专题8.7 空间中的角度与距离问题（9类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.7 空间中的角度与距离问题 【知识梳理】 1 【考点1：异面直线所成的角】 3 【考点2：求点面距离】 4 【考点3：求直线与平面的距离】 5 【考点4：求面面距离】 8 【考点5：求线面角】 10 【考点6：由线面角的大小求值】 11 【考点7：求二面角】 13 【考点8：由二面角大小求线段长度或距离】 14 【考点9：由二面角大小求线线角或线面角】 17 【知识梳理】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 3．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 4．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 5．点到平面的距离的常见求法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. 【考点1：异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 3．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【考点2：求点面距离】 1．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 3．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【考点3：求直线与平面的距离】 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 3．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 4．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 5．（25-26高三上·四川成都·月考）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【考点4：求面面距离】 1．（2026高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 2．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 4．（2026高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 5．（25-26高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【考点5：求线面角】 1．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 3．（25-26高三下·上海虹口·月考）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 5．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点6：由线面角的大小求值】 1．（2026·广东清远·二模）在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 2．（25-26高三下·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    5．（2026·新疆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面. (1)若平面，求证：点是的中点； (2)若直线与平面所成角的大小为，求. 【考点7：求二面角】 1．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 2．（25-26高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 4．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 5．（2026·四川内江·三模）如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是边长为2的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【考点8：由二面角大小求线段长度或距离】 1．（2026·江苏·模拟预测）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 3．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 5．（25-26高三上·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【考点9：由二面角大小求线线角或线面角】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 2．（2026·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为______． 3．（25-26高二上·黑龙江·月考）在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为___________. 4．（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 5．（多选）（25-26高三下·重庆·月考）（多选）正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，点是的中点，将正方形沿折起，如图所示，二面角的大小为，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，三棱锥外接球的体积为 C．若，则 D．当时，与平面所成角的正弦值为 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.7 空间中的角度与距离问题 【知识梳理】 1 【考点1：异面直线所成的角】 3 【考点2：求点面距离】 7 【考点3：求直线与平面的距离】 11 【考点4：求面面距离】 17 【考点5：求线面角】 23 【考点6：由线面角的大小求值】 28 【考点7：求二面角】 33 【考点8：由二面角大小求线段长度或距离】 38 【考点9：由二面角大小求线线角或线面角】 46 【知识梳理】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 3．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 4．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 5．点到平面的距离的常见求法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. 【考点1：异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 3．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 5．（25-26高三下·河南·月考）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过补形，得到正六棱柱，继而得到即为直线与所成的角或其补角．设，从而得到为正三角形，故，从而得到所求. 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 【考点2：求点面距离】 1．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，则， 又,平面，所以平面， 平面，故， 又，故平面， 所以点到平面的距离即为点到直线的距离即， 故当点与重合时，所求距离有最大值， ， 又， 解得，所以点到平面的距离的最大值为. 2．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中， 由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为， 由，可得, 所以， 因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 3．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【考点3：求直线与平面的距离】 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可. 【详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 2．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 3．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 4．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 5．（25-26高三上·四川成都·月考）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设在面上射影为，先证明是的外心，再证明点和点重合，由此证明结论； （2）方法一：根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明点到平面的距离即，结合平面求结论. 方法二：由线面平行性质定理证明，再证明平面，利用等体积法求点到面的距离，结合平面可得结论. 【详解】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点， ∴.点到平面的距离为. ∴平面， ∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.    法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面， ，且， ， ∵， 因为是中点，平面， 所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为， ， ∴，故， ∵平面， ∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 【考点4：求面面距离】 1．（2026高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由题意画出图形，可得平面，平面，求出正方体的体对角线长，再由等体积法求得，则平面与平面间的距离可求． 【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 2．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 4．（2026高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离． 【详解】（1）∵，是的中点，，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面， ∵直角梯形与梯形全等，，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2）设点到平面的距离为， 平面，平面，故, 知， 由于直角梯形与梯形全等，故， 由，得， 即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为． 5．（25-26高二·上海·课堂例题）如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）证明，根据距离的定义可得为所求，解三角形求结论； （2）由点面距离定义可得为所求，由此可得结论； （3）根据直线与平面的距离的定义可得为所求，由此可得结论； （4）根据平面与平面距离定义可得为所求，由此可得结论； 【详解】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 【考点5：求线面角】 1．（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 【答案】 【分析】过上任一点作平面，则即为直线与平面所成角的平面角，根据线面垂直及三角形全等得到，结合三角函数求解即可. 【详解】 在上任取一点并作平面，则即为直线与平面所成角的平面角． 过点作，，. 因为平面，平面，所以，. 又平面，，所以平面， 又平面，所以，同理. 又，，所以，所以. 又，所以，所以. 设，在中，；在中，. 在中，， 则. 即直线与平面所成角的正切值为. 3．（25-26高三下·上海虹口·月考）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】如图作出辅助线，由正三棱台的性质，结合条件，可得各个长度，根据勾股定理，求出AE的长，结合三角函数的定义，即可得答案. 【详解】分别取上、下底面的中心，设为，连接， 过A作平面，垂足为E， 由正三棱台的性质可得，E在上，如图所示， 则四边形为矩形，且， 又，则， 所以， 在中，， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 5．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 【考点6：由线面角的大小求值】 1．（2026·广东清远·二模）在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 2．（25-26高三下·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    5．（2026·新疆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面. (1)若平面，求证：点是的中点； (2)若直线与平面所成角的大小为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，结合中位线性质即可得证； （2）根据线面夹角定义，结合等体积法，即可求得结果. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 在矩形中，点为线段的中点， 点是的中点. （2）平面， 为直线与平面所成的角， ， 又平面，， 故为等腰直角三角形， . 在中，，，， ， 且， . 【考点7：求二面角】 1．（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 2．（25-26高一下·河南信阳·月考）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 4．（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积； （2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 5．（2026·四川内江·三模）如图，和都垂直于平面，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)若是边长为2的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、平行公理及线面平行的判定推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，由是的中点，得， 由和都垂直于平面，得，又， 则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. （2）延长交于点，连接，则平面平面， 由（1）得点是线段的中点，由是边长为2的等边三角形，得， 则，即，由平面平面，得， 而平面，则平面，又平面， 因此，是二面角的平面角， 在中，，则，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值. 【考点8：由二面角大小求线段长度或距离】 1．（2026·江苏·模拟预测）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图象，取AB中点为C，连接OC，即为二面角的平面角，为60°，根据几何关系求出OB和PB即可求圆锥的侧面积. 【详解】如图， 作，则C为中点， ∵PB＝PA，∴， ∴为二面角的平面角， ∴. 在中，，， ∴. 在直角中，，， ∴. 在中，. ∴圆锥的侧面积为. 2．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 3．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由平面得，，进而根据边角关系证明，进而证明平面，平面，再根据线面垂直性质定理得，即可证明平面，最后根据线面平行性质定理即可证明结论； （2）过点作于，再过点作于，连接，确定即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，进而解方程即可得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，所以， 因为， 所以在中，由余弦定理得，即， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）解：如图所示，过点作于，再过点作于，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面 所以平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 由二面角的余弦值为，即， 所以，． 因为，设，则， 由等面积法可得，， 又， 而为等腰直角三角形，所以， 所以，解得， 所以 5．（25-26高三上·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点，连接，可得是二面角的大小的平面角，从而求得线段的长. 【详解】（1）    取中点，连结，三角形中，为中点， 所以，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. （2）取中点，连接，， ，，所以四边形为矩形， 所以，， 所以，又因为，则， 所以，即. 因为平面平面， 所以， 所以是二面角的大小的平面角，则. 所以. 【考点9：由二面角大小求线线角或线面角】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 【答案】/0.75 【分析】设的中点为，连接，根据题意易得即为二面角的平面角，故，设分别为的中点，连接，可得（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 在正方形中，， 因此折叠后，即为二面角的平面角，故， 设分别为的中点，连接， 则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形的边长为2，则， 又，，则，则， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 2．（2026·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】取中点为，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角的定义可知：或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，，取中点，连接，， ∵四边形，为矩形，∴，， 平面平面，平面，平面， ∴即为二面角的平面角，∴， 又，，∴，∴为等边三角形，∴； ∵，分别为，中点，∴，， ∴（或其补角）即为异面直线与所成角， ∵，∴， ∴， 所以异面直线与所成角的正弦值为． 故答案为：． 3．（25-26高二上·黑龙江·月考）在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为___________. 【答案】 【分析】作图后由线面角，二面角的定义，三棱锥的体积公式求解 【详解】由平面，，则即为二面角的平面角， 而，平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角， ，，则，， ，得， 故，， 故答案为：    4．（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，作图，通过异面直线所成角的性质，找到异面直线与所成角为，然后，利用余弦定理和中位线性质，分别求出和，进而得到所求角的正切值. 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又，，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 5．（多选）（25-26高三下·重庆·月考）（多选）正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，点是的中点，将正方形沿折起，如图所示，二面角的大小为，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，三棱锥外接球的体积为 C．若，则 D．当时，与平面所成角的正弦值为 【答案】BD 【分析】依题意可得为二面角的平面角，则与所成角等于，利用锐角三角函数计算即可判断A，记的中点为，则的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上，理由勾股定理求出外接球的半径，即可判断B，过作，垂足为，即可证明平面，从而得到与平面所成角为，求出，即可判断D，结合D求出当时的值，即可判断C. 【详解】依题意在正方形中，点是的中点，点是的中点， 所以， 所以，，，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 即，当时，与所成角等于与所成角， 此时，故A错误； 记的中点为，为等腰直角三角形， 则的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上， 又，设球心为，外接球的半径为，设， 则有，解得， 故的外接球的体积，故B正确；    过作，垂足为，因为平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，    则，，，， 当时，与平面所成角为， 此时，，，， 所以，故D正确； 当不为钝角时， 所以，又，则， 当为钝角时，，，，， 由， 所以，又，则无解，故C错误；    故选：BD． 【点睛】方法点睛：（1）求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $