第二十七章 相似 单元练习-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 一、单选题 1．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C． D．18 3．已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E，若，则的长为（    ）    A． B． C．2 D． 5．如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图所示，在中，，，，点O为BC上的点，的半径，点D是AB边上的动点，过点D作的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是矩形的边上的两点，相交于点，已知的面积为8，的面积为2，则矩形的面积为（    ） A．10 B．12 C．24 D．20 8．乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　　) A．(90－30)厘米 B．(30＋30)厘米 C．(30－30)厘米 D．(30－60)厘米 二、填空题 9．已知，且，则b的值为______． 10．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离是20cm，则两地的实际距离为______km． 11．已知四边形四边形，且相似比为，若四边形的周长为6，则四边形的周长为__________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，若的面积为，则的面积为__________． 13．如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为__________． 14．如图，在中，以为直径的分别交、于点、，且是的中点，过作，交于点，若，则的值为_________． 15．如图，五边形与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为．若五边形ABCDE的，面积为20cm2，那么五边形的面积为____cm2． 16．平行四边形中，为对角线，点为上一点，过点作直线交边于点，交于点，连结，若，，，，则的值为 ____________． 三、解答题 17．如图，是等边三角形，，求证． 18．如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明． 19．如图，甲楼高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号） 20．如图，菱形ABCD中，直线l过C点，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N.求证：. 21．某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板，保持斜边与地面平行，延长交于点G，如图，并沿着射线的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高为米，点F到旗杆底端的距离为12米，，，求旗杆的高度． 22．如图，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）． （1）将矩形各顶点的横、纵坐标都乘以2，写出各对应点A1B1C1D1的坐标；顺次连接A1B1C1D1，画出相应的图形． （2）求矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的面积的比　_________　． （3）将矩形ABCD的各顶点的横、纵坐标都扩大n倍（n为正整数），得到矩形AnBnCnDn，则矩形AnBnCnDn与矩形ABCD的面积的比为　_________　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】直接利用位似图形的性质得到对应点坐标乘以即可． 【详解】线段两个端点的坐标分别为，， 以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴端点D的坐标为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变化，正确把握位似图形的性质是解题关键． 2．D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例．根据题意可得，求得的长，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，把代入计算求解即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】先证出平行四边形是菱形，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可得，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：， ， ∵四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 5．C 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的对称轴即可判断①，证明，根据相似三角形的性质即可判断②，设 ，根据已知条件，结合含30度角的直角三角形的性质，进而可得 ，证明，可得，设 ， 则 ，根据，求得，进而即可判断③，根据，分别求得，即可求解．掌握菱形的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴对角线所在直线是菱形的对称轴， A与C关于对称， ，， 故①正确， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 故②正确， 菱形中，， ，，， 设 ， ， ， Rt中，， ， ， ， ， 设，则， ∴， 又， ， ， ， ， 故③错误， 中，， ∴， 中，， ， ， 中，， 中，， ， ， ， ， 故④正确， 故正确的为∶ ①②④．共3个 故选：C． 6．A 【分析】连接OE、OD，如图，根据切线的性质得到∠OED=90°，则DE=，所以当OD最小时，DE最小，利用垂线段最短得到当OD⊥AB时，OD最短，此时可证明△BOD∽△BAC，利用相似比OD的长，从而得到DE的最小值． 【详解】解：连接OE、OD，如图， ∵DE为⊙O的切线， ∴OE⊥DE， ∴∠OED=90°， ∴DE==， 当OD最小时，DE最小， 而当OD⊥AB时，OD最短， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5， ∴BC==3， ∵∠BDO=∠BCA，∠OBD=∠ABC， ∴△BOD∽△BAC， ∴OD：AC=BO：BA，即OD：4=：5，解得OD=2， ∴DE的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 7．C 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积，连接，先证明，再根据相似三角形的性质得出，再由，得出，从而得出，即可得解，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是矩形， ， ， ， 的面积为8，的面积为2， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．C 【详解】分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 详解：根据黄金分割点的概念得：AC=AB=（30-30）厘米． 故选C． 点睛：此题主要是考查了黄金分割点的概念，要熟悉黄金比的值是关键． 9．4 【分析】由题意设，，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】∵， ∴设，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：4 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 10．20 【分析】设实际距离为，然后根据比例尺的定义列出比例式求解即可． 【详解】解：设实际距离为， 由题意得，000， 解得000000， 2000． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了比例线段，主要是对比例尺的考查，熟记概念是解题的关键． 11．9 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比即可解答. 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴ ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为. 故答案为：. 12． 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点坐标确定位似比是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为： 故答案为： 13．7.5 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：． 14． 【分析】如图，连接，由题意知，ME为的中位线，是等腰三角形，有，证明，有，进而求出用表示的，得到的比值． 【详解】解：如图，连接 由题意知 ， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E为BC的中点 ∴ ∴ ∴ME为的中位线，是等腰三角形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似，等腰三角形，中位线，直径所对的圆周角是直角等知识．解题的关键在于正确的表示线段之间的数量关系． 15．5． 【详解】试题解析：∵五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为， ∴五边形A′B′C′D′E′的面积与五边形ABCDE的面积比为：1：4， ∵五边形ABCDE的面积为20cm2， ∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：5． 考点：位似变换． 16．/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，设，则，利用平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，求得，，设，则，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定与性质，求得，的关系式，求得，再利用相似三角形的性质，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．见解析 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了等边三角形的性质，首先利用等边三角形的性质构造相似条件，然后利用相似三角形的性质解决问题． 由是等边三角形得到，而，得到，由此可以证明，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：是等边三角形， ． ， ． 又， ． ， ， ， 即． 18．△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有3对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM． 【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM． 以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似． 19．甲楼的影子落在乙楼上有米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设于点F，那么在中，，解直角三角形可以求出的长，进而求得，即可求解，根据物高与影长的比为，得出的长是解题的关键． 【详解】设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度， 设于点F，那么在中，， ∵物高与影长的比为， ∴， ∴， ∴， 所以，甲楼的影子落在乙楼上有米． 20．证明见解析. 【分析】根据四边形ABCD是菱形得到CD∥AM，BC∥AN，AD＝CD＝BC＝AB，从而得出和，再变形即可. 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AM，BC∥AN，AD＝CD＝BC＝AB， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定及平行线分线段成比例定理，根据这个定理可以把线段的比进行转化． 21．旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 22．(1)画图见解析；（2）4：1；（3）（n+1）2：1． 【详解】试题分析：（1）根据题意得出对应点坐标进而画出图形； （2）利用已知图形求出两图形面积，进而得出其面积比； （3）利用横纵坐标变化得出相似比，进而得出矩形AnBnCnDn与矩形ABCD的面积的比． 试题解析：（1）如图所示： A1（2，2），B1（4，2），C1（4，6），D1（2，6）； （2）∵S矩形ABCD=1×2=2，S矩形A1B1C1D1=2×4=8， ∴矩形A1B1C1D1与矩形ABCD的面积的比：4：1； （3）∵将矩形ABCD的各顶点的横、纵坐标都扩大n倍（n为正整数），得到矩形AnBnCnDn， ∴两图形相似比为：（n+1）：1， ∴矩形AnBnCnDn与矩形ABCD的面积的比为：（n+1）2：1． 考点：作图-位似变换． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $