精品解析：吉林省吉林市实验中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

高三数学 一、单选题 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 3. 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出之间的关系，结合离心率，即可求得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为， 由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，故，即， 故椭圆的离心率为. 4. 若满足限制条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件，得到可行域，再利用目标函数的几何意义，即可求解. 【详解】由题知可行域为图中阴影区域，由，解得，所以， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 因为可看成可行域内的点到点的距离的平方， 又， 所以的最大值为， 故选：B. 5. 已知函数有最小值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、和分别讨论可得结果. 【详解】当时，令，则，则无最小值，不符合题意； 当时，，而当时，，当时，，故的值域为，无最小值，不符合题意； 当时，令，则，令，则，故必存在最小值，符合题意． 综上，a的取值范围是． 故选：A. 6. 设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 7. 三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为在中，，所以边上的高线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线， 因为点，点，， 因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为“欧拉线”与圆相切，所以圆心到“欧拉线”的距离为，即， 圆心到直线的距离为， 由圆的对称性可知，圆M上的点到直线的距离的最小值为. 8. 若关于的方程有2个不同实根，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过去绝对值号，将原方程转化为两个方程，再结合函数的单调性、零点存在定理分析根的个数，最终得出的范围. 【详解】由原方程，可得，并将方程转化成或，即或. 设，， 因为，因为，所以在单调递增. 当，，当，， 又因为在上是连续的函数， 所以根据零点存在定理，有唯一根，即， 两边取对数得，化简得，整理得， 因为在严格递增，故.所以在单调递增， 在单调递减，故函数在取得最小值， 同理函数在取得最小值， 因为. 因为当和时与均趋近于正无穷，从而当两个函数的最小值一正一负时，方程有且仅有2个实根，即且，即整理得即所以，即的取值范围为. 二、多选题 9. （多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面一定不会是平行四边形 B. 棱锥的侧面只能是三角形 C. 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D. 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确； 选项B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确； 选项C，四个平面围成的封闭多面体，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥（四面体）的定义，C正确； 选项D，如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误． 10. 已知圆锥曲线的焦点为，若此曲线上存在点P，满足（其中为坐标原点），则这个曲线可能是（ ） A. 离心率为的椭圆 B. 离心率为的椭圆 C. 离心率为2的双曲线 D. 离心率为的双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合选项，分曲线表示椭圆、双曲线两种情况讨论，确定满足的条件，即可判断. 【详解】当、且时，曲线表示椭圆， 不妨令，设焦点为，，且， 由椭圆的定义可知， 由余弦定理， ， 又， 所以， 又， 所以， 又， 所以，所以， 又椭圆上的最大值为，显然恒成立， 故所有椭圆上均存在点满足， 又椭圆的离心率，故A、B正确； 当时，曲线表示双曲线， 不妨令，设焦点为，，且， 由双曲线的定义可知， 由余弦定理， ， 又， 所以， 又， 所以， 又， 所以，所以， 又双曲线的离心率且，所以， 又，， 所以该双曲线可以是离心率为的双曲线，不能是离心率为的双曲线，故C错误，D正确. 11. 将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的取值范围为 B. 若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C. 若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D. 若方程在内恰有两个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过图象变换得到，再通过正弦函数性质求解不等式判断A；将交点问题转化为方程有解问题，求解参数范围，利用正弦函数性质建立不等式组，求解参数范围，进而汇总参数范围判断B；举反例判断C；最后利用整体代换的思想令，将转化为判断D即可. 【详解】由题意得将的图象向左平移个单位长度， 则， 而横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍， 得到， 而向下平移个单位长度， 可得， 则，即. 对于A，由，得， 由三角函数的图象可得， 可得的取值范围为，故A正确； 对于B，由题意得， 令，可得， 而，则， 若在上的图象与直线有且只有一个交点， 则在上有且只有一个解， 可得，解得. 若在上单调递减，则在上单调递增， 因为，所以， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 可得，解得， 综上可得，，故B正确； 对于C，由题意得， 不妨设函数在区间上的最大值为，最小值为， 令，则区间变为，可得， 则，即， 此时， 即的取值范围是不成立，故C错误； 对于D，令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则，即在内恰有两个根， 则，且，得到， 故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 函数是偶函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由偶函数的定义知，则，定义域为， 此时，满足题设，所以. 13. 已知数列满足，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . 14. 已知，则三元有序集合对的个数为______个. 【答案】 【解析】 【分析】将恰好分成，，，，，，互不相交的7个部分，根据每个元素可以有7种放法，即可得. 【详解】如图所示，恰好分成，，，，，，互不相交的7个部分， 而i可以放在这7个部分中的任意一部分（），故共有个. 故答案为： 四、解答题 15. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 16. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入点坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得； （2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明. 【小问1详解】 将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 17. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19. 已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）设椭圆焦距为，则椭圆过点，代入椭圆方程，结合及，求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用表示，即可证为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得的最小值． 【小问1详解】 由题意有，所以. 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以. 又，所以. 所以，即，解得. 所以，，故的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，，，则，由题意有． 直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程. 所以，又，在椭圆上， ∴，∴. ∴， ∴. （ⅱ）∵， 而，， 由（ⅰ）知， ∴，又， ∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立. 所以．的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若满足限制条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有最小值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（ ） A. B. C. D. 7. 三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 若关于的方程有2个不同实根，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面一定不会是平行四边形 B. 棱锥的侧面只能是三角形 C. 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D. 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 10. 已知圆锥曲线的焦点为，若此曲线上存在点P，满足（其中为坐标原点），则这个曲线可能是（ ） A. 离心率为的椭圆 B. 离心率为的椭圆 C. 离心率为2的双曲线 D. 离心率为的双曲线 11. 将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的取值范围为 B. 若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C. 若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D. 若方程在内恰有两个根，则 三、填空题 12. 函数是偶函数，则_____________． 13. 已知数列满足，则＝______. 14. 已知，则三元有序集合对的个数为______个. 四、解答题 15. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 17. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求 （2）若，求数列的前n项和. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19. 已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． （1）求的标准方程； （2）若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $