精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年下学期九年级数学学情自测

数 学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，先化简各数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：选项A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； 选项B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； 选项C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； 选项D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；   故选：C． 3. 以下调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解全国中小学生课外阅读情况 D. 了解某种灯泡的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查，全面调查的调查结果更准确，但面对的对象较多，范围较广，因此要消耗更多时间、人力和物力；因此具有破坏性的、难以实施全面调查的情况则应使用抽样调查． 直接利用抽样调查和全面调查的特点进行判断即可． 【详解】解：A、检测长征运载火箭的零部件质量情况，需要进行全面调查，该选项符合题意； B、调查某批次汽车的抗撞击能力的调查，具有破坏性，适合抽样调查，该选项不符合题意； C、了解全国中小学生课外阅读情况的调查，不适合全面调查，因此应进行抽样调查，该选项不符合题意； D、了解某种灯泡的使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查，该选项不符合题意； 故选：A． 4. 反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． A、∵， ∴点在该函数图象上，符合题意； B、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意； C、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意； D、∵， ∴点不在该函数图象上，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． ， ， ∴． 故选：C． 6. 如图，点A，B，C在上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先根据等腰三角形的性质求得，再根据圆周角定理求得． 【详解】解：连接 ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 7. 自然界中一切物质都是由微观粒子构成．下图是一系列物质的结构图，我们称中间的球形为碳原子，用C表示；外围较小的球形为氢原子，用H表示，则第1个图形中有1个碳原子，4个氢原子，该物质可表示为，第2个图形中有2个碳原子，6个氢原子，该物质可表示为，……则第8个图形的碳原子和氢原子个数分别是（ ） A. 8，18 B. 7，18 C. 8，20 D. 8，22 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干图形求出第3个图形，第4个图形中碳原子，氢原子的个数，进而找出规律，即可计算第n个图形中碳原子，氢原子的个数，即可解答． 【详解】解：第1个图形中有1个碳原子，个氢原子， 第2个图形中有2个碳原子，个氢原子， 第3个图形中有3个碳原子，个氢原子， 第4个图形中有4个碳原子，个氢原子， ……； 第个图形中有个碳原子，个氢原子， 则第个图形中有个碳原子，个氢原子． 8. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（ ） A. 11 B. 10 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 9. 如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，过点作交于点，连接，，若点恰好为中点，时，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合正方形的性质和旋转的性质证明，由全等三角形的性质可得，；过点作的平行线，分别交、于点、，过点作，交延长线于点，设、交于点，易得四边形为矩形，进而可知，再证明，均为等腰直角三角形，进一步可知，，即可确定；证明，可得；设，，则，进一步确定，然后计算，即可得的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，,, ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，, 如图，过点作的平行线，分别交、于点、，过点作，交延长线于点，设、交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，即， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， 则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件． 对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举时所有可能的整式A；对于说法③，在，的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合． 【详解】解：说法①， 整式为三项式， 当三项式的系数绝对值为1，且最小时，最小， 即，且，，， ，说法①正确； 说法②， ，，，n为自然数， 分情况讨论：（1）当时，，， ，符合条件的有1个； （2）当时，，； （i）时，，， 或，符合条件的有2个； （ii）时，，， ，符合条件的有1个； （3）当时，，， ，，，，，， ，符合条件的有1个； （4）当时，，，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有个，说法②正确； 说法③， 当，时，，即，， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，， 当，时，，符合条件的有2个； （iii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （2）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （3）当时，，，函数为与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有个，说法③正确； 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 2025年1月，哈尔滨工业大学宣布成功研发出中心波长达到13.5纳米（即0.0000000135米）的极紫外（EUV）光技术，这一成就为中国光刻机技术的发展注入了强劲动力．则用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较小的数． 将原数用科学记数法表示，需确定系数和指数，系数在1到10之间，指数由小数点移动的位数决定，据此进行解答即可． 【详解】解：原数的小数点向右移动8位得到，因此指数为，故科学记数法表示为， 故答案为： 12. 3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则他们恰好选到同一个活动的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 根据列表或画树状图可得总情况数共9种，他们恰好选到同一个活动有3种，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：设A表示“数字华容道”，B表示“汉诺塔”，C表示“巧解鲁班锁”， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中他们恰好选到同一活动的有3种， ∴他们恰好选到同一活动的概率为． 故答案为：． 13. 若n为正整数，且满足，则____ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的性质，把 整理得，又因为，则，因为n为正整数，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵，且n为正整数， ∴， 解得， 故答案为：3． 14. 如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线、等腰三角形的判定与性质．由和角平分线得到，则，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为20，，则______，______． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】连接、、，连接并延长交于，过点作交延长线于，由线段垂直平分线的判定定理得垂直平分，由勾股定理得 、；由圆内接四边形的性质得，结合等腰三角形的判定及性质得，设，则，，由勾股定理得，可求，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：连接、、，连接并延长交于，过点作交延长线于， 点A为弧的中点， ， ， ， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， ， ， 四边形是内接四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 故，． 【点睛】添加恰当的辅助线，能熟练利用圆的基本性质和勾股定理进行求解是解题的关键． 16. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数，因为，所以是“和同数”．按照这个规定，最小的“和同数”是_______．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且被整除，则满足条件的正整数的和是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识．根据“和同数”的定义即可求出最小的“和同数”；由，，结合“和同数”的定义可得，，进而得到，可知能被整除，设（为整数）， 则，结合能被整除，，，即可求解． 【详解】解：要使正整数最小，则，， ， ， ，， ，， 最小的“和同数”是； ，， ， ， 又，即， ， ， ，被除余， ， 即能被整除， 设（为整数）， 整理得， 能被整除，，， 当时，， 当时，，此时，，且能被整除， 能被整除， 或， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 满足条件的正整数有、， 则满足条件的正整数的和是， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题8分，其余各题10分，共86分） 17. （1）因式分解：； （2）解方程：. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法以及解一元一次方程的步骤． （1）先提取公因式，再由平方差公式进行因式分解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求， 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ∴． 平分，平分， ， ∴， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 19. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 【答案】（1），，； （2）消费者更喜欢“拉布布”，理由见详解 （3）300 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数，众数，样本估算总体数量的计算是关键． （1）根据众数，中位数，样本百分比的计算方法求解即可； （2）根据中位数、众数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多， ∴， “拉布布”A组的人数：（人）， B组的人数：（人）， C组的人数：6人， D组的人数：（人）， ∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即， ∴，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数， ∴消费者更喜欢“拉布布”； 【小问3详解】 解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人）， 有的人会购买“拉布布”， ∴购买“拉布布”的人数为（人）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的混合运算以及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据整式和分式的混合运算法则展开计算，再把化简后的x的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴当时，原式． 21. 某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【答案】（1）10元；8元 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用； （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 22. 如图，在菱形中，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动，当点P到达点D时停止运动，同时，动点Q以每秒个单位长度也从点B出发，沿着运动，P、Q两点同时停止运动．点E为直线上的一动点，满足．设点P的运动时间为x秒（），的面积为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围，（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；； （2）图象见解析，函数的一条性质是：当时，有最大值为6； （3）当时x的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当时，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，作于点，利用相似三角形的判定和性质求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；根据，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质； （3）数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，，对角线交于点O， ∴，，， ∴， 在中，设边上的高为， ∴， 解得， 当时，； 当时， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上，； 作于点， ∵，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，，当时，， 描点，连线，函数图象如图所示： 观察图象，函数的一条性质是：当时，有最大值为6； 【小问3详解】 解：观察图象，当时x的取值范围是． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2）小开先到达山顶处，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； （3）将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先由抛物线对称轴为直线求得b的值，再根据抛物线与x轴交于点，求出c的值，从而得到抛物线的表达式； （2）求直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R，在中，运用勾股定理求出的长度，再证，则，即， ，设，，， ，求出当时，取得最大值，证，，从而得出 ，当且P，M，N，R四点共线时，有最小值，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S，证，从而求出，，最后求出N点坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，分两种情况进行讨论，求出对应K点横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于， ∴将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴令，得，即， ∵，， ∴直线的解析式为， 如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵直线与抛物线对称轴交于点L， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为， ∴设，，， ∴，， ∴， ∵，开口向下， 又∵， ∴时，取最大值，此时． ∵点E为点C关于x轴的对称点，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且P，M，N，R四点共线时， ， 此时的最小值为的长． 如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 【小问3详解】 解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度， 设平移后的抛物线为， 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 令，整理得， ∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线， 设， ∵点E为点C关于x轴的对称点， ∴， ①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： 在x轴上截取，连接， ∵，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵线段关于的对称线段为， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 即此时直线与直线所成夹角为，且， ∴点K的横坐标为； ②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： ∵线段关于的对称线段为， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， 此时，， 直线解析式为：， ∴联立， 解得或， ∴； 综上或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式，函数平移，线段最值问题，角度存在性问题等，题目难度大． 25. 在等边中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，现将绕点A逆时针旋转60度得到线段，连接，交于K，连接． （1）如图1，若，请用含α的式子表示，并说明理由； （2）如图2，过E作于点G，连接，延长至点H，使得，连接、，请用等式表示线段与的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，将沿翻折至，过作直线，点P是线段上一点，Q是线段上一点，且满足，若点D在直线上运动，当最大时，连接，当最小时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），理由见详解 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出是等边三角形，再根据三角形外角的性质得出结果； （2）延长至点M，使，连接，先证明，再证明，设，利用角度的和差关系及等腰三角形的性质得出，进而证明，利用全等三角形的性质得出结果； （3）先根据已知条件得出点E的轨迹是直线，与的夹角为，再由翻折的性质得出点的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，当点N，G重合时，此时最大，证明出，当，当A，Q，M三点共线时取等号，利用勾股定理及相似三角形的判定与性质求出相关线段的长度，最终即可求得的面积． 【小问1详解】 解：， 理由：∵绕点A逆时针旋转60度得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵在等边中，， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，延长至点M，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴点G为中点， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设与交点为G， ∵，， ∴点E的轨迹是直线，与的夹角为， ∴， ∴点G为中点， 由翻折可知，， ∴点的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆， 如图，延长交于点，交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴当点N，G重合时，此时最大， 如图，作，且使，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当A，Q，M三点共线时取等号， 过点F作交于点K， ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一定理，勾股定理及三角形外角的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解全国中小学生课外阅读情况 D. 了解某种灯泡的使用寿命 4. 反比例函数的图象经过点，则此函数的图象也经过点（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 自然界中一切物质都是由微观粒子构成．下图是一系列物质的结构图，我们称中间的球形为碳原子，用C表示；外围较小的球形为氢原子，用H表示，则第1个图形中有1个碳原子，4个氢原子，该物质可表示为，第2个图形中有2个碳原子，6个氢原子，该物质可表示为，……则第8个图形的碳原子和氢原子个数分别是（ ） A. 8，18 B. 7，18 C. 8，20 D. 8，22 8. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（ ） A. 11 B. 10 C. 8 D. 9 9. 如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，过点作交于点，连接，，若点恰好为中点，时，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 2025年1月，哈尔滨工业大学宣布成功研发出中心波长达到13.5纳米（即0.0000000135米）的极紫外（EUV）光技术，这一成就为中国光刻机技术的发展注入了强劲动力．则用科学记数法表示为________． 12. 3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则他们恰好选到同一个活动的概率是______． 13. 若n为正整数，且满足，则____ 14. 如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为______． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为20，，则______，______． 16. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数，因为，所以是“和同数”．按照这个规定，最小的“和同数”是_______．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且被整除，则满足条件的正整数的和是_______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题8分，其余各题10分，共86分） 17. （1）因式分解：； （2）解方程：. 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 19. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 22. 如图，在菱形中，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动，当点P到达点D时停止运动，同时，动点Q以每秒个单位长度也从点B出发，沿着运动，P、Q两点同时停止运动．点E为直线上的一动点，满足．设点P的运动时间为x秒（），的面积为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围，（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； （3）将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在等边中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，现将绕点A逆时针旋转60度得到线段，连接，交于K，连接． （1）如图1，若，请用含α的式子表示，并说明理由； （2）如图2，过E作于点G，连接，延长至点H，使得，连接、，请用等式表示线段与的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，将沿翻折至，过作直线，点P是线段上一点，Q是线段上一点，且满足，若点D在直线上运动，当最大时，连接，当最小时，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $