精品解析：江西省抚州市金溪县第一中学2025-2026学年度下学期高三3月份数学阶段性作业（一）

2025－2026学年下学期数学高三阶段作业（一） 命题人：刘强 审题人：余宏仁 许明 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 设集合，，则集合等于 ( ) ． A. B. C. D. 3. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A. B. C. D. 6. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面ABC，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件与B相互独立 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B. 若，则函数在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在上恰有一个零点，则 11. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 … 2022 2023 … 则下列说法正确的是（ ） A. 当为等差数列时， B. 数列的通项公式可能为 C. 当数列满足时， D. 当数列满足时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数为______． 13. 一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答） 14. 已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线交于N点，则点横坐标之差为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 16. 如图，在多面体中，正三角形所在平面与菱形所在的平面垂直，平面，且. （1）判断直线平面的位置关系，并说明理由； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 新高考模式的选科是按物理类与历史类两大块组合进行，即物理与历史必选一科，再从化学、生物、地理、政治四个学科中任选两科，加上语文、数学、英语组成一种组合，简称“物理类”与“历史类”．为了解选科组合是否与性别有关，某机构随机选取了100名学生，进行了问卷调查，得到如下的列联表： 性别 选科组合 合计 物理类 历史类 男生 40 女生 30 合计 已知在这100名学生中随机抽取1人，抽到选物理类学生的概率为0.6． （1）完成表中数据，并根据小概率值的独立性检验，判断选科组合是否与性别有关； （2）从上述选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取4人调查其选物理类的原因． （ⅰ）用表示这4人中男生的人数，求的分布列及数学期望； （ⅱ）已知这4人中有女生的条件下，求男生、女生人数不相等的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 18. 双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P. （1）求双曲线C的方程； （2）证明：点P在定直线h上； （3）连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切. 19. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期数学高三阶段作业（一） 命题人：刘强 审题人：余宏仁 许明 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，再利用复数模的定义求解. 【详解】由，得，所以. 故选：D 2. 设集合，，则集合等于 ( ) ． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法解出集合N，结合交集的概念和运算即可得出结果. 【详解】由得，即； 又， 所以. 故选：A. 3. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【详解】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知向量，，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算与平行的坐标表示即可求解. 【详解】由，， 可得：， 又，. 所以，解得：， 故选：C 5. 如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D. 考点：椭圆的离心率． 6. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 7. 在三棱锥中，平面ABC，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用球的性质可得，进而可得，再利用基本不等式即求. 【详解】∵平面ABC， ∴， 则为直角三角形，其外心为PB的中点，的外心， ∴，又， ∴， 设三棱锥的外接球的为，连接，则平面ABC， ∴， ∴，又三棱锥的外接球的表面积为， ∴，即， 由可得， ∴，当且仅当时取等号. ∴的最大值是. 故选：B. 8. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，题设转化为，进而构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，，进而求解即可. 【详解】由题意可得， 设，则， 故，即， 令，则， 当时，，在单调递增； 当，，在单调递减. 所以，所以， 令，则， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减. 故，所以. 由题意可知若，则，故，， 此时且，解得，故. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件与B相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据计算，判断A的真假；计算，判断B的真假；根据。利用古典概型概率公式，求，判断C的真假；分别计算和，可判断D的真假. 【详解】∵，A对； ∵，∴，∴A与B不互斥，B错； ，C对； ∵， 又，， ∴ ∴事件与B相互独立D对． 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B. 若，则函数在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在上恰有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若和为函数图象的两条相邻的对称轴， 则函数的最小正周期为，则， 所以，，此时，，合乎题意，A对； 对于B选项，若，则， 当时，则，所以，， 故当时，则函数在上的值域为，B错； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则为奇函数， 所以，，解得， 因为，当时，取最小值，C对； 对于D选项，因为，当时，， 因为函数在上恰有一个零点，则，解得，D对. 故选：ACD. 11. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 … 2022 2023 … 则下列说法正确的是（ ） A. 当为等差数列时， B. 数列的通项公式可能为 C. 当数列满足时， D. 当数列满足时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可得.对A：结合等数数列的性质分析运算；对B：利用裂项相消法分析运算；对C：根据等比数列求和分析运算；对D：取，分析运算即可. 【详解】由题意可得：，且， 对A：当为等差数列时，则， 可得，故，A正确； 对B：若，满足， 则， 故数列的通项公式不可能为，B错误； 对C：当数列满足时，满足， 则， 可得，C正确； 对D：当数列满足时，则， 可得，D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项定理展开，再利用多项式乘法法则求出项即可作答. 【详解】依题意，，因此展开式中项为， 所以项的系数为10. 故答案为：10 13. 一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答） 【答案】288 【解析】 【分析】由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可． 【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球； 当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有种方法； 当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有种方法； 当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有种方法； 当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有种方法； 综上共有72+36+36+144=288种排法. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类． 14. 已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线交于N点，则点横坐标之差为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形内切圆圆心的横坐标，再表示出直线的方程，联立解得N点横坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得，，为曲线的左、右焦点， 点P为曲线与曲线在第一象限的交点，即C、E有相同的焦点， 则，联立，消去，得， 又，可得， 对于椭圆，设为椭圆上一点，令， 则椭圆化为圆，则对应点即为， 由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为， 故可得椭圆在处的切线方程为， 故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限， 则，可得直线方程为①， 设三角形内切圆半径为，由等面积得， ，则 ②， 又P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图： 由圆的切线性质得，则， 即，即M点横坐标为1， 由，可得直线的方程为③ ， 联立①②③，化简可得，又，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】15. 16. 【解析】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【小问1详解】 ，可得 又 【小问2详解】 由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 16. 如图，在多面体中，正三角形所在平面与菱形所在的平面垂直，平面，且. （1）判断直线平面的位置关系，并说明理由； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，连接，通过计算可得，四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 直线与平面平行，理由如下： 如图，过点作于点，连接，因为在正三角形中，， 所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面， 平面平面. 【小问2详解】 如图，连接，由（1）可得为的中点，又， 故为等边三角形，所以. 又平面，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得是平面的一个法向量. 所以， 由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值是. 17. 新高考模式的选科是按物理类与历史类两大块组合进行，即物理与历史必选一科，再从化学、生物、地理、政治四个学科中任选两科，加上语文、数学、英语组成一种组合，简称“物理类”与“历史类”．为了解选科组合是否与性别有关，某机构随机选取了100名学生，进行了问卷调查，得到如下的列联表： 性别 选科组合 合计 物理类 历史类 男生 40 女生 30 合计 已知在这100名学生中随机抽取1人，抽到选物理类学生的概率为0.6． （1）完成表中数据，并根据小概率值的独立性检验，判断选科组合是否与性别有关； （2）从上述选物理类的学生中利用分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取4人调查其选物理类的原因． （ⅰ）用表示这4人中男生的人数，求的分布列及数学期望； （ⅱ）已知这4人中有女生的条件下，求男生、女生人数不相等的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】（1）列联表： 性别 选科组合 合计 物理类 历史类 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 选科组合与性别有关 （2）（ⅰ）的分布列为： 2 3 4 ； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值对比分析. （2）（ⅰ）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望；（ⅱ）利用条件概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题可得选物理类学生为，可得列联表： 性别 选科组合 合计 物理类 历史类 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 零假设：：选科组合是否与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率值0.005的独立性检验，推断不成立，即认为选科组合与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； 【小问2详解】 （ⅰ）物理类男生应抽取人数为：人，物理类女生应抽取人数为：人， 所以随机变量的可能性为：. 所以, 所以的分布列为： 2 3 4 . （ⅱ）令事件为“这4人中有女生”，令事件为“男生、女生人数不相等”， 则有, 所以, 所以在有女生的条件下，男生、女生人数不相等的概率为. 18. 双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P. （1）求双曲线C的方程； （2）证明：点P在定直线h上； （3）连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据实轴长求出，根据所过的点求出，故可求双曲线的方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程后化简后可求，故可证点在定直线上； （3）结合（2）中的结果及韦达定理可证，再由斜率公式可得，故可证以为直径的圆与直线相切于F点. 【小问1详解】 由题意得，所以，， 又因为双曲线过点，代入解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 ，所以，，， 设：， 联立得， 因为直线与右支交于两点，故. 设，，所以，， 故， 且， 所以， 因为，所以， 代入得， 故，所以点在定直线上. 【小问3详解】 由（2）知，故， 而，所以， ， 所以的中点， 又 ， 所以，即， 所以点在以为直径的圆上， 另一方面，故直线的方向向量为, 而的方程为，故其方向向量为, 因，所以两个方向向量垂直，故， 所以以为直径的圆与直线相切于F点. 19. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 【答案】（1）是的控制函数 （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可； 【小问1详解】 当时，令， 所以，令解得或， 所以在单调递减， 又因为，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以由题意是的控制函数. 【小问2详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线为，整理得， 令，则， 令解得，所以在单调递增，在单调递减， 又，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以是的控制函数， 由题意. 【小问3详解】 由题意 设在处的切线为， 则，因为 且， 所以， 所以， ， 所以， 则即恒成立， 所以函数必是函数的“控制函数”. 是函数的“控制函数” 此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点， 由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有， 所以或. 所以曲线在处的切线过点，且， 当且仅当或时，. 【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $