专题8.8 立体几何中的截面与交线问题（6类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.8 立体几何中的截面与交线问题 【知识梳理】 1 【考点1：截面作图】 2 【考点2：判断截面图形的形状】 4 【考点3：球的截面问题】 6 【考点4：截面图形的周长或面积问题】 8 【考点5：截面切割几何体的体积、表面积问题】 10 【考点6：交线及其长度、轨迹问题】 13 【知识梳理】 1．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 2．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 3．立体几何截面问题的求解方法 几何法：从几何视角入手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 4．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【考点1：截面作图】 1．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成60°的角． 2．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？ 3．（25-26高一下·全国·课后作业）正方体的截面可能是什么形状的图形？ 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 5．（2026高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 【考点2：判断截面图形的形状】 1．（2026高三·全国·专题练习）能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？截面能否为正五边形呢？请加以说明． 2．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，将图中的正方体截去一角，得到一个三角形截面，求证：是锐角三角形．    3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．    4．（25-26高三下·云南昭通·月考）如图①，在棱长为的正方体，设是的中点. (1)过点、且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图②中画出这个三角形（说明画法和理由）； (2)求四棱锥的体积. 5．（25-26高一·全国·课后作业）用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类： (1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？ (2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ (3)能否截出正五边形？为什么？ (4)是否存在正六边形的截面？为什么？ (5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？ 【考点3：球的截面问题】 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 2．（25-26高二上·上海·月考）设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，求：这两点所对的纬线劣弧长． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）A，B，C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的线段），，，平面与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 5．（25-26高二上·江西宜春·月考）三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切. (1)求球心O到三角形各边的距离； (2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离； (3)求球心O到三角形各顶点的距离. 【考点4：截面图形的周长或面积问题】 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 2．（2026高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积. 4．（25-26高一·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值． 5．（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由). 【考点5：截面切割几何体的体积、表面积问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）圆台的两底面面积分别为，，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个圆台上底面面积为，下底面面积为，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面圆的面积. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 4．（25-26高一下·福建莆田·月考）如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 5．（25-26高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 【考点6：交线及其长度、轨迹问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 2．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 3．（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 4．（25-26高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)求证：面； (2)求证：面； (3)当平面时，面与交于，求的值． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) (3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，过A，，E三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.    (1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； (2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (3)若点P是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.8 立体几何中的截面与交线问题 【知识梳理】 1 【考点1：截面作图】 2 【考点2：判断截面图形的形状】 6 【考点3：球的截面问题】 13 【考点4：截面图形的周长或面积问题】 17 【考点5：截面切割几何体的体积、表面积问题】 22 【考点6：交线及其长度、轨迹问题】 27 【知识梳理】 1．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 2．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 3．立体几何截面问题的求解方法 几何法：从几何视角入手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 4．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【考点1：截面作图】 1．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成60°的角． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析题意，作出图像设截面为等腰三角形，利用几何原理进行下一步解答，过M作BD的平行线分别交BC，CD于E，F，则截面即是符合要求的截面． 【详解】如图，设截面为等腰三角形，，，，则，∴．设，连， 则，，∴，则． 由此可知，在AC上取，过M作BD的平行线分别交BC，CD于E，F， 则截面即是符合要求的截面． 2．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？ 【答案】答案见解析 【分析】首先作出图形，分析题意得出，此时截面为菱形，但它不会是正方形．进行下一步解答得出， 当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形，再进一步分析得出结论. 【详解】如图，设截面和或其延长线交于G．    当时，∵，，∴，此时截面为菱形，但它不会是正方形． 事实上，作，与交于M（或其延长线），连接AG，EF，BD，AC， 由知，，而，， 由此可见菱形AEGF的对角线不相等，∴此菱形不可能是正方形． 当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形（见前例）（如图）．    当时，截面是正． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）正方体的截面可能是什么形状的图形？ 【答案】答案见解析 【分析】根据正方体的结构特征分情况解答即可. 【详解】①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为）的六边形．特别地，可以是正六边形． 截面图形举例 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的基本性质，由两平面的两个公共点确定两平面的交线，逐次确定截面所在平面与正方体棱的交点，即可得到截面. 【详解】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用投影面积法可得，可设正方体的棱长为2，计算即可求解； （2）利用正方体截面的性质即可得结果. 【详解】（1）由投影面积法可得， 因为是所在棱上的中点，设正方体的棱长为， 则， ，，， 所以在中，边上的高为， 所以， 所以. （2）如图，设所在直线与所在直线交于点，与所在直线交于点， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形是平面截正方体所得的截面. 【考点2：判断截面图形的形状】 1．（2026高三·全国·专题练习）能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？截面能否为正五边形呢？请加以说明． 【答案】可以为五边形，但不可能为正五边形，说明见解析 【分析】由正方体的截面的性质，面面平行的性质定理即可求解. 【详解】如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体，使得截面为一个凸五边形．    用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形． 事实上，若截面可以为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面． 我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉， 则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为相对的平面，它们是平行的， 利用面面平行的性质定理，可知此五边形中有两条边是平行的． 但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾． 2．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，将图中的正方体截去一角，得到一个三角形截面，求证：是锐角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】设出所有边长，借助余弦定理计算角度可得中每个角都为锐角. 【详解】设、、、、、， 由正方体性质可得两两垂直， 故， 故 ∴为锐角． 同理可证，和同样也是锐角， 因此，为锐角三角形． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．    【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用平面基本事实确定截面与正方体对应棱的公共点作出截面即可. 【详解】在正方体中，画直线与的延长线分别交于点，如图，    画直线交棱于，与的延长线交于点，连接交分别于点， 连接，因此六边形是过点三点的正方体的截面，如图，    4．（25-26高三下·云南昭通·月考）如图①，在棱长为的正方体，设是的中点. (1)过点、且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图②中画出这个三角形（说明画法和理由）； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)作图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接、、，则平面即为所求作的平面，然后利用面面平行的判定定理证明出平面平面； （2）利用锥体体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）解：取线段的中点，连接、、，则平面即为所求作的平面， 连接，下面证明平面平面： 因为且，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 因为且，故且，故四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，故平面， 同理可证平面，所以，平面平面，即平面平面. （2）解：因为且，则四边形为平行四边形，则， ，故. 5．（25-26高一·全国·课后作业）用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类： (1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？ (2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ (3)能否截出正五边形？为什么？ (4)是否存在正六边形的截面？为什么？ (5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？ 【答案】(1)三类，见解析 (2)五类，见解析 (3)不能，见解析 (4)存在，见解析 (5)不能，见解析. 【分析】（1）根据题意作出截面，并分类即可； （2）根据题意，作出截面，并分类即可； （3）假设可以截出，反证法说明即可； （4）各六条棱个中点的截面即为正六边形. （5）结合正方体最多只有6个平面说明即可. 【详解】（1）解：如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况. （2）解：若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形；菱形：过正方体的一条体对角线，和一对棱的中点的截面所截得图形；长方体：过正方体的两条相对的棱或一条棱得的截面所截得图形；正方形：平行于正方体的一个平面的截面所截得图形.具体见图： （3）解：不能截出正五边形，假设可以截出正五边形，则根据面面平行的性质得，，而正五边形不存在对边平行的性质，矛盾，故截面是正五边形不存在. （4）解：存在正六边形的截面，如图，该截面为过各条棱的中点形成的六边形. （5）解：不能，因为正方体只有六个面，当界面与六个面都相交时，最多截出六边形，故不能截出超过边数超过6的多边形. 【考点3：球的截面问题】 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 【答案】2或6 【分析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离，由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离 【详解】解：记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为；记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为， 则，即，， 所以，， 由于两平行平面可能在球心同侧也可能在球心异侧， 因此两平行平面间的距离或． 2．（25-26高二上·上海·月考）设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，求：这两点所对的纬线劣弧长． 【答案】 【分析】先求出北纬圈的半径，再根据弧长公式结合两点的经度差求出两点在纬线圈上的劣弧长． 【详解】    如图所示，北纬圈半径， 两点的经度相差， 圆心角弧度， 由弧长公式得：． 两点在纬线圈上的劣弧长为． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）A，B，C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的线段），，，平面与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径． 【答案】 【分析】由三角形三边长度，结合勾股定理可得是直角三角形，为斜边，所以外接圆圆心落在的中点，且有过A，B，C三点的平面截球O得圆的半径为，在中，使用勾股定理即可求得球的半径. 【详解】设球心为，的外接圆的圆心为，如图所示， 因为， 所以是直角三角形，为斜边， 所以的外接圆圆心是的中点， 过A，B，C三点的平面截球O得圆的半径为， 在中，， 所以，所以， 所以，即球的半径为． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 【答案】． 【分析】记正三角形所在小圆的圆心为，根据球的半径为2，球心到平面的距离为1，求得OE的长度，再由过点的截面与垂直时，截面面积最小求解. 【详解】记正三角形所在小圆的圆心为， 因为球的半径为2，球心到平面的距离为1， 则，，． 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面面积最小， 此时截面小圆半径，面积． 即截面面积的最小值为． 5．（25-26高二上·江西宜春·月考）三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切. (1)求球心O到三角形各边的距离； (2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离； (3)求球心O到三角形各顶点的距离. 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】（1）由三角形各边都与球O相切即可求解； （2）先求出过三角形的平面截球形成的小圆的半径，再由勾股定理求得球心O到三角形ABC所在平面的距离； （3）先求出圆心到三个顶点的距离，再计算球心O到三角形各顶点的距离即可. 【详解】（1）由各边都与半径为2的球O相切可得球心O到三角形各边的距离为球的半径2； （2） 过三角形的平面截此球所得截面为小圆，在中，设为的周长，为内切圆的半径， 则，得，则球心到圆心的距离为；即球心O到三角形ABC所在平面的距离为； （3） 连接，由（2）得内切圆的半径为1，则，， ，则球心O到顶点的距离，球心O到顶点的距离， 球心O到顶点的距离. 【考点4：截面图形的周长或面积问题】 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状. 【详解】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 2．（2026高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【答案】作图见解析，. 【分析】设E是SC的中点，根据线面平行性质定理确定截面，然后在中利用余弦定理求，然后由三角形面积公式可得. 【详解】如图，设E是SC的中点，连DE，BD，    因为为平行四边形，所以是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，的面积即为所求. 易知， 所以， 由，知， 又为正三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积. 【答案】 【分析】根据正四棱锥的性质求解截面的面积即可. 【详解】根据正棱锥的性质，知底面是正方形，故. 在等腰中，，又∵， ∴， ∴，即. 4．（25-26高一·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值． 【答案】. 【分析】沿侧棱把三棱锥展开在一个平面内，利用两点之间线段最短即可求解. 【详解】将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段的长为所求周长的最小值． ∵，∴． 又，∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将空间图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短. 5．（25-26高一·江苏·课后作业）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由). 【答案】图象见解析，. 【分析】设为的中点，连结，、、，则四边形为所求的图形．推导出四边形为梯形，过作于点，由此能求出梯形的面积． 【详解】解：如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM， 则四边形MNAC为所求的平面图形. 因为M，N，E，F均为中点， 所以MN∥EF， 又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF， 所以MN∥平面DEF， 又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以AN∥平面DEF， 又MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面MNAC， 所以平面MNAC∥平面DEF. 易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形，且， 过作于点， 可得，， 得 梯形的面积. 【考点5：截面切割几何体的体积、表面积问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）圆台的两底面面积分别为，，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比． 【答案】． 【分析】根据圆台中平行底面的截面的性质可得. 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示，延长梯形两腰交于点V，，，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心， 令，，，设圆台上底面、截面和下底面的半径分别为， 所以，得. 所以，得. 所以，即圆台的高被截面分成的两部分的比为． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个圆台上底面面积为，下底面面积为，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面圆的面积. 【答案】 【分析】把圆台还原成圆锥，设截面圆的半径为,利用三角形相似，对应边成比例，可求得结果. 【详解】如图，把圆台还原成圆锥，    设截面圆的半径为.因为圆台上底面面积为，下底面面积为，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以. 设，则，因为，所以. 在中，，所以，因此截面圆的面积是. 【点睛】本题考查了圆台的结构特征，考查了圆锥的性质，属于基础题. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 【答案】(1)作图见解析 (2)小几何体与大几何体的比值为 【分析】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面， 平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. 4．（25-26高一下·福建莆田·月考）如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质即可推出截面为平行四边形. （2）首先确定截面面积取最大值时的点的位置，然后根据边角关系和基本不等式的性质可求得截面面积的最大值. 【详解】（1）由题意知，平面，平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 所以截面为平行四边形. （2）因为成角为60°，所以或，设， 因为，， 所以，由，得. 所以平行四边形的面积为. 当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大为. 5．（25-26高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）设中点为，可证，利用余弦定理可求. （3）利用柱体及锥体体积公式可求. 【详解】（1）连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，    在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； （2）设中点为，连接，， ∵是棱的中点，∴且， 即四边形为平行四边形，∴， 在正三棱柱中，， ，，， , 故与所成角的余弦值. （3）在正三棱柱中，底面为等边三角形， ，， ， ， 所以剩余部分的体积. 【考点6：交线及其长度、轨迹问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 【答案】作图见解析 【分析】连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，设，连接即得. 【详解】设，，三点确定的平面为，则与平面交于． 连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，则为平面与平面的交线． 设，则是与平面的交线，如下图所示． 2．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，7∶17 【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得； （2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比. 【详解】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 3．（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 4．（25-26高一下·安徽·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)求证：面； (2)求证：面； (3)当平面时，面与交于，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知结合余弦定理可得出，即，进而得出.然后根据线面平行的判定定理，即可得出证明； （2）根据已知结合线面平行的判定定理，得出面.根据线面平行的性质定理结合已知得出.进而即可根据线面平行的判定定理，得出证明； （3）设，根据已知条件结合线面平行的性质定理得出.进而根据梯形的性质求出.根据线面平行的性质定理得出，，.然后可求出，进而得出，根据等体积法即可得出答案. 【详解】（1）由为正三角形且可知. 又因为，且，在中，由余弦定理得 ， 所以，所以，所以，即. 所以，又因为平面，平面， 所以面. （2）因为，平面，平面，所以面. 又面，面面，所以. 又面，面，所以面. （3） 设，如图，连接交于点，连接. 因为平面，平面，平面平面，所以. 在梯形中，，，， 所以有，所以. 因为，所以有，所以． 因为面与交于，面与交于，， 所以有平面平面. 又面，面，所以. 又，所以，， 所以，. 设梯形高为，则. 由，可知，所以. 又四棱锥与三棱锥高相等， 所以． 所以有． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) (3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，过A，，E三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.    (1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； (2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (3)若点P是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）设中点为，再证明即可知这个多边形为； （2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得； （3）取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小. 【详解】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且， 故四边形为平行四边形，则. 又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.    （2）在正方形中，直线与直线相交， 设，连接，设，连接， 由为的中点，得为的中点，， 所以平面即为平面， 因为为的中点，所以为的中点， 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 因为正方体的棱长为， 所以 ， 另一部分几何体的体积， 两部分的体积．    （3）取的中点，的中点，连接、、、，    显然，，所以，平面，平面， 所以平面， 又为的中点，所以且，又且， 所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点是侧面内的动点，且， 所以在线段上，又， 即为等腰三角形，所以当为的中点时最小， 又 此时 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $