专题08 期中必刷解答题（十大题型）-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册期中期末专项练

专题08 期中必刷解答题（十大题型） 题型1：列不等式；解一元一次不等式（组） 1．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3) 与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为 ，“与3的和”表示再加上3，即 ，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“ ”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为 ，“与1的差”表示减去1，即 ，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“ 与1的和”表示为 ，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“ ”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）解：由题意，得 ． （3）解：由题意，得 ． 2．解不等式（组）： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为 得： ； （2）解： 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 把解集表示在数轴上，如下图所示： 不等式组的解集是 ． 3．解不等式组： ，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】 ，画数轴见详解 【分析】本题考查解不等式组，并用数轴表示不等式组解集，熟记一元一次不等式组解集的求法是解决问题的关键． 先分别解不等式组中的每一个一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集，再由数轴表示不等式解集的方法求解即可得到答案． 【详解】解： ， 由①得 ； 由②得 ； 原不等式组的解集为 ； 在数轴上表示不等式组的解集，如图所示： ． 4．求不等式组： ，并求出所有整数解 【答案】不等式组的解集为 ，不等式组的所有整数解为 【分析】先求出每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集，即可求出整数解． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 则不等式组的解集为 ， 所以不等式组的所有整数解为 ． 5．解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和． 【答案】 ，所有整数解的和为 【详解】解：不等式组 ，即 ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∴它的所有整数解为 ， ∴它的所有整数解的和为 ． 题型2：不等式的性质、一元一次不等式（组）的代数应用 6．关于 的不等式 与 的解集相同，求 的值． 【答案】 【分析】首先根据解不等式的方法，求出两个不等式的解集 和 ，根据两个不等式的解集相同，可知 ，进而求出答案． 【详解】解：解不等式 得， ， 解不等式 得， ， ∵两个不等式的解集相同， ∴ ， ∴ 7．关于x的一元一次方程 的解大于 ，求 的取值范围． 【答案】 【分析】先解关于 的方程得到 ，则根据题意得到 ，然后解不等式即可． 【详解】解： ， ， ， ， 则 ， 解得： ． 8．阅读下列解题过程，再解题． 已知 ，试比较 与 的大小． 解：∵ ，第一步 ∴ ，第二步 故 ．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ． 9．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足不等式 ． (1)求实数 的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式 的解集为 ，请求出整数 的值． 【答案】(1) (2)整数 的值为 ， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到 的表达式，无需单独解出 ，再根据 建立关于 的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集 判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定 的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得 ， 解得 ． ， ， ， ． （2）解：移项，得 ． 的解集为 ， ， ． ， ， ∴整数 的值为 ， ． 题型3：一元一次不等式（组）的实际应用 10．某次数学测验，共有18道选择题，评分方法是答对一题得5分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应该答对多少道题？ 【答案】他至少应该答对14道题 【分析】设该同学答对x道题，则不答或答错 道题，根据“评分方法是答对一题得5分，不答或答错一题扣2分”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设该同学答对x道题，则不答或答错 道题， 依题意得： ． 解得： ∵x取整数 ∴x最小值为14 答：他至少应该答对14道题． 11．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进 台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】(1) ， (2)当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【分析】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为 （万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为 （万元）； （2）解：由题意，令 ，解得 ． 又 ， 当 时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 12．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为： 元， 故答案为： ； （2）解：在 时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为： 元， 由题意得： ， 解得： ， ． 题型4：几何基础应用；作图题 13．已知 的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若 ，且c为偶数．求 的周长． (2)化简： ． 【答案】(1) 的周长为11或13 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定 、 、 的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ， ，即 ， 由于c是偶数，则 或6， 当 时， 的周长为 ， 当 时， 的周长为 ． 综上所述， 的周长为11或13． （2）解： 的三边长为a，b，c， ， ． 14．按下列要求画图并填空： 如图，直线 与 相交于点 是 上的一点， (1)过点 画出 的垂线，交直线 于点 ． (2)过点 画出 ，垂足为点 ． (3)点 到直线 的距离是线段______的长． (4)点 到直线 的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线 即为所求； （2）解：如图，直线 即为所求； （3）解：点O到直线 的距离是线段 的长． 故答案为： ； （4）解：点P到直线 的距离为0， 故答案为：0． 15．如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边 上的高 ； (2)过点D作直线 的垂线，垂足为E； (3)点B到直线 的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可． （2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根据点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段 即为所求．    （2）如图，线段 即为所求． （3） 到直线 的距离是线段 的长度． 故答案为： ． 【点睛】本题考查作图 基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型． 题型5：平行线 基础 16．如图，已知： ， EMBED Equation.DSMT4 求证： ． 【答案】证明见解答过程． 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明： ， ， ， ， ． 17．如图，已知 ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据 得出 ，结合已知可得 ，即可证明 ，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ． 18．如图，已知 ， ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据两直线平行同位角相等可得 ，等量代换可得 ，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 19．如图，直线 ， ，已知 ， ，求 的度数．    【答案】 【分析】根据平行线的判定和性质即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ (同位角相等，两直线平行)， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查平行线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 20．如图，已知 ， ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质定理，以及角度的等量代换是解题关键．根据平行线的判定得出 ，根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据平行线的判定得出 即可． 【详解】证明： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ． 题型6：补全/辨析几何解答证明的步骤 21．如图：直线AB和CD相交于点O， ，且 ，求： 的度数 解：∵ （已知） ∴ （垂直定义） ∵ （_____________） 又∵ ∴ （___________________） ∵ （已知） ∴__________ （等量代换） ∴___________ (等式性质) ∴ _______（等式性质） 【答案】 ；对顶角相等； ；等量代换； ； ； ． 【分析】根据垂直定义，对顶角相等的性质，进行等量代换求解即可． 【详解】解：∵ （已知） ∴ （垂直定义） ∵ （对顶角相等） 又∵ ∴ （等量代换） ∵ （已知） ∴ （等量代换） ∴ (等式性质) ∴ （等式性质）． 【点睛】本题考查几何图形中角度计算，垂直定义，对顶角性质，等量代换概念，关键是要熟记定义和性质． 22．如图，已知 ， ， ，求证： ．请完成下列证明过程： 证明：∵ ， （已知） ∴ （    ） 又∵ （已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义， ， ， ， ， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到 ，然后由 得到 ，即可得到 ． 【详解】证明：∵ ， （已知） ∴ （垂直的定义） 又∵ （已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 23．如图，已知 ， ，求证： ． 证明： ______ ______（______） EMBED Equation.DSMT4 ______ ______（______） （______） 【答案】 内错角相等，两直线平行 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明： ， （内错角相等，两直线平行）， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为： ； ；内错角相等，两直线平行； ； ；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 24．已知：如图， 中， 于点D， 于点G，线段 ，点E、A、C在同一直线上，求证： 平分 ．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵ 于点D， 于点G， ∴ ∴ （_______） ∴ ______（_________）， _________（________） ∵ ， ∴ ______（________） ∴ ，即 平分 ． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵ 于点D， 于点G， ∴ ∴ （同位角相等，两直线平行） ∴ （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等） ∵ ， ∴ （等边对等角） ∴ ，即 平分 ． 故答案为：同位角相等，两直线平行； ；两直线平行，同位角相等； ；两直线平行，内错角相等； ；等边对等角． 25．如图，在 中， 于点 ， 是 的角平分线，交 于点 ， ， ，求 的度数． 解： ， （    ） ， （    ）， ______， 是 的角平分线， ______ ______， （    ） ， ______． 【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质； ； ； ；三角形内角和定理； 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线定义等知识，根据垂线的定义得出 ，根据三角形外角的性质并结合已知求出 ，根据角平分线定义求出 ，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解： ， （垂线的定义） ， （三角形外角的性质）， ， 是 的角平分线， ， （三角形内角和定理） ， ． 故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质； ； ； ；三角形内角和定理； ． 26．如图，在 中， ， 分别在 ， 上．已知 ， 平分 ，过点 作 的平分线交 于点 ． (1)求证： ； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明： ， （两直线平行，同位角相等）．① 平分 ， 平分 ， ， ．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点 作 的平分线 交 于点 ，若 ， ，求 的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到 ，然后利用三角形内角和定理求出 ，然后由角平分线得到 ， ，进而求解即可． 【详解】（1）∵ 和 不是同位角， ∴由 无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴ （内错角相等，两直线平行）． （2）∵ ， ∴ ∴ ∵ 平分 ， 平分 ∴ ， ∴ ． 题型7：平行线 提高 27．如图，已知点E、F在直线 上，点N在线段 上， 与 交于点M， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由 ，推出 ，进而推出 ，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 28．四边形 中，点 ，点 分别是 ， 上一点，直线 分别交 ， 的延长线于 ， ． ， ； (1)求证： ； (2)若 ，那么 会和 平行吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2) ，理由见解析 【分析】本题考查了同旁内角互补，两直线平行，对顶角相等，等量代换，理解相关知识是解答关键． （1）根据对顶角相等得到 ，再利用同旁内角互补，两直线平行即可求解； （2）根据两直线平行同旁同角互补得到 ，结合已知用等量代换和同旁内角互补，两直线平行求解． 【详解】（1）证明： ， ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， ； （2）解： ． 理由如下： ， ． ， ， ． 29．如图，在 中， 平分 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)25° 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义， （1）先根据“两直线平行，同位角相等”得 ，再结合已知条件得 ，然后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）根据“两直线平行，同位角相等”求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ . ∵ 平分 ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即∠2的度数为 ． 题型8：三角形的有关概念、内角和 30．如图，在 中，D、E分别是边 上的点， 相交于点O．如果 ，求 和 的度数． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形中，一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此先求出 的度数，进而可求出 的度数． 【详解】解：∵ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． 31．如图，在 中， ， 为 边上的高， 为三角形的角平分线， 与 相交于点 ． (1)求证： ； (2)若 ， ， ，求 的长度． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到 ，再根据等角的余角相等得到 ，然后利用 得到 ； （2）利用等面积法计算 的长． 【详解】（1）证明： 平分 ， ， 是 的高， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 即 的长度为 ． 32．如图，在 中，点D在边 上． (1)若 ，求 的度数； (2)若 为 的中线， 的周长比 的周长大3， ，求 的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知， ，根据 ，计算求解即可； （2）由 为 的中线，可得 ，由 的周长比 的周长大3，可得 ，进而可得 ，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的度数为 ； （2）解：∵ 为 的中线， ∴ ， ∵ 的周长比 的周长大3， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， 解得， ， ∴ 的长为6． 33．如图，在 中， 是 的平分线，且 ． (1)求证： ； (2)当 ， 时，求 的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由 是 的平分线可知 ，由 得 ，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证； （2）由三角形内角和定理可推出 ，由平行的性质可知 ，再利用角平分线和平行线的性质，可得 ． 【详解】（1）证明： 是 的平分线， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 且 ， 是 的平分线， ， ． 34．如图，在 中， ，点D在 上，点E在 上，且 ， (1)如果 平分 ，求 的大小； (2)如果 与 互余，求 的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 ．也考查了余角与补角． （1）利用 平分 得到 ，接着在 中，利用三角形内角和定理计算出 ，根据三角形内角和定理计算出 ，然后利用三角形外角性质可计算出 的度数； （2）先求出 ， ，从而 ，可得 ，结合 求出 ，进而可求出 的大小． 【详解】（1） 平分 （已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于 ） 又 （已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于 ） 又 （已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知） ∴ ， ∵ （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， ∴ （等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 35．如图，在 中， ． (1)求 的度数； (2)若 ，求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的外角： （1）利用三角形的外角的性质，求解即可； （2）利用三角形的内角和定理和角的和差关系，求出 ，进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， ． 又 ， ； （2）证明： ， ， ． ， ． ， ， ，即 ． 题型9：反证法 36．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图， ， ， 都被 所截． 求证： ． 证明：假设 　　 ． ∵ ， ∴ 　　 ． ∵ 　　 ， ∴ ，这和　　矛盾， ∴假设 　　 不成立，即 ． 【答案】 ； ； ；平角为 ； ． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【详解】证明：假设 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，这与平角为 矛盾， ∴假设 不成立，即 ． 故答案为： ； ； ；平角为 ； ． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 37．已知：如图，直线 ， 被 所截， ， 是同位角，且 ．求证： 不平行于 ． 【答案】见解析 【分析】用反证法证明即可． 【详解】解：假设 ，则 （两直线平行，同位角相等），这与 相矛盾， 假设不成立， 不平行于 ． 【点睛】本题主要考查了反证法和平行线的性质，熟知反证法是解题的关键． 38．用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于 ． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用及三角形内角和定理，解题的关键是通过假设与三角形内角和定理产生矛盾，从而证明原命题成立． 先假设原命题的反面成立（三角形最大内角小于 ），再结合三角形内角和定理推出矛盾，进而证明原命题正确． 【详解】证明：假设三角形中最大的内角小于 ， 那么三角形的三个内角都小于 ， 所以三个内角的和 ． 但根据三角形内角和定理，三角形的内角和为 ，这与上述结论矛盾． 故假设错误， 因此，一个三角形中最大的内角不小于 ． 题型10：压轴题 39．（1）问题：如图（1），若 ， ， ，求 的度数． （2）问题迁移：如图（2）， ，点 在 的上方，问： 、 、 之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知 ， 的平分线和 的平分线相交于点 ，用含有 的式子表示 的度数．（直接写答案） 【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点 作 ，可得 ．再由 ，可得 ，即可求解； （2）过点 作 ，可得 ，再由 ，可得 ，从而得到 ，即可求解； （3）过点 作 的平行线 ．可得 ，进而得到 ， ，再由 的平分线 和 的平分线 交于点 ，可得 ， ，再由（2）得： ，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 ， ． ∵ ， ∴ ， ． ， ． ，即 ． （2） ，理由如下： 如图，过点 作 ， ， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ， （3）如图，过点 作 的平行线 ． ∵ ， ， ∴ ， ， ， 又 的平分线 和 的平分线 交于点 ， ， ， 由（2）得： ， ， ． 即 ． 40．如图（1），把一把含 角的三角尺 的边 放置于直尺 的边 上． (1)填空：如图（1）， ______°， ______° (2)如图（2），现把三角尺 绕点 逆时针方向旋转 ，当 且点 恰好落在边 上，若 恰好是 的 倍，求 的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺 和直尺 ，现将射线 绕点 以每秒 的速度逆时针方向旋转得到射线 ，同时射线 绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转得到射线 ．当射线 旋转至第一次与 重合时，射线 ， 均停止转动，设旋转时间为 秒．在旋转过程中，是否存在 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在， 或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出 ，继而表示出 ，再用三角形外角定理和邻补角可得 ， ，最后根据 恰好是 的 倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据 画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得： ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ 恰好是 的 倍， ∴ ， 解得 ， ∴n的值是 ； （3）解：存在 ，理由如下： 如图：由题意，得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ； 如图： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 综上所述，t的值为20或80． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中必刷解答题（十大题型） 题型1：列不等式；解一元一次不等式（组） 1．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 2．解不等式（组）： (1)； (2)． 3．解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 4．求不等式组：，并求出所有整数解 5．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 题型2：不等式的性质、一元一次不等式（组）的代数应用 6．关于的不等式与的解集相同，求的值． 7．关于x的一元一次方程的解大于，求的取值范围． 8．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 9．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 题型3：一元一次不等式（组）的实际应用 10．某次数学测验，共有18道选择题，评分方法是答对一题得5分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应该答对多少道题？ 11．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 12．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 题型4：几何基础应用；作图题 13．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 14．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 15．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 题型5：平行线 基础 16．如图，已知：，求证：． 17．如图，已知，求的度数． 18．如图，已知，，求证：． 19．如图，直线，，已知，，求的度数．    20．如图，已知，，求证：． 题型6：补全/辨析几何解答证明的步骤 21．如图：直线AB和CD相交于点O，，且，求：的度数 解：∵（已知） ∴ （垂直定义） ∵（_____________） 又∵ ∴ （___________________） ∵（已知） ∴__________（等量代换） ∴___________(等式性质) ∴_______（等式性质） 22．如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 23．如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 24．已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 25．如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 26．如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 题型7：平行线 提高 27．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 29．如图，在中，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型8：三角形的有关概念、内角和 30．如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 31．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 32．如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 33．如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 34．如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 35．如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 题型9：反证法 36．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 37．已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 38．用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于． 题型10：压轴题 39．（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 40．如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $