精品解析：黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2025-2026学年八年级下学期数学练习试题（3月21日）

黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2025-2026学年八年级下学期数学练习试题 一、选择题 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及知识点：二次根式的被开方数非负．解题方法是根据被开方数列不等式，求解后判断选项；解题关键是牢记被开方数的非负性，易错点是忽略符号方向．解题思路：由被开方数列不等式，确定的取值范围，再匹配选项． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． 选项中只有，满足条件． ∴的值可以是0． 故选D． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方，即可求解． 【详解】解：∵ 移项得， 配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得 即 故选B． 3. 关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质， ∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质， ∴D选项不一定正确， 故选：D． 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A. 64 B. 54 C. 108 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 7. 六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，连接，由垂直平分线的性质可得，先通过勾股定理求得，设，则，再根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 9. 平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A. 7尺 B. 尺 C. 8尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确，不符合题意； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确，不符合题意； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确，不符合题意； ， 在中，，故④错误，符合题意； 综上，错误的有1个． 二、填空题 11. 若实数是一元二次方程的两个根，则多项式的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，然后代入多项式计算． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，， ∴， 故答案为：1． 12. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据乘法分配律将式子展开，再分别化简各项，最后进行加法运算． 【详解】原式 ． 13. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，且， 解得． 故答案为：． 14. 如图，中， ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可求出的度数，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 【答案】45° 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°． 【详解】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10． ∴AB2=AC2+BC2，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键． 16. 一个三角形工件的尺寸（单位：mm）如图所示，则它的高的长度为________． 【答案】##12毫米 【解析】 【分析】通过作高构造直角三角形，利用方程思想，设高将底边分成的其中一段长度为x，根据两个直角三角形共用一条直角边（即高），利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． 17. 如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 18. 有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 19. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 20. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由是“准直角三角形”， 分两种情况讨论：当时，则，证明，如图，过作于点，再进一步求解，当时，设，可得，证明，进一步可得答案． 【详解】解：∵是“准直角三角形”，设， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：当是“准直角三角形”，则的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ． 23. 图1，图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫格点，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： （1）在图1中画（非矩形），使平行四边形的周长为18，所画的平行四边形的顶点必须在小正方形的格点上； （2）在图2中画出一个，三边分别为5、3、，所画的三角形的顶点必须在小正方形的格点上，并且直接写出三角形的面积__________． 【答案】（1） 解：平行四边形如图所示．其中，． （2） 如图所示．其中，，，； 故答案为． 【解析】 【分析】（1）构造一个边长为5和4的平行四边形即可． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 25. 先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）的有理化因式是______；的有理化因式是______． （2）将下列式子进行分母有理化： ①______；             ②______． （3）类比（2）中②的计算结果，计算： ． 【答案】（1）；． （2）①；②． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的加减运算等知识点，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键． （1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式； （2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可解答． 【小问1详解】 解：的有理化因式是，的有理化因式是． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①； ②． 故答案为：①；②． 【小问3详解】 解： ． 26. 如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； （2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； （3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 【答案】（1）， （2） 当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下： ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，证明，根据证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出； （2）方法同（1）； （3）分点在上和在的延长线上两种情况，结合勾股定理可得结论． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； 综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在上时，如图， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， 同理可得，， ∴， ∵在中，， ∴； 综上，的长为或． 27. 小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为．如图，在直角坐标系中的任意两点，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得：线段的长为． 根据上面材料，回答下面的问题： （1）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的长为______； （2）若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是______； （3）已知的三个顶点坐标分别为，，，求点C坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理列式计算即可； （2）设点C的坐标为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）先分别计算三边的长度，再根据直角三角形的斜边不确定分三种情况讨论，然后由勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：设点C的坐标为， ∵点D的坐标是，且， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵的三个顶点坐标分别为，，， ∴， ，， 分以下三种情况讨论： 当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得或； 当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得； 当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得； 综上所述，点C坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2025-2026学年八年级下学期数学练习试题 一、选择题 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A. 64 B. 54 C. 108 D. 48 7. 六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A. 7尺 B. 尺 C. 8尺 D. 尺 10. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 若实数是一元二次方程的两个根，则多项式的值为___________． 12. 计算：________． 13. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 14. 如图，中， ，则_______． 15. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 16. 一个三角形工件的尺寸（单位：mm）如图所示，则它的高的长度为________． 17. 如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 18. 有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 19. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为______． 20. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，则的长为___________． 三、解答题 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. 图1，图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫格点，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： （1）在图1中画（非矩形），使平行四边形的周长为18，所画的平行四边形的顶点必须在小正方形的格点上； （2）在图2中画出一个，三边分别为5、3、，所画的三角形的顶点必须在小正方形的格点上，并且直接写出三角形的面积__________． 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25. 先阅读，后解答： ，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1）的有理化因式是______；的有理化因式是______． （2）将下列式子进行分母有理化： ①______；             ②______． （3）类比（2）中②的计算结果，计算： ． 26. 如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； （2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； （3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 27. 小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为；同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为．如图，在直角坐标系中的任意两点，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得：线段的长为． 根据上面材料，回答下面的问题： （1）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的长为______； （2）若点C在y轴上，点D的坐标是，且，则点C的坐标是______； （3）已知的三个顶点坐标分别为，，，求点C坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $