直线垂直，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A B. C. D. 7. 已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小项是，最大项是 B. 当时，最小 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 下列四个命题中正确是（ ） A. 过点且斜率为的直线与直线之间的距离是 B. 数列满足，则 C. 等差数列满足，则 D. 过作直线与圆交于A，B 两点，则的最小值为2 11. 已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，则（ ） A. B. 的最小值为8 C. 若，则的最小值为5 D. 直线和斜率之积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，，，则________． 13. 已知数列前项和为，且满足，则__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且，双曲线的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 （1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； （2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 17. 圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. （1）求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； （2）求经过点的圆的切线方程. 18. 如图，点正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 19. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $