精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校2026届高三下学期一模模拟考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高三一模模拟考试试卷 高三数学 （清华附中朝阳学校望京学校）2026年3月 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 所以． 2. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用定义分别判断每个函数的奇偶性，求导判断单调性，得到答案. 【详解】A选项，定义域关于原点对称，，所以是奇函数， 但是在和上分别单调递减，在定义域内不是减函数， 如，A错误， B选项，由得，所以定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误； C选项，定义域为关于原点对称，是奇函数， ，所以是上的减函数，C正确； D选项，由得，所以定义域是关于原点对称， ，所以是偶函数，D错误. 故选：C. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义结合前n项和可得，再结合等比中项可得，即可得结果. 【详解】因为数列为正项等比数列，即，可得首项，公比， 若，即，可得， 则，即， 且，即， 可得，即，所以. 故选：A. 5. 已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. 6. 为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 7. 若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（ ） A. 最小值为，最大值为 B. 无最小值，最大值为 C. 无最小值，最大值为 D. 最小值为，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】由图象过点求出，然后解，得，再分析在上有且只有两个时，的取值只能是，从而可得的范围， 【详解】由题可知，即，∴， 又∵，，∴. 令，得， 解得 又∵，在上有且只有两个零点， ∴只能取1，2，故，解得， ∴，∴，没有最小值． 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，结合正弦函数的性质求解是解三角函数问题的常用方法． 8. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立，故， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 9. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为的图象与函数的图象只有一个交点，同一坐标系内作出两函数图象，求出函数切线得到极端情况，数形结合得到答案. 【详解】因为函数仅有一个零点， 所以函数的图象与函数的图象只有一个交点. 函数恒过定点，， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是. 故选：C. 10. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 易知点C是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，A正确； B，取中点中点K，连接， 因为分别为中点， 所以，又， 所以，则， 因为，所以， 即，又平面， 所以平面，因为， 所以点P的轨迹为，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； C：连接以B为圆心，为半径画，如图1所示， 当点P在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 长度，故点P的轨迹长度为，故C正确； D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 易知面平面， 故平面平面平面， 故平面，又平面， 故平面平面，又， 故平面与平面是同一个平面， 则点P的轨迹为线段， 在三角形中，； ； 则， 故三角形是以为直角的直角三角形， 故，故长度的最大值为，故D错误． 故选：D 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 13. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得，进而解不等式求解即可. 【详解】当时，双曲线为，此时， 则双曲线的渐近线方程为. 双曲线，即， 其渐近线方程为， 要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形， 根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等， 则，解得，可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 14. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则， ， 由对称性，可得该包装盒的容积为 . 15. 无穷数列前n项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是_________. ① ②数列有最大值，无最小值 ③，使得 ④，均有 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①赋值和即可求出；②作差比较判断数列单调性即可判断；③用数学归纳法证明对任意成立即可判断；④结合③结论证明. 【详解】①因为，令，得， 因为，解得，即. 令，得， 解得，因为，所以. 所以①正确. ②当时，， 因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，. 所以，所以数列单调递减， 所以数列有最大值，无最小值.故选项②正确. ③根据数学归纳法： 当时，， 假设时，， 时，由②知，即， 所以. 所以，当且仅当时等号成立，故不存在，使得. 故选项③错误. ④由③知，对于任意，， 因为 ， 所以恒成立，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题（共6个小题，满分85分） 16. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①:，边上中线的长为； 条件②:，的面积为6； 条件③:，边上的高的长为2． 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解； （2）若选择①，结合余弦定理，即可判断；若选择②结合面积公式，余弦定理，以及正弦定理，即可求解；若选择③结合三角恒等变换公式，以及直角三角形的三角公式，即可求解. 【小问1详解】 在中，因为， 再由 可得. 所以，即. 因为，所以，， 所以. 【小问2详解】 选择条件①：设点为的中点，则，， 中，根据余弦定理, 解得：或， 这样或，则不唯一确定； 选择条件②： 在中，， 解得. 所以. 解得. 在中，因为，所以. 选择条件③：在中，因为，， 所以， 在中， 在中，可得； 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，M为中点，N为上一点，且满足． （1）设平面平面，求证：； （2）若已知点P到平面的距离为2，且平面平面．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理及性质定理证明即可； （2）连接，记，由菱形的性质及面面垂直的性质定理可证平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. 因为平面，平面平面，所以∥. 【小问2详解】 因为底面是边长为2的菱形，，所以. 连接，记，则为的中点，且. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为点P到平面的距离为2，所以. 易得， 因为M为中点，N为上一点，且满足，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，则. 所以平面的法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型得到答案； （2）由二项分布得到分布列和数学期望； （3）由方差的计算公式得到答案. 【小问1详解】 由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； 【小问2详解】 由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为， 因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为， ， ， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问3详解】 ，原因如下： 男生的平均成绩为， 则， 女生的平均成绩为， 则， 从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本， 则， ， 所以. 19. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【小问1详解】 解：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 【小问2详解】 ，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 即 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，，使得； （3）当时，求函数的零点个数. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程； （2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明； （3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数. 【小问1详解】 当，，则， ， 即曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 证明：当时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 即当时，，使得， 【小问3详解】 由（2）知， 令，则， 即，， 所以，， 令，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又， 所以的解为，的解为， 即当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 21. 已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. （1）若，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】（1） （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据距离的定义，找出满足的即可； （2）先根据，分析元素所满足的条件，再求的最大值； （3）首先讨论三个差的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证. 【小问1详解】 ，说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； 【小问2详解】 已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 【小问3详解】 证明： 对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高三一模模拟考试试卷 高三数学 （清华附中朝阳学校望京学校）2026年3月 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6 5. 已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 6. 为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 7. 若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（ ） A. 最小值为，最大值为 B. 无最小值，最大值为 C. 无最小值，最大值为 D. 最小值为，最大值为 8. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 9. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为__________. 12. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 13. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______． 14. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 15. 无穷数列前n项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是_________. ① ②数列有最大值，无最小值 ③，使得 ④，均有 三、解答题（共6个小题，满分85分） 16. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①:，边上中线的长为； 条件②:，的面积为6； 条件③:，边上的高的长为2． 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，M为中点，N为上一点，且满足． （1）设平面平面，求证：； （2）若已知点P到平面的距离为2，且平面平面．求直线与平面所成角的正弦值． 18. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 19. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，，使得； （3）当时，求函数的零点个数. 21. 已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. （1）若，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $