第二十章 勾股定理单元检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二十章 勾股定理单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 2．下列几组数，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，长方形中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．点与点的横坐标相同 B．点与点的纵坐标相同 C． D． 6．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 8．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．已知，，P为上一动点，则当最小时，（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶5 D．1∶2 10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 11．如图，在中，，，，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，连接、、，则长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形的周长为______． 14．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 15．如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m． 16．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。 17．如图，在中，，是高．若，，求的长． 18．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 19．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 20．（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：） （2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明． 21．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 22．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 23．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 24．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 25．综合与探究 (1)【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： (2)【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二十章勾股定理单元检测卷（答案版） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 123 45678 9 101112 ADCCDCBD B B CB 二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.24. 14.2π. 15.4. 16.45,1 31 三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22 题10分，23-25题每题12分。 17.【详解】解：，∠ABC=135°， .∠ABD=45°. ,AD是△ABC的高， .∴.∠DAB=∠ABD=45°， .'AD=BD 在Rt△ABD中，AD+BD=AB2. nD=号A=×32=9, .AD=BD=9=3. ∴.CD=BD+BC=4, 试卷第1页，共3页 在Rt△ACD中，AD+CD=AC2. ∴.AC=AD2+CD2=32+42=5. 18.【详解】(1)解：AB=V7+1=52, AD=32+42=5; (2)解：△ABD是直角三角形： 证明：，BD=32+4=5,AB=7+1=52,AD=3+4=5, .'.AD2+BD=AB2, ∴.△ABD是直角三角形. 19.【详解】(1)证：依题得：CA=30m,CB=40m, .30+40=502, 即CA+AB2=AB2, ∴.∠ACB=90°； (2)解：作CD⊥AB交AB于点D, 试卷第2页，共3页 :R△ABC中，ACBC=CDAB, :.CD=ACBC-30x40=24m<25m, AB 50 以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域，故教学楼C会受噪声影 响； (3)解：如图，当EC=FC=25m时，正好影响教学楼C, E D F :Rt△CDE中，CD+DE2=CE2, ∴.DE=CE2-CD2=252-242=7m, 同理可得DF=7m, ∴.EF=DE+DF=14m, ,货车的速度为2m/s, ∴.货车影响教学楼持续的时间为14÷2=7s. 20.【详解】解：(1)能，理由是： 如下图，连接AC,则AC与AB、BC构成直角三角形， 试卷第3页，共3页 2m 1m B 根据勾股定理得，AC=AB2+BC=1+2=5≈2.236. .·2.2cm<2.236cm, ∴.该长方形能从内框内通过（将该长方形的宽沿着AC斜着进去）；· (2)能，理由是： 过点C作CD⊥AB,则△ACD是等腰直角三角形，即AD=CD, .AC=2 B D ∴.CD2+AD2=AC2,即2CD=(22, ∴.CD=1<1.05, .这个立柜能通过过道 21.【详解】(1)解：由题意，小正方形对角线的长度为 12+12=2: (2)解：由(1)知，正方形ABCD的边CD=2,C与-1重合， ∴.点D在数轴上表示的数m=-1-V2, 试卷第4页，共3页 ∴.m+2=|-1-2+2=1-2=2-1. 22.【详解】(1)解：如图3所示，线段AB即为所求； 图3 (2)解：如图3所示，根据题意可得AD=2×3×乙=7m,BD=3m, 6 在R△ADB中，由勾股定理得AB=VAD+BD=S8m' 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为58m. D 图3 23.【详解】(1)解：在Rt△ABC中，AC=AB-BC=252-24=7 米， .AD=AC+CD=7+1.8=8.8米. 答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8米. (2)解：CE=AC+AE=7+8=15米， 由题意可得：EF=AB=25米， 试卷第5页，共3页 在Rt△EFC中，CF=EF2-EC=252-15=20米， ∴.BF=BC-CF=24-20=4米， 答：他应该朝射线BC方向前进4米. 24.【详解】(1)解：在图1中，SE方形ABc=(a+bP=4×号ab+c2, 在图2中，SE方形BcD=(a+bP=a2+b2+2ab ∴.a2+b2+2ab=2ab+c2, ∴.a2+b2=c2. （2)解：.AC=√(a+b2+a+b2=12V2, ∴c=2AC=62, ob最大为12-c=2×144-72=36, (3)解：由图3可得，CM=x2+32,AM=(5-x)2+2, .x2+32+5-x2+22=CM+AM, 由(2)可知，点M在线段AC上时，CM+AM=AC取最小值， ∴.x2+32+5-x2+22的最小值为AC的长， .正方形ABCD的边长为5， ∴.AC=52, .x2+32+5-x2+2的最小值为52. 试卷第6页，共3页 25.【详解】(1)解：如图，延长中线AC至点E,使得CE=AC=3, 连接DE. .AC是中线， ∴.BC=CD 在△ABC和△EDC中， AC=CE ∠ACB=∠ECD BC=DC ∴.△ABC≌EDC SAS, .∴.DE=AB=4. 在△ADE中， AE2+DE2=62+42=52,AD2=52, ∴.AE2+DE2=AD2. ∴.∠AED=90°. ∴.CD=CE2+DE2=25. .∴.CD=5. 试卷第7页，共3页 .BD=10; (2)解：AD=AB+DC.理由如下， 理由：如图中，延长AE,DC交于点F, .ABI CD, ∴.∠BAF=∠F, 在△ABE和△FCE中， CE=BE ∠BAF=∠F ∠AEB=∠FEC ∴.△ABE≌△FEC AAS, ∴.CF=AB, .'AE是∠BAD的平分线， ∴.∠BAF=∠FAD, ∴.∠FAD=∠F, ∴.AD=DF, DC+CF=DF, 试卷第8页，共3页 .'AD=AB+DC; (3)解：设AE=x,如图，过点C作CG‖AB交EO的延长线于点G,连 接DG, '.将△ADE沿DE折叠到△FDE, ∴.EF=AE=X,∠EDF=∠EDA,AD=DF=CD=AC=2, ∠DFE=∠A=90°，则∠DFG=90°， .DE2=AE2+AD=X2+2=x2+4, .CG‖AB, ∴.∠BEO=∠GCO, .'∠BOE=∠GOC,BO=CO, .∴.△BOE≌△GOC AAS, ∴.CG=BE=3,∠OCG=∠OBE, .‘∠A=90°， ∴.∠GCD=∠OCG+∠ACO=∠OBE+∠ACO=90°， 试卷第9页，共3页 .DG2=CD2+CG2=2+32=13, .'DF=DC=2,∠DFG=LDCG=90°，DG=DG, .∴.Rt△DFG≌Rt△DCG HL, ∴.FG=CG=3,∠FDG=∠CDG,∠EDF=∠EDA, ∴∠EDG=∠EDF+∠FDG=∠ADF+∠CDF=S0, ∴.EG=DE2+DG2,即x+32=x2+4+13, 解待×=手 三A的长度为经 试卷第10页，共3页 第二十章 勾股定理单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 2．下列几组数，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，长方形中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．点与点的横坐标相同 B．点与点的纵坐标相同 C． D． 6．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 8．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．已知，，P为上一动点，则当最小时，（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶5 D．1∶2 10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 11．如图，在中，，，，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，连接、、，则长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形的周长为______． 14．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 15．如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m． 16．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。 17．如图，在中，，是高．若，，求的长． 18．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 19．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 20．（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：） （2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明． 21．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 22．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 23．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 24．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 25．综合与探究 (1)【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： (2)【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可． 【详解】对选项A：最长边为5，，可以构成直角三角形； 对选项B：最长边为10，，不满足； 对选项C：最长边为12，，不满足； 对选项D：最长边为20，，不满足． 2．下列几组数，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 3．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故选：C． 4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 5．如图，长方形中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．点与点的横坐标相同 B．点与点的纵坐标相同 C． D． 【答案】D 【分析】先推导出不一定平行于x轴，则点B，D的坐标无法确定，的值无法确定，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：在长方形中，，， 当轴时，， 由题意可知，不一定平行于x轴，则点B，D的坐标无法确定 ∴点与点的横坐标、纵坐标不一定相同，的值无法确定， 故A，B，C错误； 由得． 6．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 7．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 8．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 9．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．已知，，P为上一动点，则当最小时，（    ） A．1∶3 B．1∶4 C．2∶5 D．1∶2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与作图、勾股定理、垂线段最短及三角形面积比，掌握同高三角形面积比等于底边长之比是解题的关键． 先由尺规作图知是角平分线，再根据垂线段最短得时最小，利用角平分线性质得，结合勾股定理求出，最后由同高三角形面积比等于底边长之比得结果． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 根据勾股定理， ∵题目中的尺规作图过程是作角平分线， ∴是的角平分线， ， ∵为上一动点，当最小时， ∴ ∴， 在和中 ∴ ， ∴， ∵和有共同的顶点，且底边在同一直线上，它们的高都是点到直线的距离， ∴ ， ∴ ∴ 故选：B． 10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 11．如图，在中，，，，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，连接、、，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和是的轴对称图形，即得，，，即可证出，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴，，， ∴， 在中，． 12．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：          ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形的周长为______． 【答案】24 【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再计算三角形周长即可． 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为．已知该已知直角三角形两直角边长为6和8． 根据勾股定理可得：． 因此该三角形的周长为． 14．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 【答案】 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积． 【详解】解： ． 15．如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过点作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：4． 16．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了探索坐标的规律、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标，利用勾股定理依次求出点、、的坐标，从中找出规律、根据规律写出点的坐标；根据规律可知点的横坐标是，纵坐标是，在到之间，被开方数中能写成与一个平方数乘积的有个，所以的同类二次根式有个． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， ，， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， 四边形是长方形， ，， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 即点的坐标为； 由图可知： 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为， ， 在到的所有横坐标中，有、、、、，共个的同类二次根式； 故答案为：，. 三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。 17．如图，在中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 18．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 19．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【详解】（1）证：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 20．（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：） （2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明． 【答案】（1）能，理由见解析；（2）能，理由见解析． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． （1）连接，则与、构成直角三角形，由勾股定理得到，进行比较即可求解； （2）过点作，则△是等腰直角三角形，即，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）能，理由是： 如下图，连接，则与、构成直角三角形， 根据勾股定理得，． ∵ ， ∴该长方形能从内框内通过（将该长方形的宽沿着斜着进去）；. （2）能，理由是： 过点作，则△是等腰直角三角形，即， ， ，即, ∴， ∴这个立柜能通过过道． 21．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理、算术平方根的应用，理解题意，求出是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用点C表示的数减去边的长可得m值，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形对角线的长度为； （2）解：由（1）知，正方形的边，C与重合， ∴点D在数轴上表示的数， ∴． 22．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 23．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． （2）解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 24．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 25．综合与探究 (1)【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： (2)【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析； (3)的长度为． 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $