7.3.2 离散型随机变量的方差（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十四) [基础达标练] 1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　) A．m　　　　　　　　　 B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 解析：选D　由题意知X服从两点分布，故D(X)＝m(1－m). 2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则D(2X－5)＝(　　) A．6 B．8 C．3 D．4 解析：选B　E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3. ∴D(X)＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2， ∴D(2X－5)＝4D(X)＝4×2＝8. 3．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 B． C．3.2 D． 解析：选D　依题意：0.4＋0.1＋x＝1， ∴x＝0.5 ∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴σ(X)＝＝. 4．已知某离散型随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的方差D(X)等于(　　) X 0 1 P m 2m A. B． C． D． 解析：选B　由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，所以D(X)＝×＋×＝. 5．随机变量X的取值为0，1，2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________． 解析：由题意设P(X＝1)＝p，则X的分布列如下： X 0 1 2 P p －p 由E(X)＝1，可得p＝， 所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝. 答案： 6．已知X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)＝____________，D(X1)＝________． 解析：由期望和方差的运算性质知，E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝22D(X)＝2. 答案：7　2 7. 已知X的分布列如下表： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解：(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝， 从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝. 法二：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 8．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解：由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0， ∴E(X1)＝E(X2). D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5， D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1)＜D(X2). 综上可知，A大钟的质量较好． [能力提升练] 9．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于(　　) A．0 B．1 C．4 D．2 解析：选A　由分布列的性质，得a＋＝1，a＝. ∵E(X)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n. ∴D(X)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2. ∴n＝2时，D(X)取最小值0. 10．若X离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A． B． C．3 D． 解析：选C　x1，x2满足 解得或∵x1＜x2， ∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3. 11．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________． 解析：依题意X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝， D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝. 答案： 12．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的方差为________． 解析：由题意，可得X的取值集合为{190，150，110}，且P(X＝190)＝＝，P(X＝150)＝＝，P(X＝110)＝＝，则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158，所以方差D(X)＝322×＋(－8)2×＋(－48)2×＝576. 答案：576 13．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好． [素养拓展练] 14．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出这2个球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 解：(1)由题意得ξ的可能取值为2，3，4，5，6. P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由题意知η的分布列为 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝. D(η)＝·＋·＋·＝. 化简得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 学科网（北京）股份有限公司 $