专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用（10类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用 【知识梳理】 1 【考点1：正、余弦定理判定三角形形状】 3 【考点2：证明三角形中的恒等式或不等式】 4 【考点3：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 6 【考点4：几何图形中的计算】 7 【考点5：求三角形面积的最值或范围】 9 【考点6： 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 11 【考点7： 距离测量问题】 13 【考点8：高度测量问题】 15 【考点9：角度测量问题】 16 【考点10：正、余弦定理的其他应用】 18 【知识梳理】 1、应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的步骤及流程： ①．读题：分析题意，准确理解题意，分析已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、和方位角等； ②．图解：根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出； ③．建模：将所求解的问题归结到一个或几个三角形，运用正弦定理、余弦定理等有关的知识求解； ④．验证：检验解出的结果是否具有实际意义，并对结果进行取舍，得出正确答案． 2、数学思想 ①．函数与方程思想 在解三角形与三角变换、平面向量综合问题中，常常会涉及到求边的长及相关几何量的最值，这时常常会用到方程思想与函数的思想来解决；在实际应用中，由于涉及到几何量较为分散、直接联系不明显，常常要通过建立方程来处理． ②．转化的思想[来源:学+科+网] 在解三角形与平面向量综合问题中，解答时常常是先利用向量知识将所涉及到向量关系转化为三角函数知识，再利用相关知识求解；在解三角形与三角函数综合的问题中，常常会利用它们的联系点（角）作桥梁，进行相互转化进行处理．学-科网 ③．数形结合思想 对于某些解三角形的问题，常常要根据条件画出示意图，并在图中标注出相关的边和角，然后尽量集中些量到一个或几个三角形中，根据图形结构正确选用正弦定理与余弦定理． 3、注意事项 ①．注意不要忽视解的多种情况，如已知三角形的两边和一边所对的角利用正弦定理求另一角，或利用余弦定理求第三边时，可能有多种情况，须注意进行取舍， ②．求解与三角形内角有关的综合问题时，注意不要忽视角的取值范围，否则造成多解或扩大结果的取值范围． ③．解决实际问题应注意的问题： （i）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步； （ii）在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决 （iii）利用正弦定理与余弦定理解决实际问题，要注意考查解得的结果与实际是否相吻合 [方法技巧] 处理距离问题的策略 (1)选定或确定要研究的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 求解高度问题应注意的问题 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　 解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　 【考点1：正、余弦定理判定三角形形状】 1．（24-25高一下·四川广安·月考）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26高一下·上海宝山·月考）下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（多选）（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为________． 5．（2026·贵州安顺·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 【考点2：证明三角形中的恒等式或不等式】 1．（2025·北京·高考真题）在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 2．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 3．（2026·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 4．（25-26高一上·上海·课后作业）已知在中，、、的长分别为a、b、c，试用向量方法证明： (1)（射影定理）； (2)（余弦定理）. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【考点3：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（25-26高三下·上海·月考）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的最大值为__________． 2．（25-26高三下·重庆·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 5．（25-26高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【考点4：几何图形中的计算】 1．（2026高三·全国·专题练习）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 4．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 5．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【考点5：求三角形面积的最值或范围】 1．（2026高一·全国·专题练习）已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 2．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 4．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 5．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 【考点6： 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，的取值范围为______． 3．（2026高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 4．（25-26高一下·河北承德·月考）在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围． 5．（25-26高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【考点7： 距离测量问题】 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 5．（2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【考点8：高度测量问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 2．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 3．（2026·陕西·二模）延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为，当其中一片风叶与塔杆叠合时，一位身高1.8米的技术人员站在另一片风叶端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为（如左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60米处，则测得塔杆顶部仰角为（如图所示）．那么风叶转动时叶片顶端最高离地面（    ） A．81.8米 B．89.8米 C．95.8米 D．101.8米 4．（25-26高三上·安徽六安·期末）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 5．（2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 【考点9：角度测量问题】 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．（25-26高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 5．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【考点10：正、余弦定理的其他应用】 1．（25-26高二上·重庆·月考）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大，_________小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    2．（24-25高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 3．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 5．