4.3公式法（平方差公式）教学设计2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第四章《因式分解》教学设计 4.3公式法（平方差公式） 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四 课题 公式法（平方差公式） 课时 1 课标要求 通过逆向思维理解平方差公式，准确识别平方差公式的特征，并能熟悉准确的进行因式分解，最终落实数学核心素养中的运算能力和推理能力。 教材分析 本节课的内容是九年级义务教育北师大版八年级下第四章——因式分解第三节——“运用公式法”（第一课时）。它主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得到因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式乘法运算之间的互逆关系。同时，本节课还体现了数学的“类比”思想，“整体”思想，“换元”思想等。这既是对前面是的应用，又是为后续学习做铺垫，因此，本节课在教材中起承上启下的重要作用。 学情 分析 学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生活动经验基础： 通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验． 核心素养目标 1、 了解平方差公式的几何背景，能用平方差公式进行因式分解。 2、了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。 3、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整。 4、在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。 教学重点 准确理解和掌握平方差公式的结构特征.会用平方差公式进行因式分解. 教学难点 符号与系数的处理、整体代换思想和和综合运用能力 教学 准备 课件、教案 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、课前检测 1、 计算： （1(a-2)(a+2) (2)(4s+t)(t-4s) (4) (2a+b-c)(2a-b+c） ①以上是什么运算？ ②它们都运用了什么运算公式？ 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 计算整式乘法（平方差公式的逆向运用） 学生通过计算、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力 二、引新 1、平方差公式逆运用 （1） 公式左边：是一个将要被分解因式的多项式 被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　）－（　） (2) 公式右边:是分解因式的结果 分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 通过整式乘法公式的逆向变形，我们可以把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法称为公式法 分析平方差公式的特征，理解整式乘法和因式分解的互逆性。 引导学生从课前检测的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法—公式法。 三、探究 对照平方差公式分解因式: 3、试一试 ，写一写 下列多项式能转化成（　）－（　）的形式吗？如果能，请将其转化成（　）－（　）的形式。 (1) m-81=m-9 (2) 1-16b=1-(4b) (3) 4m+9 不能转化平方差形式 (4) （3）ax-25y=(ax)-(5y) （5）-x-25y不能转化平方差形式 例题1、把25-16x, 、分解因式 解： 例题2：分解因式 小结： 1、 能写成( )-( )的式子，可以用平方差公式分解因式。 2、 公式中的a , b可以是单独的数字、字母、单项式、多项式。 3、 分解因式，有公因式时先“提”后“公”，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 操作与思考 如图4.2，在边长为acm的正方形纸片的4角各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积，当a=3.6,b=0.8,剩余部分的面积是多少？ 解：剩余部分的面积 当a=3.6,b=0.8, 1、 对照平方差公式尝试分解因式。 2、 讨论能用平方差公式分解因式的特点。 3、 自学例题1、2. 4、 完成思考与操作。 认识学习新的分解因式的方法——公式法。通过试一试、找一找，归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。出示2个例题进一步让学生理解平方差公式的子母a、b不仅可以表示数，而且可以表示单项式或多项式，引导学生体会多项式若含有公因式就先提公因式，然后进一步分解，直到不能再分解为止。设计思考与操作，让学生体会因式分解在现实生活中的便利。 五、尝试 基础达标： 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　D　) A.a+(-b) B.5m-20mn C.-x-y D.-x+9 2.因式分解1-a的结果是(  A  ) A.(1+a)(1-a)　 B.(1-a)　 C.(a+1)(a-1)　 D.(1-a)a 3.已知x-y=6，x-y=1，则x+y等于(　D　) A.2  B.3   C.4   D.6 4.因式分解x－9y的正确结果是( B ) A.(x+9y)(x－9y)  B.(x+3y)(x－3y)  C.(x－3y)   D.(x－9y) 5.把a﹣16分解因式，结果为　(a-4)(a+4)　. 6.已知m﹣n=16，m+n=6，则m﹣n=　 . 7.分解因式：m﹣16n； 能力提升： 8.下面的拼图能验证的等式是 . 拓展迁移 9． 先分解因式再求值： ，其中 10.阅读下列解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ac﹣bc=a﹣b，试判断△ABC的形状. 解：∵ac﹣bc=a﹣b，① ∴c(a﹣b)=(a+b)(a﹣b)，② ∴c=a+b，③ ∴△ABC为直角三角形. 问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号　　　　　　； (2)该步正确的写法应是　　　　　　； (3)本题正确的结论应是　　　　　　. 解：(1)上述解题过程，从第③步开始出现错误； (2)正确的写法为：c(a﹣b)=(a+b)(a﹣b)， 移项得：c(a﹣b)﹣(a+b)(a﹣b)=0， 因式分解得：(a﹣b)[c﹣(a+b)]=0， 则当a﹣b=0时，a=b； 当c﹣(a+b)=0时，a+b=c； (3)△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形. 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 1、因式分解的一个重要工具-----平方差公式 2、我们在进行因式分解时应注意的问题 首先提取公因式；然后考虑用公式；最终必是连乘式 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 用平方差公式分解因式 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是(　C 　) A.x+4y B.x﹣2y+1 C.﹣x+4y D.﹣x﹣4y 2.因式分解x－9y的正确结果是( B ) A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y) 3.已知x-y=6，x-y=1，则x+y等于(　 D 　) A.2 B.3 C.4 D.6 4.已知x-y=2，则x-y-4y= 4 . 5.若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1)﹣（b﹣1)的值为 12 ． 6.因式分解： 能力提升： 7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，将其剪成四个相同的等腰梯形（如图甲）。然后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算阴影部分的面积，可以验证成立的因式分解公式是 . 拓展迁移： 8.下列各式分解因式正确的有（ 2 ）个 9.老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述， (甲)：这是一个三次四项式； (乙)：常数项系数为1； (丙)：这个多项式的前三项有公因式； (丁)：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解.  解：答案不唯一，以下两个答案仅供参考； （1）x﹣x﹣x+1 =x(x﹣1)﹣(x﹣1) =(x﹣1)(x+1) （2）4x﹣4x﹣x+1 =4x(x﹣1)﹣(x﹣1) =(x﹣1)(2x+1)(2x﹣1) 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $