精品解析：河南南阳市宛城区茶庵乡第一初级中学2025-2026学年九年级上学期2月质量检测数学试卷

2025-2026学年九年级上学期2月质量检测数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与y轴交于正半轴 D. y有最大值，最大值为 2. 已知的半径为5，则该圆中最长的弦的长是（ ） A. B. C. 10 D. 15 3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（ ） A. B. C D. 7. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．设原菜地的宽为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则大正方形的边长在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 二．填空题（共5小题，满分12分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 12. 已知，当时，x的值为___________________ ． 13. 有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，据此估计牌面数字的和是2的概率是 ________ （精确到）． 14. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为______． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c； ③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计 请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图； （2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学（A，B），3名八年级同学（C，D，E），现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果. 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）在y轴上确定一个点P，使的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 ___________． （2）画出关于原点的位似，要求新图形与原图形的位似比为，并写出所画图中点的坐标（只需画出一个满足题意的即可）． 19. 如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以米/秒的速度向正南方向飞行，当甲在处时，乙在甲南偏西方向米的处，且乙从沿南偏西方向匀速直线飞行，当甲飞行2秒到达处时，乙飞行到甲的南偏西方向的处．求乙无人机的飞行速度（结果保留根号）． 20. 如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落人篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离米．以O为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． （1）求抛物线表达式． （2）求点B到所在直线的距离及点B到地面的距离． 21. 如图，为的直径，，直线垂直平分，交于H （1）求证：是的切线； （2）作的平分线交于点E．若，，求阴影部分的面积和的长． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，D为抛物线的顶点，连接，抛物线的对称轴与交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点E，直接写出E的坐标． 23. 如图1，在中，，点D是上一点（不与点A，B重合），作交于点E．如图2，把绕点A顺时针旋转α度，．在旋转过程中，完成以下问题． （1）如图2，求证：； （2）如图3，若点F，H，G分别是中点，求的值； （3）如图2，若，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期2月质量检测数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与y轴交于正半轴 D. y有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 2. 已知的半径为5，则该圆中最长的弦的长是（ ） A. B. C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径是圆的最长弦求解即可． 【详解】解：∵的半径为5， ∴的直径为10， 即该圆中最长的弦的长是10， 故选：C． 【点睛】本题考查圆的认识，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键． 3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理以及锐角三角函数进行求解． 【详解】解：借助网格，根据勾股定理得， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除及加减运算法则逐项计算即可． 【详解】A、与的被开方数不同，不能相加减，该选项不符合题意； B、计算正确，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除及加减运算法则，牢记二次根式的乘除及加减运算法则是解题的关键． 5. 已知，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，抛物线与x轴交于点和，则方程根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线与x轴交点的意义是解决本题的关键． 根据抛物线与x轴交点的意义得到当或时，，即可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴当或时，，即方程的根为． 故选B． 7. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平角的定义得到，再根据圆内接四边形对角互补可得，则由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 8. 一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．设原菜地的宽为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“它的长减少，那么它就成为正方形菜地”可以得到长方形的长比宽多米，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】长减少，菜地就变成正方形， 设原菜地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，选项A正确． 9. 已知点，，在抛物线上，则，，大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离即可比较y的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，，，，， ∴． 10. 如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则大正方形的边长在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根以及估算无理数的大小，正方形的性质等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出大正方形的面积可得结论． 【详解】由题意大正方形的面积， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴大正方形的边长在5和6之间． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分12分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 12. 已知，当时，x的值为___________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】根据列出一元二次方程，然后整理成一般式，最后利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：当时，可得，整理得：， ∴， ∴， 即，． 13. 有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，据此估计牌面数字的和是2的概率是 ________ （精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出和为2的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意得，画树状图如下： 从两组牌中各摸出一张，所有等可能的结果共9种， 其中牌面数字和为2的结果只有1种，即， 根据概率公式得：． 14. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形性质、解直角三角形，解题的关键是掌握垂径定理．设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则由垂径定理得到，再利用等腰三角形的三线合一得到 ，在中，利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则， 由题意，，， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c； ③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______． 【答案】①④⑤⑥ 【解析】 【分析】①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断； ②令x＝－1，则y＝ a－b＋c，根据图像可得：a－b＋c＜0，进而可对②作判断； ③根据对称性可得：当x＝2时，y＞0，可对③对作判断； ④根据2a＋b＝0和c＞0可对④作判断； ⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断； ⑥根据对称轴为：x＝1可得：a＝－b，进而可对⑥判作断． 【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下， ∴a＜0． ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＞0； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0； 故①正确； ②∵令x＝－1，则y＝ a－b＋c＜0， ∴a＋c＜b， 故②错误； ③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞0， 即4a＋2b＋c＞0； 故③错误； ④∵对称轴方程x＝－＝1， ∴b＝－2a， ∴2a＋b＝0， ∵c＞0， ∴2a＋b＋c＞0， 故④正确； ⑤∵抛物线与x轴有两个交点， ∴ax2＋bx＋c＝0由两个不相等实数根， ∴＞0， 故⑤正确． ⑥由④可知：2a＋b＝0， 故⑥正确． 综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥． 故答案为：①④⑤⑥． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的除法法则、乘法法则，二次根式的性质计算即可； （2）根据完全平方公式，二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计 请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图； （2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学（A，B），3名八年级同学（C，D，E），现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果. 【答案】（1）该班共有50名学生，，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）用篮球的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出加入足球社团的学生人数和想加入其他社团的学生的人数，用360度乘以想加入其他社团的学生所占的比例，求出圆心角的度数，由求出的人数，补全条形图即可； （2）画出树状图求解即可. 【小问1详解】 解：（名）， 想加入足球社团的学生有：（名）； 想加入其他社团的学生有：（名）， ； 补全条形图如图： ； 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，共有20种结果. 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）在y轴上确定一个点P，使值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 ___________． （2）画出关于原点的位似，要求新图形与原图形的位似比为，并写出所画图中点的坐标（只需画出一个满足题意的即可）． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称）以及位似图形的画法，解题的关键是掌握轴对称的性质和位似图形的定义与画法． （1）利用轴对称性质找到点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，再用勾股定理求的最小值； （2）在第四象限画出 ，把点、、 的横纵坐标都乘以 得到、、 的坐标，然后描点即可． 【小问1详解】 解：如图，点为所作； 的最小值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，为所作，点的坐标为． 19. 如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以米/秒的速度向正南方向飞行，当甲在处时，乙在甲南偏西方向米的处，且乙从沿南偏西方向匀速直线飞行，当甲飞行2秒到达处时，乙飞行到甲的南偏西方向的处．求乙无人机的飞行速度（结果保留根号）． 【答案】乙无人机的飞行速度为米/秒 【解析】 【分析】根据无人机的速度和行驶时间求出，可得是等边三角形，过点作于，根据题意求出，，根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】解：甲以米秒的速度向正南方向飞行，飞行2秒到达处， （米）， （米）， ， ， 是等边三角形， ，（米）， ． 过点作于， 在中，米，， （米）， ∵， ∴， ∵， ． ∵在中，米，， （米）， ∴乙无人机的飞行速度：（米秒）． 20. 如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落人篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离米．以O为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． （1）求抛物线的表达式． （2）求点B到所在直线的距离及点B到地面的距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）点B到所在直线的距离为，点B到地面的距离为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点B到地面的距离为，， ∵， ∴， ∴，即点B到所在直线的距离为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 21. 如图，为的直径，，直线垂直平分，交于H （1）求证：是的切线； （2）作的平分线交于点E．若，，求阴影部分的面积和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，得出，进而得出结论； （2）连接，先求出的度数与，再求出扇形的面积及三角形的面积，进而求出阴影部分的面积；先证明得出，再根据，得出，接着根据得出，进而得出的长度． 【小问1详解】 证明：连接， 垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， 平分， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，D为抛物线的顶点，连接，抛物线的对称轴与交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点E，直接写出E的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线的交点式式，再将点代入解析式即可求解； （2）设点G的坐标，分别表达出和的面积，建立方程，即可求解； （3）设点E关于直线的对称点为，原点关于直线的对称点为P，如图所示， 设，由轴对称的性质可得，利用勾股定理得到，推出，解得或（舍去），则，同理可得直线的解析式为，进而求出，则可利用勾股定理求出，进而得到． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当，， ∴， ∴， 过点G作于点M，过点G作轴交直线于点N， 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴存在，． 【小问3详解】 解：设点E关于直线的对称点为，原点关于直线的对称点为P，如图所示， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形的面积，对称的性质等内容，第（2）问中表达出三角形的面积是解题关键；第（3）问中得到点P的坐标是解题的关键． 23. 如图1，在中，，点D是上一点（不与点A，B重合），作交于点E．如图2，把绕点A顺时针旋转α度，．在旋转过程中，完成以下问题． （1）如图2，求证：； （2）如图3，若点F，H，G分别是的中点，求的值； （3）如图2，若，求面积的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）24 【解析】 【分析】（1）如图1：先证明可得，如图2：再说明即可证明结论； （2）由三角形中位线定理知，同理：．由（1）知，再利用相似三角形的性质以及已知条件即可解答； （3）先运用勾股定理求得，再利用可得；根据绕点A顺时针旋转，则是的半径，要使达到最小值，即：以为底．过点A作于点M．当点A，E，M三点共线时，即；然后用等面积法求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，∵绕点A旋转前，， ∴， ∴，即 ， 如图2，∵绕点A顺时针旋转α度的过程中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵点F，H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，同理：． 由（1）得，且． ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图： ∵在中，， ∴． ∵，， ∴，即，解得：． ∵绕点A旋转，则是的半径， 要使达到最小值，即：以为底．过点A作于点M． ∵绕点A顺时针旋转α度的过程中，的三边关系有：， ∴当点A，E，M三点共线时，即， ∴，即，解得： ∴，此时 ∴，即面积的最小值为24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $