第6章三角函数章节复习提升（提高）讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第7章三角函数章节复习提升（提高） 知识点一、 三角函数图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用 1、最小正周期：. 2、定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. 3、最值（以下） 4、单调性 5、对称轴与对称中心 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 6、平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 考点01：三角函数的图像 1. （24-25上外附中高一下期中）函数的初始相位为______. 2．（2026高三·全国·专题练习）用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3. （24-25上海中学高一下期中）已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 4．（2022•浙江高考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点　　 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（24-25高三下大同中学·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 6. （24-25南汇中学高一下期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 考点02：三角函数的定义域、值域（最值） 7. （24-25七宝中学高一下期中）函数的定义域为________． 8．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 9. （24-25复旦附中高一下期中）已知函数，的值域为________． 10.（24-25杨浦区高一下期中） 已知函数，则函数的最小值为_____. 11. （24-25浦东新区高一下期中） 函数的最小值为______. 12. （24-25光明中学高一下期中调研）函数的值域为________． 13. （24-25南汇中学高一下期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 14. （24-25复旦附中高一下期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 15. （24-25七宝中学高一下期中）已知函数． （1）求函数单调递减区间； （2）求函数，的值域． 考点04：三角函数的周期性 16. （24-25复旦附中高一下期中）函数的最小正周期为________. 17. （24-25大同中学高一下期中）若，则函数的最小正周期为____________． 18. （24-25建平中学高一下期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 18.（24-25复旦附中高一下期中）函数的最小正周期为________ 19. （24-25浦东新区高一下期中） 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 考点05：三角函数的奇偶性 20. （24-25华东政法大学附中高一下期中）“”是“是奇函数”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 21. （24-25复旦附中高一下期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 22. （24-25浦东新区高一下期中） 若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为________ 23．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 24.（24-25华东政法大学附中高一下期中） 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性. （2）若，求角.（用反三角符号表示） 考点06：三角函数的单调性 25. （24-25上海实验学校高一下期中）函数的严格增区间为______. 26. （24-25上海市西中学高一下期中）函数 在 上的单调递减区间为_____. 27.（24-25上外附中高一下期中）函数的单调递增区间为________. 28．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点07：三角函数的对称性 29. （24-25上海市西中学高一下期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 30.（24-25上海中学高一下期中）函数的图象的对称中心的坐标是___________. 31.（24-25南汇中学高一下期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 32．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则　　 A．1 B． C． D．3 33．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 考点08：根据条件确定解析式 34.（24-25大同中学高一下期中）函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________. 35. （24-25上外附中高一下期中）先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 36. （24-25复旦附中高一下期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 37. （24-25建平中学高一下期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 考点09：求参数的范围与最值 38. （24-25奉贤中学高一下期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 39. （24-25上海实验学校高一下期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 40.已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是_________ 41. （24-25上海中学高一下期中）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____. 42. （24-25复旦附中高一下期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 考点10： 函数零点(方程根)问题 43. （24-25上海市西中学高一下期中）已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是_____. 44. （24-25复旦附中高一下期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为________ 45. （24-25大同中学高一下期中）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 46. （24-25华东政法大学附中高一下期中）已知函数，则方程的所有实数解的和为__________. 47. （24-25上海实验学校高一下期中）若关于方程在上恰有两解，则的取值范围是______. 考点11：三角函数性质的综合 48.（24-25复旦附中高一下期中） 已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为1 C. 将的图象向左平移单位后得的图象 D. 将的图象向左平移单位后得的图象 49. （24-25建平中学高一下期中）已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 50. （24-25上海实验学校高一下期中）已知函数 （1）求的最小值； （2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； （3）当时，的值域为，求的值. 51.（24-25闵行六校联考高一下期中） 已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式，并写出其单调递增区间； （2）求函数在区间上的零点； （3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值. 考点12：新定义综合压轴题 52. （24-25杨浦区高一下期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 53. （24-25奉贤中学高一下期中）对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角章节复习提升 考点01：任意角与终边相同的角 1.（24-25大同中学高一下期中）下列命题中正确的是（    ）． A．第一象限角一定不是负角 B．钝角一定是第二象限角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角 2. （24-25光明中学高一下期中调研）已知角，则角的终边落在第 象限． 3. （24-25华东政法大学附中高一下期中）用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是__________. 4. （24-25七宝中学高一下期中）已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 考点02：角度制与弧度制互化 5.（24-25浦东新区高一下期中） ______弧度. 6．（22-23高一下·上海奉贤·月考）把写成的形式是 . 7．（24-25闵行中学高一下期中）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 考点03：扇形的弧长和面积 8. （24-25上海市西中学高一下期中）半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为_____. 9. （24-25大同中学高一下期中）已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为________. 10.（24-25七宝中学高一下期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 11.若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为_______ 12.在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 13. （24-25奉贤中学高一下期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（ ） A. B. C. D. 考点04：任意角的三角定义 14．已知角的终边上有一点P的坐标为，则的值为 . 15. （24-25南汇中学高一下期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________． 16. （24-25上海实验学校高一下期中）若，则______. 17.已知点在第三象限，则角的终边在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 18．已知，，则的终边一定不在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 考点05：同角三角基本关系 19.已知，，求，的值． 20. 已知角满足，则 ． 21. （24-25复旦附中高一下期中）已知，则___________. 22．若，则________ 23．已知，且，则 . 24．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 25.（24-25华东政法大学附中高一下期中） 已知关于的方程的两根为和. （1）求的值； （2）求和的值. 考点06：诱导公式 26. （24-25浦东新区高一下期中） 下列诱导公式中错误的是（ ） A. B. C. D. 27. 已知，且，则 ． 28. 计算： ． 29．已知 (1)求的值； (2)求的值． 考点07：已知角的正弦、余弦、正切值求角 30. （24-25光明中学高一下期中调研）已知，则__________.（用反余弦表示）. 31. 已知sin x＝. （1）当x∈时，求x的取值集合； （2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； （3）当x∈R时，求x的取值集合． 32. 已知cos x＝－， （1）当x∈[0，2π)时，，求x的取值集合； （2）当x∈R时，求x的取值集合． 33.已知tan α＝－. （1）若α∈，求角α； （2）若α∈R，求角α. 考点08：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 34.已知，，，是第三象限角，则 ． 35. （24-25华东政法大学附中高一下期中）已知，则__________. 36. （24-25浦东新区高一下期中） 已知，则______． 37. （24-25上海实验学校高一下期中）已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 38. （24-25南汇中学高一下期中）已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 39. （24-25上师大附中高一下期中）已知 . （1）求 的值; （2）求 的值. 40.（24-25上海市西中学高一下期中） 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值，并确定的大小. 考点09：二倍角公式与辅助角公式 41. （24-25复旦附中高一下期中）若，则________. 42. （24-25光明中学高一下期中调研）已知，且，则值是_________. 43.（24-25杨浦区高一下期中）已知，则_____________． 44.已知，则（   ） A． B． C． D． 45. （24-25光明中学高一下期中调研）若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 46．已知函数，，，则= ． 考点10：三角变换的应用 47.若，那么_____________. 48. 已知，则______． 49. 下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 50. 已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 51.已知角为钝角,为锐角,且,,求与的值 考点11：正弦定理与余弦定理 52. （24-25光明中学高一下期中调研）在中，若，，，则C的值为___________. 53.（24-25上师大附中闵行分校高一下期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 54. （24-25华东政法大学附中高一下期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 55.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 56. （24-25建平中学高一下期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 57. （24-25上师大附中闵行分校高一下期中）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 58. （24-25七宝中学高一下期中）中，设，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 考点12：解三角形 59.（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 60. （24-25上海实验学校高一下期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 61.（24-25闵行六校联考高一下期中） 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 考点13：解三角形的最值与范围问题 62. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 63．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． (1)求角的值； (2)求面积的取值范围． 64.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 65.已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 66.锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 67.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 68. （24-25上海中学高一下期中）记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 69. （24-25金山中学高一下期中）如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，记． （1）若，求PB的长； （2）用表示，并求的取值范围． 考点14：解三角形的应用 70.（24-25南汇中学高一下期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． （1）当米时，求分隔栏的长； （2）若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 71. （24-25杨浦区高一下期中）上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到) （1）若，求的长； （2）记，求人行道路长度的最小值. 72. （24-25上海市西中学高一下期中）如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 （1）试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. （2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第7章三角函数章节复习提升（提高） 知识点一、 三角函数图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用 1、最小正周期：. 2、定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. 3、最值（以下） 4、单调性 5、对称轴与对称中心 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 6、平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 考点01：三角函数的图像 1. （24-25上外附中高一下期中）函数的初始相位为______. 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 2．（2026高三·全国·专题练习）用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数五点法作图的基准点的坐标直接可得解. 【详解】分别令，，，，， 解得，，，，， 即五点的横坐标分别为，，，，， 故选：B. 3. （24-25上海中学高一下期中）已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解 【详解】因为的定义域为，且 ， 所以为奇函数， 故BD错误； 当时，令，易得， 解得， 故易知的图象在轴右侧的第一个交点为， 又，故C错误，A正确； 故选：A 4．（2022•浙江高考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点　　 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】 【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象． 故选：． 5．（24-25高三下大同中学·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可. 【详解】因为， 即图像上所有的点向右平移个单位， 又， 即上述图像再次向右平移个单位， 综上，为了得到的图象， 只要把上所有的点向右平行移动个单位长度. 故选：C 6. （24-25南汇中学高一下期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 【答案】 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 考点02：三角函数的定义域、值域（最值） 7. （24-25七宝中学高一下期中）函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 9. （24-25复旦附中高一下期中）已知函数，的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】， 因为，所以，则， 故答案为：． 10.（24-25杨浦区高一下期中） 已知函数，则函数的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 11. （24-25浦东新区高一下期中） 函数的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 12. （24-25光明中学高一下期中调研）函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则函数化成，其中，．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域． 【详解】解：设，则， ， 当时，；当时，； 因此，函数的值域是，． 故答案为：，． 13. （24-25南汇中学高一下期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用三角函数性质求出取值范围可得答案. 【详解】由题意，对任意，恒成立， 即恒成立， 因为，所以， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. （24-25复旦附中高一下期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为： 15. （24-25七宝中学高一下期中）已知函数． （1）求函数单调递减区间； （2）求函数，的值域． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 , 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 考点04：三角函数的周期性 16. （24-25复旦附中高一下期中）函数的最小正周期为________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期. 故答案： 17. （24-25大同中学高一下期中）若，则函数的最小正周期为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 18. （24-25建平中学高一下期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【答案】 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案： 18.（24-25复旦附中高一下期中）函数的最小正周期为________ 【答案】 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 19. （24-25浦东新区高一下期中） 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 考点05：三角函数的奇偶性 20. （24-25华东政法大学附中高一下期中）“”是“是奇函数”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 21. （24-25复旦附中高一下期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 22. （24-25浦东新区高一下期中） 若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为________ 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，根据其为偶函数可得对称轴等于，结合即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 可得：， 因为函数是上的偶函数， 所以，可得， 因为，所以时，， 故答案为：. 23．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ． 【答案】/ 【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值. 【详解】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 24.（24-25华东政法大学附中高一下期中） 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性. （2）若，求角.（用反三角符号表示） 【答案】（1）偶函数；证明见解析 （2） 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断； （2）可以先化简内解析式，利用反正弦函数可求得角，再由偶函数可求得另一个解. 【小问1详解】 为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称，， ，为偶函数. 【小问2详解】 ，当， ， 是偶函数， 考点06：三角函数的单调性 25. （24-25上海实验学校高一下期中）函数的严格增区间为______. 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 26. （24-25上海市西中学高一下期中）函数 在 上的单调递减区间为_____. 【答案】 【分析】由，计算结合条件可求单调递减区间. 【详解】由，可得， 又，所以的单调递减区间为. 故答案为：. 27.（24-25上外附中高一下期中）函数的单调递增区间为________. 【答案】 【分析】根据正切函数的单调增区间为，即可求解. 【详解】令， 解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为 【点睛】本题主要考查了正切型函数的单调区间，属于中档题. 28．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 考点07：三角函数的对称性 29. （24-25上海市西中学高一下期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 30.（24-25上海中学高一下期中）函数的图象的对称中心的坐标是___________. 【答案】， 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 31.（24-25南汇中学高一下期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 32．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则　　 A．1 B． C． D．3 【答案】 【解析】函数的最小正周期为， 则，由，得，， 的图像关于点，中心对称，， 且，则，． ，，取，可得． ，则． 故选：． 33．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值. 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 考点08：根据条件确定解析式 34.（24-25大同中学高一下期中）函数的振幅是，最小正周期是，初始相位是，则它的函数表达式为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的性质直接可得解. 【详解】由已知函数的振幅，初始相位， 最小正周期， 又，则， 故答案为：. 35. （24-25上外附中高一下期中）先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像的伸缩变换和平移规则即可得出解析式. 【详解】周期扩大为原来的倍即是横坐标扩大为原来的倍,可得, 再将新函数的图像向右平移可得,所得图像的解析式为. 故选:A 36. （24-25复旦附中高一下期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 【答案】 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 37. （24-25建平中学高一下期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 考点09：求参数的范围与最值 38. （24-25奉贤中学高一下期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 39. （24-25上海实验学校高一下期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案. 【详解】由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得. 所以的取值范围为 故答案为： 40.已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是_________ 【解析】时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则：满足，解得，即实数的取值范围是. 41. （24-25上海中学高一下期中）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可； 【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，.求得，则的取值范围为. 故答案为：. 42. （24-25复旦附中高一下期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【答案】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 考点10： 函数零点(方程根)问题 43. （24-25上海市西中学高一下期中）已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象及性质分析即可求解. 【详解】由图可知，关于的方程，对任意的都至少有2个不同解， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 44. （24-25复旦附中高一下期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为________ 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简可得，将问题转化为直线在上的图象有两个不同的交点，再根据正弦型函数图象对称性即可求解. 【详解】因为， 所以， 关于方程在上有两个不同的实数解， 即直线在上的图象有两个不同的交点， 设关于的方程两相异实数根为， 因为函数的图象在区间上的对称轴为， 所以. 故答案为： 45. （24-25大同中学高一下期中）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 46. （24-25华东政法大学附中高一下期中）已知函数，则方程的所有实数解的和为__________. 【答案】12 【分析】分析两个函数性质，发现都关于对称，且在区间和内各存在两解， 结合对称性可得方程的所有实数解的和. 【详解】函数，当时，，所以的图象关于对称； 函数，由反比例函数性质可知，的图象关于对称， 容易发现在区间内，存在一解，即， 而在内，均单调递减，又，， ，故区间内必有一解使得， 在同一平面直角坐标系中作出图象如图所示： 容易发现在区间和内，各存在两解，从小到大不妨设为， 由对称性可知，关于对称，关于对称， 即，故方程的所有实数解的和为. 故答案为：12. 47. （24-25上海实验学校高一下期中）若关于方程在上恰有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简方程，再令，结合三角函数在上的单调性可将方程有解问题分三种情况讨论，方程在内存在两个相等根、方程两个不等实根都在上、两个不等实根一个在上，一个取，分类讨论即可. 【详解】因， 则方程在上有两解， 令，且其在上单调递增，在上单调递减， ①若方程存在两个相等根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在内存在两个相等根， 因一元二次函数对称轴， 则方程在内不可能存在两个相等根； ②若方程存在两个不相等实根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在上存在两个不相等实根， 若方程两个不等实根都在上， 则，解得； 若方程两个不等实根一个在上，一个取， 则，得， 则，两根分别为，不符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为： 考点11：三角函数性质的综合 48.（24-25复旦附中高一下期中） 已知，，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为1 C. 将的图象向左平移单位后得的图象 D. 将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 49. （24-25建平中学高一下期中）已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【小问1详解】 当时, , 当时, ,则, 故, 因此 【小问2详解】 当时 , 故即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 50. （24-25上海实验学校高一下期中）已知函数 （1）求的最小值； （2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； （3）当时，的值域为，求的值. 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得：. 因为，所以的最小值为. 【小问2详解】 由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 【小问3详解】 当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 51.（24-25闵行六校联考高一下期中） 已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式，并写出其单调递增区间； （2）求函数在区间上的零点； （3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值. 【答案】（1），单调递增区间为； （2）、、；（3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式； （2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点； （3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，. 令，即， 即函数的图象的对称轴方程为. 由于函数图象一条对称轴方程为，， ，，，则，因此，. 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数. 再将所得函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数. 令，即，化简得， 得或. 由于，当时，；当时，或. 因此，函数在上的零点为、、； （3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，由于，， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，由于，， 此时，； 当时，函数在区间上单调递减， 所以，，， 此时，. 所以，. 当时，函数单调递减，； 当时，函数单调递增，此时； 当时，，当时，. 综上所述：. 【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题. 考点12：新定义综合压轴题 52. （24-25杨浦区高一下期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】（1）不是； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【小问1详解】 由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. 【小问2详解】 由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； 小问3详解】 由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 53. （24-25奉贤中学高一下期中）对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数公式，确定一组，即可说明； （2）根据类对称函数的定义，代入公式，根据等式成立的条件，列式求解； （3）根据“类对称函数”的定义，结合所需要满足的式子，从充分性和必要性分别证明. 【小问1详解】 是，理由如下： 存在，，对任意的，都有，且恒成立， 所以函数“类对称函数”. 【小问2详解】 由题意知， 即（*）恒成立， 令，得，令，得， 又且时（*）恒成立， 所以，又，所以或. 【小问3详解】 充分性： 当且时，， ， 所以函数是“类对称函数”： 必要性： 若函数是“类对称函数”， 则， 即①恒成立； 下用反证法证明：若，因为，， 所以，所以， 故足够大时，一定会超过，①式不成立， （事实上，可以取）， 此时①式为② 令，得，令，得， 则，解得，从而或， 当时，②式左边为不是定值，因此②式不恒成立， 当时，②式为，此时， 综上所述，函数是“类对称函数”的充要条件是“ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角章节复习提升 考点01：任意角与终边相同的角 1.（24-25大同中学高一下期中）下列命题中正确的是（    ）． A．第一象限角一定不是负角 B．钝角一定是第二象限角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角 【答案】B 【分析】对于ACD，利用象限角、负角与锐角的定义，举反例排除即可；对于B，利用钝角与象限角的定义判断即可. 【详解】对于A，令，显然是第一象限角，同时也是负角，故A错误； 对于B，不妨设是钝角，则，所以一定是第二象限角，故B正确； 对于C，令，显然是小于的角，但不是锐角，故C错误； 对于D，令，显然是第一象限角，但不是锐角，故D错误. 故选：B. 2. （24-25光明中学高一下期中调研）已知角，则角的终边落在第 象限． 【答案】三 【分析】根据终边相同的角的表示，将化为，即可判断答案. 【详解】由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内， 故答案为：三 3. （24-25华东政法大学附中高一下期中）用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是__________. 【答案】 【分析】根据终边上角的定义即可求解. 【详解】终边在直线上的所有角组成的集合为， 故答案为： 4. （24-25七宝中学高一下期中）已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解； 【详解】因为，与的终边关于原点对称， 所以的终边对应的角度范围为， 的取值范围为. 故答案为：. 考点02：角度制与弧度制互化 5.（24-25浦东新区高一下期中） ______弧度. 【答案】## 【解析】 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 6．（22-23高一下·上海奉贤·月考）把写成的形式是 . 【答案】 【分析】将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可． 【详解】因为 所以. 故答案为：. 7．（24-25闵行中学高一下期中）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 【答案】 【分析】直接利用象限角的表示方法写出结果即可得. 【详解】第二象限的角的集合可表示为. 故答案为：.. 考点03：扇形的弧长和面积 8. （24-25上海市西中学高一下期中）半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积和弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，圆心角为， 则扇形的面积为， 所以，所以. 故答案为：. 9. （24-25大同中学高一下期中）已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接可得解. 【详解】由已知扇形圆心角， 则扇形面积， 解得扇形半径， 故答案为：. 10.（24-25七宝中学高一下期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 11.若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为_______ 【详解】，. 12.在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出示意图如图所示：由题意可得，，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.故选：B． 13. （24-25奉贤中学高一下期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 考点04：任意角的三角定义 14．已知角的终边上有一点P的坐标为，则的值为 . 【答案】 【详解】.故答案为：. 15. （24-25南汇中学高一下期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件求，再根据三角函数定义求，，根据二倍角正弦公式求结论. 【详解】因为角的终边与单位圆交于第三象限内的点， 所以，且， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 16. （24-25上海实验学校高一下期中）若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】若，得到，则，又，则，则. 故答案为：. 17.已知点在第三象限，则角的终边在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【详解】因为点在第三象限，所以，，所以的终边在第四象限. 故选：D. 18．已知，，则的终边一定不在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【详解】因为，，则为第三象限角，即，， 故，，即的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限. 故选：C. 考点05：同角三角基本关系 19.已知，，求，的值． 【答案】， 【分析】先通过角所在象限确定三角函数的符号，进而利用同角三角函数基本关系计算即可. 【详解】因为，所以，， 且，而， 解得，. 20. 已知角满足，则 ． 【答案】 【解析】， 分子分母同时除以，原式， 故答案为：． 21. （24-25复旦附中高一下期中）已知，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】用替换分母中的“1”，化为二次齐次式，再转化为，解方程可得． 【详解】由得， ， 故答案为：3． 22．若，则________ 【详解】因为，所以， 可得. 23．已知，且，则 . 【答案】 【详解】由已知得， 则，所以.故答案为：. 24．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以，则，故选：B 25.（24-25华东政法大学附中高一下期中） 已知关于的方程的两根为和. （1）求的值； （2）求和的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【小问1详解】 由韦达定理得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 考点06：诱导公式 26. （24-25浦东新区高一下期中） 下列诱导公式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 27. 已知，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以，由，得， 所以． 故答案为： 28. 计算： ． 【答案】1 【详解】由诱导公式可得，，， 所以.故答案为：. 29．已知 (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）由， 得，所以. （2）. 考点07：已知角的正弦、余弦、正切值求角 30. （24-25光明中学高一下期中调研）已知，则__________.（用反余弦表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据反余弦函数可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 31. 已知sin x＝. （1）当x∈时，求x的取值集合； （2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； （3）当x∈R时，求x的取值集合． 【提示】注意尝试借助单位圆与正弦线及所给角的范围求解； 【解析】（1）依据单位圆与正弦线，由sin ＝，∴x＝，∴是所求集合． （2）∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin＝， ∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π， ∴x的取值集合为. （3）当x∈R时，x的取值集合为： . 32. 已知cos x＝－， （1）当x∈[0，2π)时，，求x的取值集合； （2）当x∈R时，求x的取值集合． 【提示】解答本题可先求出x∈[0，2π)的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合； 【解析】（1）由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos＝－cos ＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos＝－cos ＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝. 故所求角的集合为 （2）方法1：结合单位圆与三角函数线，得x＝2kπ＋或x＝2kπ＋ 所求x值的集合是：; 方法2：直接套结论 . 33.已知tan α＝－. （1）若α∈，求角α； （2）若α∈R，求角α. 【提示】尝试由单位圆与正切线及角的范围及给值求角的步骤求解． 【解析】（1）由单位圆与正切线，符合条件tan α＝－的角只有一个，即α＝－． （2）α＝kπ－ (k∈Z)． 考点08：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 34.已知，，，是第三象限角，则 ． 【答案】 【详解】由，，则， 由，是第三象限角，则， 所以. 故答案为；. 35. （24-25华东政法大学附中高一下期中）已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 36. （24-25浦东新区高一下期中） 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 37. （24-25上海实验学校高一下期中）已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 由， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 38. （24-25南汇中学高一下期中）已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 都锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 39. （24-25上师大附中高一下期中）已知 . （1）求 的值; （2）求 的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 因 ， ，所以 ， 又 ， 所以 ，又 40.（24-25上海市西中学高一下期中） 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值，并确定的大小. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由解得，由求出，利用两角差的余弦公式求解的值； （2）由，求出，再求，利用两角差的正切公式计算的值，并得到的大小. 【小问1详解】 ，由，，， 又，，， . 【小问2详解】 由（1）可知，，， ， ，. 考点09：二倍角公式与辅助角公式 41. （24-25复旦附中高一下期中）若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 42. （24-25光明中学高一下期中调研）已知，且，则值是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解. 【详解】因为，且， 所以，则， 所以. 故答案为：. 43.（24-25杨浦区高一下期中）已知，则_____________． 【答案】 【解析】 分析】利用二倍角公式和诱导公式计算. 【详解】，则. 故答案为：. 44.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则.故选：C. 45. （24-25光明中学高一下期中调研）若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 【详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 46．已知函数，，，则= ． 【答案】 【详解】由题可知：， 又，，所以为函数的最大值， 所以，则，所以 故答案为： 考点10：三角变换的应用 47.若，那么_____________. 【答案】 【详解】若， ，，， 那么， 故答案为：． 48. 已知，则______． 【详细解析】（方法一  积化和差） 由，得． （方法二  和差化积） ． （方法三）因为 ，所以． 49. 下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由和差化积公式可知： ， ， ， 因此选项C正确，故选：C 50. 已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：由和差化积公式，得， ，两式相除，所以. 所以.故选：B． 51.已知角为钝角,为锐角,且,,求与的值 【解析】因为角为钝角,为锐角,且,,所以,. 所以. 又因为,且,所以,即. 所以； 方法1、由,得，所以； 方法2、由，得. 所以 考点11：正弦定理与余弦定理 52. （24-25光明中学高一下期中调研）在中，若，，，则C的值为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 53.（24-25上师大附中闵行分校高一下期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 54. （24-25华东政法大学附中高一下期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 55.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【解题思路】根据余弦定理计算直接得出结果. 【解答过程】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A. 56. （24-25建平中学高一下期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案： 57. （24-25上师大附中闵行分校高一下期中）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及正弦定理得，化简即可得，由，则有，即可得出答案. 【详解】由题干条件和正弦定理可得， 又因为在中，，所以， 所以上述等式可化为， 即，又，即， 所以，故为直角三角形. 故选：B. 58. （24-25七宝中学高一下期中）中，设，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可得出结论. 【详解】由得 整理得,因为, 所以 所以 所以 又因为,所以,即. 所以为等腰三角形. 故选:C. 考点12：解三角形 59.（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 60. （24-25上海实验学校高一下期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【小问1详解】 由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 61.（24-25闵行六校联考高一下期中） 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到； （2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长. 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得， ， 所以， 又， 所以49= ， 故， 所以. 考点13：解三角形的最值与范围问题 62. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，， 所以， 即， 则，又，所以． （2）由余弦定理，得（当且仅当时，取“” ， 从而， 所以的面积取得最大值． 63．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． (1)求角的值； (2)求面积的取值范围． 【详解】（1）由条件，可得， 由正弦定理，得，所以， 所以，因为，所以． （2）由正弦定理，可知， ， ∵，∴，∴. 64.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得． 因为，所以sinA＞0，所以， 所以，因为， 所以，即． （2）依题意，即ac＝4． 所以当且仅当时取等号． 又由余弦定理得 ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为． 65.已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1） 【解析】（1）因为， 所以， 即， 所以，整理可得， 所以可得， 因为，可得，， 所以，可得． （2）由正弦定理，且，， 所以，； 所以． 因为为锐角三角形， 所以得，解得． 所以； 即周长的取值范围是. 66.锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）设外接圆的半径为，得到，得到，由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，求得的范围，进而求得的周长的取值范围. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 67.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 68. （24-25上海中学高一下期中）记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用和角公式化简求得，即得； （2）由余弦定理，结合基本不等式和条件可得，再由正弦定理求得外接圆半径的最小值即可. 【小问1详解】 由整理得：， 由正弦定理，可得 即， 因为，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则． 故外接圆面积的最小值为． 69. （24-25金山中学高一下期中）如图，是边长为2的正三角形，P在平面上且满足，记． （1）若，求PB的长； （2）用表示，并求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求得，，再利用余弦定理求解即可； （2）先根据题意得到，则，再利用正弦定理得到，再结合三角形的面积公式得到，再根据三角形的内角关系得到，再结合正弦函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由，且是边长为2的正三角形， 则，且， 所以在中， 由余弦定理得， 所以． 【小问2详解】 由，则，则， 在中，由正弦定理有，得， 所以 ， 又，且， 则，则， 所以，则， 故的取值范围为． 考点14：解三角形的应用 70.（24-25南汇中学高一下期中）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． （1）当米时，求分隔栏的长； （2）若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求； （2）在中，由正弦定理可得，继而得到即可求面积最大值. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理，，解得，. 【小问2详解】 在中，，，由正弦定理， ，所以， 当，即时，. 71. （24-25杨浦区高一下期中）上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到) （1）若，求的长； （2）记，求人行道路长度的最小值. 【答案】（1）米； （2）米. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合已知求其长度即可； （2）由题意可得，应用二倍角正切公式、基本不等式求最小值，注意及取值条件，即可得. 【小问1详解】 由，又， 且，，则， 所以米； 【小问2详解】 由题设，知 ， 由在的中点到之间运动（含端点），故， 而，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为米. 72. （24-25上海市西中学高一下期中）如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 （1）试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. （2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1），，； （2）；. 【解析】 【分析】（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边； （2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解. 【小问1详解】 在种，由已知可得，， 由正弦定理可知，， 则整理可得：，， 面积. 【小问2详解】 因为，当有最大值时，三角形的面积最大， 由已知及余弦定理，可得 则，即，此时，，为等腰三角形，， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $