第9章 复数 章节复习提升 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第9章复数章节复习提升 知识点一、复数的概念与分类 1.复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2.复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式.其中,分别叫做复数的实部、虚部. 3.复数相等的充要条件: (1)且.) (2)且; (3)且.(.)(只有实数才能比较大小!) 4.复数的分类: 当时,是实数; 当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5.共轭复数 当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数记作. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 知识点二、复数的四则运算 1.复数的四则运算法则： (1) ; 满足交换律、结合律. (2) ; 加法的逆运算. (3) ; 满足交换律、结合律、分配律. (4) . 分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 知识点三、复数的几何意义 1.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴;显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 2.加减法的几何意义: 向量加、减法的平行四边形法则.. (1)的几何意义是复平面上两点间的距离,即. (2)复平面上的两点间的距离公式:. (3)当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. (4)当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3.复数的模(或绝对值): 向量的模叫做,记作|z|或; 知识点四、实系数一元二次方程 对于实系数一元二次方程,令,则 若; 若,则; 若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根:(虚根成对). 考点1：复数的概念与分类 【例1】【上海高考】设z，其中i为虚数单位，则Imz＝　　　　． 【答案】解：∵Z2﹣3i， ∴Imz＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【例2】【上海高考】设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（　　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】解：设z1＝1+i，z2＝i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2＝1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立， 若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时， 则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立， 故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件， 故选：B． 【例3】（2022春•松江区校级期末）设、、，则下列命题中的真命题为　　 A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【分析】由题意，利用复数的定义和性质，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：当为虚数时，由，不能推出，例如由，不能推出，故错误； 若，则不能推出为纯虚数，例如当时； 若，则或，正确，即正确； 若，则，错误，例如， 但，，，不满足， 故选：． 【点评】本题主要考查复数的定义和性质，通过举反例，来说明某个命题不成立，是一种简单有效的方法，属于基础题． 【跟踪训练】 1．【上海市大同中学2023届高三三模】若复数为纯虚数，则实数 ． 【答案】 【详解】复数，， 依题意，，解得， 所以实数. 故答案为： 2.（2024复兴高级中学阶高三段练习）若，则的虚部为____- 【解析】， 所以的虚部是. 3．【上海市金山区2023届高三上学期一模】已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则 . 【答案】 【详解】由题意， 因为实部和虚部互为相反数，所以，解得， 此时，则， 故答案为： 4．（2022春•闵行区校级期末）已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为 　　． 【分析】直接根据复数的概念可得，求解得再代入即可． 【解答】解：若复数是纯虚数， 可得， 解得，， 即， 则的虚部为， 考点2：复数的运算 【例4】（2024七宝中学高三模拟）已知复数z满足，则____ 【解析】令复数，则， 根据两个复数相等的条件有，解得，所以． 【例5】（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则z= ． 【答案】 【分析】先求，再把已知变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】， . 故答案为：. 【例6】（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 【答案】4 【分析】化简，进而求得. 【解析】 ， 所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·二模）已知复数（为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】根据复数的四则运算法则即可计算. 【详解】. 故答案为：. 2．（2024·上海杨浦·二模）计算 （其中为虚数单位）. 【答案】 【分析】根据复数除法运算进行运算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 3．【上海理科02】若复数z＝1+2i，其中i是虚数单位，则（z）•　　　　． 【答案】解：复数z＝1+2i，其中i是虚数单位， 则（z）• ＝（1+2i）（1﹣2i）+1 ＝1﹣4i2+1 ＝2+4 ＝6． 故答案为：6 考点3：复数的相等 【例7】【上海市奉贤区2023届高三上学期一模】已知，（为虚数单位），则 . 【答案】 【详解】因为，又, 所以，即. 故答案为：. 【例8】（2024大同中学高三模拟）已知a，，，则 . 【答案】6 【解析】，故，，得，，所以. 故答案为：6. 【跟踪训练】 1.（2024延安中学高三模拟）已知，且满足（其中为虚数单位），则 ． 【答案】2 【解析】由题意，可得， 所以，解得，所以. 故答案为：2 2．【上海市宝山区2023届高三二模】已知复数（其中为虚数单位），则实数 ． 【答案】 【详解】由题意可知，，解得, 所以实数. 故答案为：. 3．【上海市奉贤区2023届高三二模】已知，，且，是虚数单位，则 ． 【答案】 【详解】因，则. 故答案为：2 考点4：复数的坐标表示及几何意义 【例9】（2023春•杨浦区校级期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 　　． 【分析】由向量的运算知，从而可得对应的复数为，从而求得． 【解答】解：， 对应的复数为， 故点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义的应用，属于基础题． 【例10】【上海市静安区2023届高三上学期一模】已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， ∴复数在复平面内对应的点为， 由已知，在第二象限， ∴，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例11】（2022春•虹口区校级期末）在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 　　． 【分析】由题意设，，，，由，得，求得，再由数量积的坐标运算结合三角函数求最值． 【解答】解：由题意设，，，， 由，得， 整理得，，， ，可得， ，， 则 ， 的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题． 【跟踪训练】 1.（2024七宝中学高三模拟）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2．（2022春•长宁区校级期末）已知复平面上平行四边形的顶点、、的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是 　　． 【分析】由平行四边形的性质和向量的坐标运算，结合复数的几何意义，可得结论． 【解答】解：由平行四边形可得，，， 则向量所对应的复数是． 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质和向量的坐标运算，以及复数的几何意义，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 3．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 【答案】2 【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：2 4．【上海市奉贤中学2023届高三三模】复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得. 故答案为： 5.（2024闵行·三模）已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由复数满足，可得，则， 则复数 对应的点为位于第四象限. 故选：D. 6．【上海市长宁区2023届高三上学期一模】复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为 【答案】/ 【详解】由已知，， 所以，所以复数z在复平面上所对应的点Z为， 所以复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离为：. 故答案为：. 考点5：共轭复数 【例12】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可. 【详解】设，则， 由可得，所以，充分性成立， 当时，即，则，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例13】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A．若，则z为实数 B．若，则z为纯虚数 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】依题意由可知若可得，即A正确；若，可得，，即B正确；由可得，则z的取值有无数个；由可知，或，可得D正确. 【详解】由题意，设复数， 对于A，由，即，解得，所以复数z为实数，所以A正确； 对于B，复数，因为，可得，，所以复数z为纯虚数，所以B正确； 对于C，令，由整理得，则z的取值有无数个，所以C不正确； 对于D，由，可得，即， 解得或，所以，所以D正确. 故选：C. 【跟踪训练】 1．【上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模】在复平面内，复数z所对应的点为，则 ． 【答案】2 【详解】由题意可知 ，所以， 故答案为：2 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【解析】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 考点6：复数的模 【例14】【上海高考05】已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝　　　　． 【答案】解：由（1+i）z＝1﹣7i， 得， 则|z|． 故答案为：5． 【例15】已知，则 ． 【答案】5 【解析】假设， 则，， ∵， ∴①，②，③， ∴③-①-②得， ∴， ∴， 故答案为：5 【例16】【上海市浦东新区2023届高三三模】已知复数满足，则 ． 【答案】 【详解】设，则， 所以，解得， 当时，，故， ； 当时，，故， 故答案为：-8 【例17】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 对于A，令，，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，， 则，， 因此，C正确； 对于D，，D正确. 故选：A 【跟踪训练】 1．【上海市曹杨第二中学2023届高三三模】已知为虚数单位，复数，则 . 【答案】 【详解】由可得， 故， 故答案为： 2．【2017年上海05】已知复数z满足z0，则|z|＝　　　　． 【答案】解：由z0， 得z2＝﹣3， 设z＝a+bi（a，b∈R）， 由z2＝﹣3，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝﹣3， 即，解得：． ∴． 则|z|． 故答案为：． 3.（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则 . 【答案】 【解析】设，则， 由，， 得，解得， 所以， 故答案为：. 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）以下四个命题中所有真命题的序号是 ． （1）若、，则； （2）若、，则； （3）若、，，则，； （4）若、，，，则． 【答案】（1） 【分析】设出复数、，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数、，由复数的运算即可判断（3）、（4）. 【解析】设，对于（1），，则 ，（1）正确； 对于（2），， ，则，（2）错误； 对于（3），取，显然满足、，又，但，故（3）错误； 对于（4），取，显然满足、，又，但，故（4）错误. 故答案为：（1）. 考点7：实系数一元二次方程 【例18】的平方根为 【答案】 【解析】设所求复数为，由题意有，即， 则，解得或，即或， 即的平方根为， 故答案为. 【例19】【上海市嘉定区第一中学2023届高三三模】已知复数x满足方程，那么 . 【答案】 【详解】因为，则. 故答案为：. 【例20】（2024·上海黄浦·二模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围. 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以. 由. 故答案为： 【例21】【上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习】若复数是的一个根，则 . 【答案】 【详解】由题意得，设，， 则，即， 所以， 因为，所以，故， 故. 故答案为： 【例22】（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 【答案】或 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，利用韦达定理可求得的值；在第二种情况下，求出、的值，结合复数的模长公式可求得实数.综合可得出实数的值. 【解析】分以下两种情况讨论： （1）当时，即当时，由韦达定理可得，， ； （2）当时，即当时， 由可得，解得，， ，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1．【上海市格致中学2023届高三三模】在复数集中，若复数z满足，则 ． 【答案】 【详解】设，则，则，解得，或，所以或， 故答案为： 2．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由题意可将代入方程，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得，即得答案. 【详解】由题意是关于的实系数方程的一个根， 则，即， 即得， 故， 故答案为： 3．【上海市虹口区2023届高考一模】设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则 ． 【答案】2 【详解】将代入方程得：， 即，即， 所以，解得， 所以. 故答案为：2 4．（23-24高三下·上海·阶段练习）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】 因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 考点9：复数的三角形式 【例23】（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 　　． 【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 【例24】（2022春•浦东新区校级期末）复数的辐角主值是 　　． 【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值． 【解答】解：复数的模是，因为对应的点在第一象限且辐角的正切，它的辐角主值为， 三角形式为：， 所以复数的辐角主值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题． 【例25】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【跟踪训练】 1．（2022春•浦东新区校级月考）若复数为虚数单位），则　　． 【分析】化为复数的三角形式即可得出结论． 【解答】解：复数， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 3.（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 4.（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 5．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 【答案】 【分析】 求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【解析】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 6．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【答案】 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【解析】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 7．（2024·上海虹口·二模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用欧拉公式，复数的除法运算求出复数，再求出复数的模. 【详解】由欧拉公式得，因此化为， 则，即， 所以. 故选：A 考点9：与复数有关的最值问题 【例26】【上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟】若，则的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【详解】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆， 则. 故答案为： 【例27】（22-23高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】6 【分析】满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，结合图形与圆的性质即可求解. 【解析】根据复数的几何意义可知， 满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心， 以为半径的圆上， 的几何意义为圆上的动点 到的距离，如图： 当 三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大， 最大距离为， 故答案为：    【例28】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【解析】设，，，， 因为，， 所以，， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又表示点与的距离， 所以的最大值是， 故选：D. 【跟踪训练】 1.（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中， 所以的最小值为. 故选：B. 2.（2024·湖南长沙·三模）已知复数z满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：B 3.（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点， 而在复平面中对应的点不妨设为， 所以， 易知. 故选：B 4.（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】， 又， 即在复平面内，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又点到坐标原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：A. 5．【上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺（3）】已知复数，其中.则的最小值为 . 【答案】 【详解】在图中作出复数，和的位置，分别为点, 令复数所在复平面上的点为， 易得，所以四边形为平行四边形， 因为，所以四边形为菱形， ，，所以复数所表示的点在线段上（包括端点）， 因为四边形为菱形， 所以垂直平分，所以有. 于是由三角不等式，， 当且仅当，即时等号成立， 此时. 故答案为：4.    6．（21-22高一下·上海虹口·期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【解析】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 考点10：综合压轴 【例29】（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为实数，求； (2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据为实数得到虚部为，即可求出参数的值，从而得解； （2）首先表示出、，由向量垂直得到，根据数量积的坐标表示得到方程解得，即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 因为为实数，所以，解得，所以. （2）因为，在复平面上所对应的点为、， 所以、，则、， 因为，所以，解得， 所以. 【例30】（22-23高一下·上海杨浦·期末）设常数，已知关于的方程. (1)若，求该方程的复数根； (2)若方程的两个复数根为、，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法计算可得； （2）根据判别式的正负分类讨论后可得的值. 【解析】（1）若，则，即， 即，解得； （2）因为方程的两个复数根为、， 所以，， 若，即或 则， 故. 若，设，，则， 所以，， ， 又因为，所以，解得，所以， 所以． 综上， 【例31】（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【解析】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. 【例32】（2023春•徐汇区校级期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对，（其中，视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量． ①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当 时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，，求复数． 【分析】（1）利用题中定义进行计算； （2）①设，，代入化简计算而后作差进行证明； ②设，按照定义建立等式并且展开进而求出和． 【解答】解：（1）由题意，，； （2）①设，， ， 则 由于 ， 所以； ②设，结合①得， ， 令，化简得， 即，，． 【点评】本题主要考查复数相关性质，属难题． 【例33】（2022春•普陀区校级期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． （1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； （2）若，且点满足，求的重心所对应的复数； （3）若，，，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，，2，3，4，使得其所对应的复数满足，求证：，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数； （3）求得，说明，，，所对应的点，，，在单位圆上，再取值，说明，为单位圆的两直径，即可证明结论． 【解答】解：（1）复数是关于的方程的一个虚根，， 则△，，即实数的取值范围； 解方程得， 不妨令复数，另一根为， 故． （2）由可知，故， 设，则由得，，，即， 解得，故，故的重心为， 故． （3）证明：由于，，，则， 则，，，所对应的点，，，都在单位圆上， 又，则且， 不妨取，，，，，2，则，为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等， 则四边形为矩形，即，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于难题． 【例34】（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据所给的复数的条件，写出复数的实部和虚部满足的条件，根据要求是整数，列举出所有的情况，得到要求的集合，用列举法表示出集合． （2）表示出，根据它是一个纯虚数，得到实部和虚部与0的关系，得到关于三角函数的关系式，得到，之间的关系，表示出复数的模长，根据二次函数求出最值． （3）写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数． 【解答】解：（1） 由于，，得 ，，， ，． （2）若，则 若为纯虚数，则，， ， 当或时，． （3）对应点坐标为， 由题意，得 ，， ①当，时，得不成立； ②当，时，得，成立， 此时或， 故满足条件的整点为和． 【点评】本题考查复数的概念和模长的运算，本题解题的关键是根据所给的条件，表示出复数的意义，本题与其他的知识点结合，是一个综合题目． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第9章复数章节复习提升 知识点一、复数的概念与分类 1.复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2.复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式.其中,分别叫做复数的实部、虚部. 3.复数相等的充要条件: (1)且.) (2)且; (3)且.(.)(只有实数才能比较大小!) 4.复数的分类: 当时,是实数; 当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5.共轭复数 当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数记作. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 知识点二、复数的四则运算 1.复数的四则运算法则： (1) ; 满足交换律、结合律. (2) ; 加法的逆运算. (3) ; 满足交换律、结合律、分配律. (4) . 分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 知识点三、复数的几何意义 1.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴;显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 2.加减法的几何意义: 向量加、减法的平行四边形法则.. (1)的几何意义是复平面上两点间的距离,即. (2)复平面上的两点间的距离公式:. (3)当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. (4)当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3.复数的模(或绝对值): 向量的模叫做,记作|z|或; 知识点四、实系数一元二次方程 对于实系数一元二次方程,令,则 若; 若,则; 若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根:(虚根成对). 考点1：复数的概念与分类 【例1】【上海高考】设z，其中i为虚数单位，则Imz＝　　　　． 【例2】【上海高考】设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（　　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例3】（2022春•松江区校级期末）设、、，则下列命题中的真命题为　　 A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【跟踪训练】 1．【上海市大同中学2023届高三三模】若复数为纯虚数，则实数 ． 2.（2024复兴高级中学阶高三段练习）若，则的虚部为____- 3．【上海市金山区2023届高三上学期一模】已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则 .4．（2022春•闵行区校级期末）已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为 　　． 考点2：复数的运算 【例4】（2024七宝中学高三模拟）已知复数z满足，则____ 【例5】（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则z= ． 【例6】（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·二模）已知复数（为虚数单位），则 ． 2．（2024·上海杨浦·二模）计算 （其中为虚数单位）. 3．【上海理科02】若复数z＝1+2i，其中i是虚数单位，则（z）•　　　　． 考点3：复数的相等 【例7】【上海市奉贤区2023届高三上学期一模】已知，（为虚数单位），则 . 【例8】（2024大同中学高三模拟）已知a，，，则 . 【跟踪训练】 1.（2024延安中学高三模拟）已知，且满足（其中为虚数单位），则 ． 2．【上海市宝山区2023届高三二模】已知复数（其中为虚数单位），则实数 ． 3．【上海市奉贤区2023届高三二模】已知，，且，是虚数单位，则 考点4：复数的坐标表示及几何意义 【例9】（2023春•杨浦区校级期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 　　． 【例10】【上海市静安区2023届高三上学期一模】已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是 ． 【例11】（2022春•虹口区校级期末）在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 　　． 【跟踪训练】 1.（2024七宝中学高三模拟）若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2022春•长宁区校级期末）已知复平面上平行四边形的顶点、、的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是 　　．3．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 . 4．【上海市奉贤中学2023届高三三模】复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ． 5.（2024闵行·三模）已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．【上海市长宁区2023届高三上学期一模】复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为 考点5：共轭复数 【例12】（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例13】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A．若，则z为实数 B．若，则z为纯虚数 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练】 1．【上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模】在复平面内，复数z所对应的点为，则 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 考点6：复数的模 【例14】【上海高考05】已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝　　　　． 【例15】已知，则 ． 【例16】【上海市浦东新区2023届高三三模】已知复数满足，则 ． 【例17】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．【上海市曹杨第二中学2023届高三三模】已知为虚数单位，复数，则 . 2．【2017年上海05】已知复数z满足z0，则|z|＝　　　　． 3.（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则 . 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）以下四个命题中所有真命题的序号是 ． （1）若、，则； （2）若、，则； （3）若、，，则，； （4）若、，，，则． 考点7：实系数一元二次方程 【例18】的平方根为 【例19】【上海市嘉定区第一中学2023届高三三模】已知复数x满足方程，那么 . 【例20】（2024·上海黄浦·二模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 . 【例21】【上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟练习】若复数是的一个根，则 . 【例22】（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 【跟踪训练】 1．【上海市格致中学2023届高三三模】在复数集中，若复数z满足，则 ． 2．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 3．【上海市虹口区2023届高考一模】设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则 ． 4．（23-24高三下·上海·阶段练习）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 考点9：复数的三角形式 【例23】（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为 　　． 【例24】（2022春•浦东新区校级期末）复数的辐角主值是 　　． 【例25】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2022春•浦东新区校级月考）若复数为虚数单位），则　　． 2.（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值 6．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 7．（2024·上海虹口·二模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点9：与复数有关的最值问题 【例26】【上海市七宝中学2023届高三上学期元月模拟】若，则的最大值与最小值的和为 . 【例27】（22-23高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【例28】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（   ） A． B． C．7 D．8 【跟踪训练】 1.（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2.（2024·湖南长沙·三模）已知复数z满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为（    ） A．7 B．6 C． D． 5．【上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺（3）】已知复数，其中.则的最小值为 . 6．（21-22高一下·上海虹口·期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 考点10：综合压轴 【例29】（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为实数，求； (2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 【例30】（22-23高一下·上海杨浦·期末）设常数，已知关于的方程. (1)若，求该方程的复数根； (2)若方程的两个复数根为、，且，求的值. 【例31】（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【例32】（2023春•徐汇区校级期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对，（其中，视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量． ①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当 时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，，求复数． 【例33】（2022春•普陀区校级期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． （1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； （2）若，且点满足，求的重心所对应的复数； （3）若，，，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，，2，3，4，使得其所对应的复数满足，求证：，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【例34】（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． ，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $