精品解析：河南省南阳市宛城区茶庵乡第一初级中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

二次根式素质调研 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵可以任意取值，即可以为负值， ∴A不是二次根式，不符合题意； ∵， ∴B不是二次根式，不符合题意； ∵， ∴， ∴C是二次根式符合题意； 是三次根式，故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是数量掌握二次根式的条件． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式乘法法则逐项计算判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键． 3. 已知实数满足，则等于( ) A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根号和平方的非负性，求出x，y的值代入即可得出． 【详解】因根号和平方都具备非负性， 所以，可得， 所以． 故选A． 4. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式乘法运算法则计算，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：． ∵， ∴，即． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 5. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解． 【详解】解:根据分式有意义可得: , 根据二次根式有意义可得:,解得: , 综合可得:. 故选D. 【点睛】本题主要考查分式有意义和二次根式有意义的条件,解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义和二次根式有意义的条件． 6. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】把选项中的数分别代入二次根式进行化简，然后看被开方数是否是2即可． 【详解】解：，A、当时，，所以与不是同类二次根式； B、当时，，所以与是同类二次根式； C、当时，，所以与不是同类二次根式； D、当5时，=，所以与不是同类二次根式． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式判断，注意同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式． 7. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得：， 故选：B． 9. 当1a2时，代数式+|a﹣1|的值是（　　） A 1 B. ﹣1 C. 2a﹣3 D. 3﹣2a 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的化简方法将原式化简成，再根据a的取值范围化简绝对值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的化简和二次根式的化简，解题的关键是掌握绝对值和二次根式的化简方法． 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律．先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又； ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 使式子有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． 根据被开方数大于等于，分母不等于及非零数的零指数幂列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意知， 解得且， 故答案为：且． 13. 等式成立的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法法则、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是关键．根据二次根式的除法法则成立的条件：且，即可确定． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 14. 若x，y都是实数，且y＝+4，则xy＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可列出不等式组，从而求出x，y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得： ， 解得x＝， ∴y＝4， 故xy＝×4＝6． 故本题的答案是6． 【点睛】注意二次根式有意义的条件，当两个被开方数互为相反数时，被开方数为0． 15. 已知三角形的三边长a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3，则△ABC的面积为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】将三角形三边代入所给公式求解即可． 【详解】解：将1，，3，代入公式得出： 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的运算法则是解此题的关键． 三、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算括号里面的，再合并同类项即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．注意运用平方差公式和完全平方公式. 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算除法，并化简绝对值，再合并，即可求解． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18. 【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：______； （2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 【拓展应用】 （4）求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）最大值是 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化运算、二次根式的非负性及解不等式组． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）把分子分母同乘以即可解决； （4）先求出，把化为形式，确定最大值即可． 【详解】解：（1） 的有理化因式是， 故答案为：； （2）：， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）由题意得：， 解得：， ， 当时，值最大，即值最大， 此时， 最大值是． 19. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简下列各式： ① ② ③． 【答案】（1）， （2）12或28 （3）①，②，③ 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【小问1详解】 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； 【小问3详解】 ① ② ③设， 则 ， ∴． 【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 材料：著名数学家数华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． （1）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． （2）如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式： __________，将等式右边因式分解，即__________； （3）根据以上探究的结果，请类比上述探究过程，解答下列问题： 计算： 【答案】（1） （2）， （3）128 【解析】 【分析】（1）运用两种不同的方法表示剩下的面积，即可得到等式； （2）运用两种不同方法表示剩下的体积，即可得到等式，再根据要求因式分解即可； （3）利用（2）中等式，把算式进行分解，再计算即可． 【小问1详解】 解：剩下的部分面积为：， 也可以表示为：， ∴可得一个关于a，b的等式：； 【小问2详解】 剩下部分的体积为：， 也可以表示为：， ∴， 将等式右边因式分解为：； 【小问3详解】 ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式与因式分解的应用，学会运用数形结合得思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式素质调研 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数满足，则等于( ) A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 4. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 函数中自变量取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 6. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 化简二次根式结果（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 当1a2时，代数式+|a﹣1|的值是（　　） A 1 B. ﹣1 C. 2a﹣3 D. 3﹣2a 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 使式子有意义的的取值范围是______． 13. 等式成立的条件是______． 14. 若x，y都是实数，且y＝+4，则xy＝_____． 15. 已知三角形的三边长a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3，则△ABC的面积为_____________. 三、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算：． 18. 【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：______； （2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 拓展应用】 （4）求的最大值． 19. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简下列各式： ① ② ③． 20. 材料：著名数学家数华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． （1）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． （2）如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式： __________，将等式右边因式分解，即__________； （3）根据以上探究的结果，请类比上述探究过程，解答下列问题： 计算： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $