4.6 两条平行线间的距离 教学设计 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

《4.6 两条平行线间的距离》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 《两条平行线间的距离》是湘教版七年级下册第四章的关键内容，起着衔接前后知识的重要作用。在此之前，学生已掌握点到直线的距离等基础知识，而这一概念正是对已有知识体系的深化与拓展。通过学习两条平行线间的距离，学生能够更深入地理解几何图形中距离的本质，进一步完善对空间位置关系的认知。同时，它为后续平行四边形面积计算等几何知识的学习筑牢根基。 学习者分析 七年级学生正处于从形象思维逐步向抽象思维过渡的关键时期，他们对直观、具体的数学活动充满热情与好奇。经过前期的学习，学生已积累了一定的几何基础知识，具备了初步的探究能力。然而，在知识的综合运用以及抽象概括能力方面，学生仍有待进一步的培养与提升，需要教师在教学过程中给予针对性的引导。 教学目标 1.理解两条平行线间距离的概念，熟练掌握度量该距离的方法，并能够灵活运用这一知识解决简单的实际问题。 2.借助观察、测量、猜想、验证等一系列数学活动，着力培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。 3.在实践中深刻体会数学中的转化思想，掌握数学学习的有效方法。 教学重点 引导学生深入理解并熟练掌握两条平行线间距离的概念及准确的度量方法，确保学生能够精准把握核心知识。 教学难点 帮助学生学会运用两条平行线间距离的知识解决复杂多变的实际问题，深刻体会其在生活中的广泛应用价值，提升学生学以致用的能力。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 教师出示图片： 【想一想】观察下图中的铁路轨道和双杠，思考这些平行线之间宽度有什么特点？ 画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到 另一条直线的距离 . 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？ 学生活动1： 展示铁路轨道、双杠等一系列生活中常见的平行线图片，引导学生仔细观察，并思考这些平行线之间宽度的特点，鼓励学生积极发表自己的看法。 活动意图说明：从学生熟悉的生活场景切入，迅速吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，让学生直观感受到数学与生活的紧密联系，为后续引出两条平行线间距离的概念巧妙铺垫。 环节二：新知探究 教师活动2： 教师出示课本问题： 如图，l1 ∥ l2，在直线 l1 上任取两点 A，C，分别作AB ⊥ l2， CD ⊥ l2，垂足分别为点B，D. 于是AB ⊥ l1，CD ⊥ l1. 总结：与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线. 这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. 图中的线段 AB，CD 都是平行线 l1 与l2的公垂线段. 比较线段AB与CD的长度，你能发现什么？ 可以发现AB = CD. 再另取几个点，也会发现平行线 l1与l2 的公垂线段的长度相等，且均等于线段AB的长度， 由此可得： 两条平行线的所有公垂线段都相等. 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 由上述结论可以进一步猜测： 平行线 l1 与l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离. 如图，线段 AB 是两条平行线 l1 与l2 的公垂线段，从而线段 AB 的长度是直线 l1 与l2之间的距离. 又线段AB的长度是点A到直线l2的距离， 因此，平行线 l1 与l2 之间的距离等于直线l1上的点A到直线l2的距离. 由此可知：两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离. 学生活动2： 让学生在练习本上画出两条平行线 a、b，在直线 a 上任取一点 A，过点 A 作直线 b 的垂线，垂足为 B，精确测量线段 AB 的长度。随后，在直线 a 上选取多个不同位置的点，重复上述操作，认真测量这些点到直线 b 的距离，并记录数据。 活动意图说明：通过学生亲自动手操作、测量与记录，让学生直观且深刻地感受到，无论在直线 a 上选取哪个点，其到直线 b 的距离始终保持相等。以此为基础，自然顺畅地引出两条平行线间距离的概念，有效培养学生的自主探究能力与归纳总结能力。 环节三：新知探究 【例1】如图 ，AB∥DC，AB=DC，DE ⊥ AB，BF ⊥ CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗？ 解：因为AB ∥ DC，DE ⊥ AB，所以DE ⊥ DC. 又AB ∥ DC，BF ⊥ CD，于是BF ⊥ AB.因而DE ∥ FB. 又DF⊥DE，DF⊥FB，EB ⊥ DE，EB ⊥ FB， 从而线段DF，EB都是平行线DE与FB的公垂线段. 故DF = EB. 又AB = DC， 所以AB - EB = DC - DF，即AE = CF. 【例2】设 a，b，c 是三条互相平行的直线，如图所示 . 已知 a 与 b 的距离为 5，b 与 c 的距离为 2，求a与c的距离. 解：在 a上任取一点 A，过点 A作 AC ⊥ c，分别与b，c相交于B，C两点. 因为a，b，c是三条互相平行的直线， 所以 ∠1 = ∠2 = ∠3 = 90°， 即AB ⊥ b，AC ⊥ a. 因此，线段AB，BC，AC分别是平行线a与b，b与c，a与c的公垂线段. 又AC = AB + BC = 5 + 2 = 7， 因此，a与c的距离是7. 【议一议】若将例2中的“如图所示”去掉，a 与 c的距离会变化吗？ 当c在a，b之间时， AB =5， BC =2， 所以AC = AB - BC = 5 - 2 = 3， 因此，a与c的距离是3. 学生活动3： 学生先独立思考，尝试运用所学知识解答问题，之后在小组内展开交流讨论，分享各自的解题思路与方法。 学生完成例题。 活动意图说明：通过简单例题，引导学生巩固两条平行线间距离的概念，深入理解平行线间距离处处相等这一重要性质，并学会运用该性质进行简单的计算，切实培养学生运用知识解决问题的能力。 板书设计 课题：4.6 两条平行线间的距离 一、公垂线段. 二、两条平行线间的距离. 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.两条平行线的公垂线段有( D ). A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 2.已知直线a∥ b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是( D ). A. 2cm B. 6cm C. 8cm D. 2cm或8cm 3.下列说法中，错误的是( A ). A. 平行线间的距离就是两条平行线间的公垂线 B. 两条平行线的所有公垂线段都相等 C. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离 D. 垂线段最短 4. 如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG=15cm，GI = 20 cm，HI = 25 cm，则直线AB与直线CD之间的距离是____12__cm. 选做题： 5.如图，直线AB ∥ CD，P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积( C ). A. 向左移动变小 B. 向右移动变小C. 始终不变 D. 无法确定 6.我们知道：平行线间的距离处处相等.如图，AB∥DC，ED∥BC,AE∥BD，则图中与△ABD面积相等的三角形有( D ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【综合拓展类作业】 7.如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，AB交直线c于点C，a与b的距离是10cm，b与c的距离是4cm，求a与c的距离. 解：因为直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b， 所以AB⊥c，因此，线段AB，BC，AC分别是平行线a与b，b与c，a与c的公垂线段. 又因为a与b的距离是10 cm，b与c的距离是4 cm， 所以AB =10 cm，BC=4 cm， 所以AC =AB - BC =10 - 4=6(cm)， 即a与c的距离为6cm. 课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线. 2.这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段. 3.两条平行线的所有公垂线段都相等. 4.两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a，b之间的距离为7cm，直线b，c之间的距离为3cm，则直线a，c之间的距离为( A ). A. 4cm或10cm B. 4cm C. 10cm D. 不确定 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABO=5cm2，则S△DCO =( A ). A.5 cm2 B.4 cm2 C.3 cm2 D.2 cm2 选做题： 3.如图，甲、乙两只蚂蚁在两条平行马路同一侧的A，B两点处，比赛看谁先横穿马路.如果它们同时出发，速度一样，都走最近的道路，结果是同时到达，依据是两条平行线的所有公垂线段都相等. 4.如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点. 当四边形ABCD满足条件AB∥CD 时，三角形PBA的面积始终保持不变(只需填上你认为正确的一个条件即可). 【综合拓展类作业】 5.如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3cm/s.两点的运动时间为ts，直线a与b之间的距离为30cm，当t的值为多少时，点P与点Q距离最近？ 解：根据题意可知，当PQ∥a时，PQ最短， 此时AP+BQ=30cm， 所以2t + 3t =30， 所以t=6, 所以当点P与点Q距离最近时，t的值为6. 教学反思 在本节课的教学实践中，通过创设生活情境、组织学生自主探究以及开展小组合作交流等多种教学方式，充分调动了学生的学习积极性，使学生在实践操作中较好地理解和掌握了两条平行线间距离的概念及应用。然而，在教学过程中，仍可能存在部分学生对概念的理解不够深入透彻，在解决实际问题时面临困难的情况。在今后的教学工作中，应进一步加强对学生的个别指导，密切关注学生的学习动态，及时调整教学策略，为学生提供更具针对性的帮助，助力学生更好地掌握数学知识，切实提升学生的数学素养。 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $