第二章 相交线与平行线 解答题专项突破 （六大板块）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年 北师大版七年级下册（六大板块） 板块一：与相交线有关的角度计算 1.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数． 2.如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小． 3.直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O． （1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数； （2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE； ②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由． 4.如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD． （1）求∠BOF的度数? （2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由． 5.直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数； ②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE． （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 板块二：相交线与平行线之阅读理解填理由题 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 2.如图AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：AB∥CE． 请完成下列推理过程： 证明：∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝　 　（ 　 　）． ∵∠ACB＝∠FCD （ 　　 ）， ∴∠ECD＝∠ACB （ 　 　） ∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠　 　（ 　 　）． ∴AB∥CE（ 　 　）． 3.按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整． 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（ 　 ） ∴∠ABF＝　 　（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF　 　（ 　 ）． ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB　　 （ 　 　）． ∴∠EBF＝　 　， ∴BE∥CF（ 　 　）． 4.请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并说明理由． 解：∠ACB＝∠DEB，理由如下： ∵∠1+∠2＝180°，∠BDC+∠2＝180° 　 　， ∴　 　＝∠BDC 　 　， ∴　 　∥EF 　 　， ∴∠DEF＝　 　． ∵∠DEF＝∠A， ∴　 　＝∠A 　 　， ∴DE∥AC 　 　， ∴∠ACB＝∠DEB 　 　． 5.如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下： 证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（ 　 　）， ∴∠2＝∠4 （ 　 　）， ∴　 　∥BF （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠3 （ 　 　）， 又∵∠B＝∠C （ 　 　）， ∴∠3＝∠B （ 　 　）， ∴AB∥　 　（ 　 　）． 板块三：平行线的判定 1.如图，直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明a∥c． 2.如图，是的平分线，，请你说出的理由． 3.如图，已知EC，FD与直线AB交于C，D两点，∠1＝∠2．求证：CEDF． 4.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝140°，找出图中的平行线，并说明理由． 板块四：平行线的性质 1.如图，，∠CAD=∠D．求证：AD平分∠BAC． 2.如图，已知∠ABE与∠FDG的边AB∥DF，BE∥DG，BE与DF相交于点C．若∠B＝50°，求∠D的度数． 板块五：平行线的判定与性质综合 1.如图，已知在三角形中，，过点作的平行线，证明：平分． 2.已知中，，平分，，求的度数． 3.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠3，试说明． 4.如图，在中，于点，于点，． (1)请说明DE∥BC； (2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数． 5.如图，，． (1)求证：； (2)若，试探索：，，的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，，，求的度数． 板块六：平行线中的拐点问题 1.如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线． （1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO． （2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论． 2.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 3.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 ．（用含n的式子表示） 4．小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究： （1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程； （2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由； （3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】 解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年 北师大版七年级下册（六大板块） 板块一：与相交线有关的角度计算 1.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数． 【答案】解：∵∠EOD＝88°， ∴∠EOC＝180°﹣88°＝92°， ∵OA平分∠EOC，∠EOC＝92°， ∴∠AOC∠EOC92°＝46°， ∴∠BOD＝∠AOC＝46°． 2.如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小． 【答案】解：∵OB⊥OD， ∴∠BOD＝90°， 又∵∠BOC＝40°， ∴∠COD＝90°﹣40°＝50°， ∵OC平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠COD＝100°， ∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD ＝100°﹣90° ＝10°， 即∠AOB＝10°． 3.直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O． （1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数； （2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE； ②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由． 【答案】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°， ∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°， 又∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠DOE＝72°， ∴∠AOC＝72°； （2）①如图所示： ②∠AOG＝∠EOF； 理由：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE， ∵OF⊥CD，OG⊥OE， ∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°， ∴∠EOF＝∠AOG． 4.如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD． （1）求∠BOF的度数? （2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由． 【答案】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°， ∴∠BOD＝28°， ∵OF平分∠BOD， ∴∠BOF； （2）垂直，理由如下： ∵∠AOC＝28°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°， ∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD， ∴∠EOD∠AOD152°＝76°， ∠DOF∠BOD28°＝14°， ∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°， ∴OE⊥OF． 5.直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数； ②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE． （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 【答案】（1）①解：∵OF⊥CD于点O， ∴∠DOF＝90°， ∵∠BOD＝20°， ∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°， ∵∠BOE＝130°， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°； ∴∠EOF的度数为60°； ②证明：∵OF平分∠BOE， ∴∠EOF＝∠FOB∠EOB， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°， ∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE； （2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°， 理由如下： 当点E，F在直线AB的同侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②， ①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°； 当点E和点F在直线AB的异侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②， ①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°． 综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°． 板块二：相交线与平行线之阅读理解填理由题 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 【答案】邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行 2.如图AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：AB∥CE． 请完成下列推理过程： 证明：∵CD平分∠ECF， ∴∠ECD＝　 　（ 　 　）． ∵∠ACB＝∠FCD （ 　　 ）， ∴∠ECD＝∠ACB （ 　 　） ∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠　 　（ 　 　）． ∴AB∥CE（ 　 　）． 【答案】∠DCF，角平分线定义，对顶角相等，等量代换，ECD，等量代换，同位角相等，两直线平行． 3.按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整． 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（ 　 ） ∴∠ABF＝　 　（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF　 　（ 　 ）． ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB　　 （ 　 　）． ∴∠EBF＝　 　， ∴BE∥CF（ 　 　）． 【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行． 4.请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并说明理由． 解：∠ACB＝∠DEB，理由如下： ∵∠1+∠2＝180°，∠BDC+∠2＝180° 　 　， ∴　 　＝∠BDC 　 　， ∴　 　∥EF 　 　， ∴∠DEF＝　 　． ∵∠DEF＝∠A， ∴　 　＝∠A 　 　， ∴DE∥AC 　 　， ∴∠ACB＝∠DEB 　 　． 【答案】平角的定义；∠1；等量代换；AB；同位角相等，两直线平行；∠BDE；∠BDE；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 5.如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下： 证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（ 　 　）， ∴∠2＝∠4 （ 　 　）， ∴　 　∥BF （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠3 （ 　 　）， 又∵∠B＝∠C （ 　 　）， ∴∠3＝∠B （ 　 　）， ∴AB∥　 　（ 　 　）． 【答案】对顶角相等；等量代换；EC；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行． 板块三：平行线的判定 1.如图，直线a，b，c被直线d，e所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明a∥c． 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴a//b， ∵∠3=∠4， ∴b//c， ∴a//c(平行于同一直线的两条直线互相平行) 2.如图，是的平分线，，请你说出的理由． 【答案】证明：是的平分线， ， ， ， ． 3.如图，已知EC，FD与直线AB交于C，D两点，∠1＝∠2．求证：CEDF． 【答案】证明：延长FD到G， ∵∠1＝∠2，∠2＝∠ADG， ∴∠1＝∠ADG， ∴CEDF． 4.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝140°，找出图中的平行线，并说明理由． 【答案】OB∥AC，OA∥BC，理由见解析 【详解】解： OB∥AC，OA∥BC， 理由：∵∠1＝40°，∠2＝40°， ∴∠1＝∠2， ∴OB∥AC， ∵∠2＝40°，∠3＝140°， ∴∠2＋∠3＝180°， ∴OA∥BC． 板块四：平行线的性质 1.如图，，∠CAD=∠D．求证：AD平分∠BAC． 【答案】证明：∵ABCD， ∴∠D=∠BAD， ∵∠CAD=∠D， ∴∠CAD=∠BAD， ∴AD平分∠BAC． 2.如图，已知∠ABE与∠FDG的边AB∥DF，BE∥DG，BE与DF相交于点C．若∠B＝50°，求∠D的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，进而可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 板块五：平行线的判定与性质综合 1.如图，已知在三角形中，，过点作的平行线，证明：平分． 【答案】证明：， ， ， ， ， 平分． 2.已知中，，平分，，求的度数． 【答案】70° 【详解】∵CD平分∠ACB（已知）， ∴∠3=∠DCB（角平分线定义）． 又∵∠2=∠3（已知）， ∴∠2=∠DCB（等量代换）． ∴DEBC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）． 3.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠3，试说明． 【答案】解：∵∠1=∠2（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B=∠EFC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B=∠3（已知）， ∴∠3=∠EFC（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 4.如图，在中，于点，于点，． (1)请说明DE∥BC； (2)若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数． 【答案】(1)说明见解析； (2) （1） 解：∵ CD⊥AB，EF⊥CD ，   ∴∠BDC=∠FGC=90° ，          ∴AB∥EF ，       ∴∠ADE=∠DEF ，              又∵∠ADE=∠EFC ，             ∴∠DEF=∠EFC ，        ∴DE∥BC； （2） ∵∠A+∠ACB+∠B=180°且∠A=60°，∠ACB=72°， ∴∠B=48°， ∵∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠BCD=42°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠BCD=42°． 5.如图，，． (1)求证：； (2)若，试探索：，，的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) （1） 证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC， ∴∠2=∠CFG， ∴， ∴∠D=∠ACM， ∵∠D=∠CMG， ∴∠CMG=∠ACM， ∴； （2） 解：∠NBG∠ANB+∠1=180°； 理由如下：过B作交NG于P， ∴∠ANB=∠NBP， ∵， ∴∠D=∠DHG， ∵∠A+∠DHG=180°， ∴∠A+∠D=180°， ∴， 又∵CM∥DH， ∴， ∴∠PBG+∠1=180°， ∵∠PBG=∠NBG∠NBP=∠NBG∠ANB， ∴∠NBG∠ANB+∠1=180°； （3） 解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°， ∴∠PBG=80°， ∵∠NBG=130°， ∴∠ANB=∠NBP=50°， ∵∠ANB：∠BNG=2：1， ∴∠BNP=25°， ∴∠ANG=75°， ∴∠A=105°． 板块六：平行线中的拐点问题 1.如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线． （1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO． （2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）证明：作OM∥AB，如图1， ∴∠1＝∠BEO， ∵AB∥CD， ∴OM∥CD， ∴∠2＝∠DFO， ∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO， 即：∠O＝∠BEO+∠DFO． （2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下： 作OM∥AB，PN∥CD，如图2， ∵AB∥CD， ∴OM∥PN∥AB∥CD， ∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC， ∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4， ∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P． 2.已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) （1） 证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ． （2） 解：如图，过点作于点， ，， ， ， 解得， 平分，平分， ， ， 由（1）已得：， ． 3.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 ．（用含n的式子表示） 【答案】解：（1）过点M作MP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MP， ∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD， ∵∠M＝∠1+∠2＝90°， ∴∠MEB+∠MFD＝90°， ∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°， ∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°． 故答案为：270°； （2）过点N作NQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥NQ， ∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD， ∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF， ∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N， ∵∠NEB∠MEB，∠DFNMFD， ∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN（∠MEB+∠MFD）， 由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF， ∴∠ENF∠EMFn°． 故答案为：n°． 4．小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究： （1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程； （2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由； （3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B， 理由是：∵AB∥CD，OM∥CD， ∴AB∥CD∥OM， ∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM， ∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D； （2）∠B＝∠BOD+∠D， 理由是：如图：过O作OM∥CD， ∵AB∥CD，OM∥CD， ∴AB∥CD∥OM， ∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM， ∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB； （3）∠D＝∠DOB+∠B， 理由是：如图：过O作OM∥CD， ∵AB∥CD，OM∥CD， ∴AB∥CD∥OM， ∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM， ∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB． 学科网（北京）股份有限公司 $