7.3.2 离散型随机变量的方差（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十四)

 [基础达标练]

1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)

A．m　　　　　　　　　 B．2m(1－m)

C．m(m－1)    D．m(1－m)

解析：选D　由题意知X服从两点分布，故D(X)＝m(1－m).

2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则D(2X－5)＝(　　)

A．6    B．8

C．3    D．4

解析：选B　E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3.

∴D(X)＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，

∴D(2X－5)＝4D(X)＝4×2＝8.

3．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为(　　)

A.3.56    B．

C．3.2     D．

解析：选D　依题意：0.4＋0.1＋x＝1，

∴x＝0.5

∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，

D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，

∴σ(X)＝＝.

4．已知某离散型随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的方差D(X)等于(　　)

A.    B．

C．    D．

解析：选B　由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，所以D(X)＝×＋×＝.

5．随机变量X的取值为0，1，2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________．

解析：由题意设P(X＝1)＝p，则X的分布列如下：

由E(X)＝1，可得p＝，

所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝.

答案：

6．已知X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)＝____________，D(X1)＝________．

解析：由期望和方差的运算性质知，E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝22D(X)＝2.

答案：7　2

7. 已知X的分布列如下表：

(1)求X2的分布列；

(2)计算X的方差；

(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．

解：(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，

从而X2的分布列为

(2)法一：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.

故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.

法二：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，

X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.

(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.

8．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：

 

 

根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．

解：由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，

∴E(X1)＝E(X2).

D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，

D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.

∴D(X1)＜D(X2).

综上可知，A大钟的质量较好．

[能力提升练]

9．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于(　　)

A．0    B．1

C．4     D．2

解析：选A　由分布列的性质，得a＋＝1，a＝.

∵E(X)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n.

∴D(X)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.