（25-26高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用 【知识梳理】 1 【考点1：正、余弦定理判定三角形形状】 3 【考点2：证明三角形中的恒等式或不等式】 6 【考点3：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 9 【考点4：几何图形中的计算】 14 【考点5：求三角形面积的最值或范围】 18 【考点6： 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 22 【考点7： 距离测量问题】 28 【考点8：高度测量问题】 33 【考点9：角度测量问题】 36 【考点10：正、余弦定理的其他应用】 41 【知识梳理】 1、应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的步骤及流程： ①．读题：分析题意，准确理解题意，分析已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、和方位角等； ②．图解：根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出； ③．建模：将所求解的问题归结到一个或几个三角形，运用正弦定理、余弦定理等有关的知识求解； ④．验证：检验解出的结果是否具有实际意义，并对结果进行取舍，得出正确答案． 2、数学思想 ①．函数与方程思想 在解三角形与三角变换、平面向量综合问题中，常常会涉及到求边的长及相关几何量的最值，这时常常会用到方程思想与函数的思想来解决；在实际应用中，由于涉及到几何量较为分散、直接联系不明显，常常要通过建立方程来处理． ②．转化的思想[来源:学+科+网] 在解三角形与平面向量综合问题中，解答时常常是先利用向量知识将所涉及到向量关系转化为三角函数知识，再利用相关知识求解；在解三角形与三角函数综合的问题中，常常会利用它们的联系点（角）作桥梁，进行相互转化进行处理．学-科网 ③．数形结合思想 对于某些解三角形的问题，常常要根据条件画出示意图，并在图中标注出相关的边和角，然后尽量集中些量到一个或几个三角形中，根据图形结构正确选用正弦定理与余弦定理． 3、注意事项 ①．注意不要忽视解的多种情况，如已知三角形的两边和一边所对的角利用正弦定理求另一角，或利用余弦定理求第三边时，可能有多种情况，须注意进行取舍， ②．求解与三角形内角有关的综合问题时，注意不要忽视角的取值范围，否则造成多解或扩大结果的取值范围． ③．解决实际问题应注意的问题： （i）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步； （ii）在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决 （iii）利用正弦定理与余弦定理解决实际问题，要注意考查解得的结果与实际是否相吻合 [方法技巧] 处理距离问题的策略 (1)选定或确定要研究的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 求解高度问题应注意的问题 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　 解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　 【考点1：正、余弦定理判定三角形形状】 1．（24-25高一下·四川广安·月考）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 2．（25-26高一下·上海宝山·月考）下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式变形后判断①，由正弦定理化边为角后变形求解判断②③，结合诱导公式判断④. 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A. 3．（多选）（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 5．（2026·贵州安顺·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1) (2)等边三角形， 【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得，即可求解， （2）根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解的大小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 整理得， 因为，故， 又，故． （2）已知，则，故， ，即， 则，， 因为．则．故， 所以，是等边三角形． 因此. 【考点2：证明三角形中的恒等式或不等式】 1．（2025·北京·高考真题）在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理，，将这两个等式相减，计算所求等式的左边，结合正弦定理得到左边等于右边，从而得到证明. 【详解】由余弦定理得 ，， 得， 即， 变形得， 由正弦定理，得，， 即. 则等式成立. 2．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 3．（2026·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件得出，对角的范围进行分类讨论，再利用正弦函数的单调性即可得出结果； （2）根据余弦函数在上单调递减，得，利用余弦定理转化为边的关系即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理知，，若，则，即． （ⅰ）若A，，则由在单调递增，得． （ⅱ）若，，则，此时， 由在单调递增，得，显然不成立，舍去． （ⅲ）若，，必有成立. 综上，在中，若，则. （2）由在上单调递减，若，则， 由余弦定理得，，则， 所以， 即， 即， 而，，所以． 所以在中，若，则. 4．（25-26高一上·上海·课后作业）已知在中，、、的长分别为a、b、c，试用向量方法证明： (1)（射影定理）； (2)（余弦定理）. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量余弦夹角公式得到证明； （2）两边平方得，从而得到. 【详解】（1）如图， ∵，， ∴ ， ∴. （2）在中，∵， ∴ . ∵、、的长分别为a、b、c， ∴，，， ∴. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 【考点3：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（25-26高三下·上海·月考）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由和余弦定理，可得，化简得， 故是直角三角形，且， 则，， 由正弦定理，可得， 又因，所以， 所以， 由可得 ， 故当，即时，取最大值 1， 此时取得最大值为. 2．（25-26高三下·重庆·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而得到，，再利用正弦定理得，再利用三角形恒等变形化简结合二次函数求最值即可． 【详解】，且， ， ，， 由正弦定理得， ， 则当时，边c取得最小值． 3．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 4．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 5．（25-26高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 【考点4：几何图形中的计算】 1．（2026高三·全国·专题练习）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 【答案】 【分析】设，然后结合余弦定理和正弦定理计算即可. 【详解】如图，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 而，由同角三角函数的基本关系得， 代入可得，解得， 从而由正弦定理得，故该圆的直径长为． 故答案为：. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 【答案】 【分析】先由四边形的四个角的度数比及内角和可得四个角的值，再通过连构造两个三角形，在中由余弦定理可得，进而在中用正弦定理可得所求边的值. 【详解】设四个角A，B，C，D的度数分别为，，，， 则由四边形的内角和定理有，解得， 所以，，，． 连接，在中，如图： 由余弦定理得， 所以，此时， 所以为直角三角形，，， 所以在中，，， 所以由正弦定理得， 所以的长度为． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质结合已知条件得出相关边、角关系，利用折叠的性质结合已知条件得出三角形全等，最后利用余弦定理构造方程求解． 【详解】已知在平行四边形中，，，， ，，， 三角形沿翻折得到三角形，交于， ，， ，，， ， ，设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，即． 4．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 5．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 【考点5：求三角形面积的最值或范围】 1．（2026高一·全国·专题练习）已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，进而得到的表达式，然后根据基本不等式的性质求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据余弦定理得. 所以. 所以面积. 根据基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当时等号成立，此时取最大值为25， 所以面积的最大值为. 故选：C. 2．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 4．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 5．（2026·北京·模拟预测）在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由得角A，进而化简，再由的范围即可求解； （2）由余弦定理求出的最大值即可由求解. 【详解】（1）由题可得 ， 所以，因为，所以， 所以 ， 因为，则，所以， 所以的值域为； （2）由（1）得，又，所以， 即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 所以，即的面积最大值为. 【考点6： 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，的取值范围为______． 【答案】 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 3．（2026高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． （2）设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． 4．（25-26高一下·河北承德·月考）在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦定理及三角恒等变换化简得，再由辅助角公式及三角形内角性质求角； （2）由题设及向量数量积的运算律，应用余弦定理可得，再应用正弦定理及三角恒等变换有且，即可求范围. 【详解】（1）由题设知， 由正弦定理得①， 又，则， 将上式代入①式得， 即， 即， 又，，故，即，即，， 又，得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以．所以，所以， 所以中线的取值范围是. 5．（25-26高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 【考点7： 距离测量问题】 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】如图，由题意可知千米，，， 则由正弦定理知千米. 2．（25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 【答案】 【分析】分析出与均为等腰三角形，结合余弦定理求解长即可. 【详解】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以， 又因为，所以，为等腰三角形，则， 又,所以，所以. 设，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，解得， 在中，由余弦定理可得, 代入、，有，代入 化简可得. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 【答案】 ， 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可； （2）利用正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）在中，，且，， 由余弦定理得， ． 所以，即大学与站的距离为． （2）因为，且为锐角， 所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 由题意知，所以， 所以，因为， 所以，， 所以， 又， 所以， 在中，， 由正弦定理得，， 即，所以， 即铁路段的长为． 5．（2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【答案】(1)千米； (2)千米 【分析】（1）在直角三角形中先算出边BC，再在扇形用利用勾股定理求出所在圆的半径，然后用弧长公式计算； （2）先算出点D到AB的距离DH，比较DH与DC的大小，其中较小的即公路桥DE的最短长度. 【详解】（1）在中，， ． 由所在圆的半径为，得的长度为千米． （2）在中，． 在中，由正弦定理，得， 于是，可得，． 过作的垂线，垂足为，在Rt△中，． 因为，且到上任意一点的距离均大于等于， 所以到海岸线的最短距离为千米． 【考点8：高度测量问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 2．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 3．（2026·陕西·二模）延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为，当其中一片风叶与塔杆叠合时，一位身高1.8米的技术人员站在另一片风叶端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为（如左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60米处，则测得塔杆顶部仰角为（如图所示）．那么风叶转动时叶片顶端最高离地面（    ） A．81.8米 B．89.8米 C．95.8米 D．101.8米 【答案】D 【分析】设扇叶长度为，在左图根据角度关系表示出，结合右图可分析出，求得的取值，得出到底面距离，风叶转动时最高点到底面距离为到底面距离加上一个扇叶长. 【详解】由左图，中，，则， 又扇叶之间的夹角为，则，则， 又，设叶片的长度为，则，， 根据右图，在中，由于，则， 左右图中人的高度不变，则，即，得， 则到底面的距离为， 当扇叶转动到最高点，最高点到底面的距离为. 4．（25-26高三上·安徽六安·期末）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 【答案】C 【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长 CB 和 CD，根据两者之差 BD=7米列出方程，解出 表高。 【详解】设表高，在中，，， 在中，，， 已知冬至线和夏至线之间的距离米，所以，解得， 因此，表高约为米， 故选：C. 5．（2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中用表示出，然后在中利用正弦定理求出，再在中用表示出，即可得解. 【详解】由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，． 【考点9：角度测量问题】 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 3．（25-26高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 4．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 【答案】/ 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 5．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 【考点10：正、余弦定理的其他应用】 1．（25-26高二上·重庆·月考）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大，_________小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    【答案】8 【分析】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，利用两家和差公式求得，在结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，    则，且， 因为，则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或， 故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭． 故答案为：8. 2．（24-25高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 3．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 【答案】(1) (2)米秒 【分析】（1）由正弦定理列式可得，当时，有最大值，计算即可求解； （2）由余弦定理求得米，根据计算可解. 【详解】（1）由题意可得， 在中，由正弦定理可得， 即，化简可得， 因为， 所以当，即时，取最大值为； （2）若 米秒， 秒，则米， 由余弦定理可得，， 解得米， 因为，所以米秒. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 5．（25-26高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $