精品解析：福建宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

福鼎四中2025-2026学年第二学期高三开学考数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. -12 D. -8 4. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 已知点在圆上，点，当最大时，则（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱与圆锥高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 13. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 14. 定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为．求的周长． 16. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 3028 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 17. 如图，已知四棱锥中是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值． 18. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. （1）求双曲线方程； （2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第二学期高三开学考数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集、子集的定义，即可求解. 【详解】由，则，元素个数为3个， 则集合的子集个数为个； 故选：C 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若复数满足， 则， 故复数的虚部为. 3. 展开式中常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. -12 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】将给定式子变形，再结合二项式定理求解作答. 【详解】因， 则展开式的通项公式为， 由解得，所以展开式中的常数项为. 故选：B 4. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 5. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个取值所对应的概率，再求方差. 详解】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 7. 已知点在圆上，点，当最大时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列， 设，则，去掉后，新数据为共8个数. 选项A：原极差：，  新极差：， 极差变小，A正确； 选项B：原平均数：，  新平均数：，平均数不变，B错误； 选项C：原平均数和新平均数均为， 原方差 新数据的方差 所以方差变小，C正确； 选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数 新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均， 百分位数变大，D错误. 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D. 【详解】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____， 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为，则其体积，根据两者的高和半径的比得到体积之比，再由圆锥的体积为1，得到圆柱的体积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为， 则其体积，所以， 所以. 答案为： 13. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而求得，利用可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 14. 定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为．求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简即可； (2)根据面积公式结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由可得， 解得或（舍），故. 又为内角，故. 【小问2详解】 ，则，解得. 由余弦定理可得， 解得. 故的周长为. 16. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）经验回归方程的拟合效果不良好 【解析】 【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可； （2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望； （3）求出代入公式，即可得到答案. 【小问1详解】 ， ， 因为，即， 解得. 【小问2详解】 5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. 【小问3详解】 ， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 17. 如图，已知四棱锥中是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点构造中位线，结合已知的平行与边长关系证明平行于平面内的直线，再利用线面平行的判定定理证明结论； （2）取中点找垂线确定二面角平面角，通过解三角形求角度； （3）设，用表示出坐标，求出平面的法向量，结合线面角的向量计算公式列方程求解，得到的值. 【小问1详解】 证明：设中点为，连接，， ，分别为，中点， 且 ， 且， 即四边形为平行四边形， ，又面，面， 面. 【小问2详解】 证明：取中点为，连接，， 由等腰三角形得：， 因为，所以，又，， 为平面与平面所成二面角的平面角， ，，， 设，则，，，，则， 二面角的大小为. 【小问3详解】 由（2）知，又由可得， ，面， 所以平面，如图建立空间直角坐标系， 则  ， 设， 设平面的法向量为， 则，可取， 得到， 令与平面所成角为， 则， 得，解得或（舍去）．故． 18. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. 【小问2详解】 ，由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问3详解】 由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 19. 过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. （1）求双曲线方程； （2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知可得出，利用点到直线的距离公式可得出，再利用、、的关系求得的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，则，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出，由可求得的值； （ii）由已知可得，令，可得出，利用导数求出函数的值域，即可得出的最小值. 【小问1详解】 解：双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 双曲线上一点到渐近线距离之积， 即，又，， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 解：（i）设直线方程，则，设点、， 联列方程组，可得， 由题意可得且恒成立， 又，， 直线的方程为，令，有， 即，同理， 直角三角形中，设直线交轴于点， 因，则， 所以，，所以，， 则 ， 即， 当时，因为，可得； （ii）由（i）知：，从而， 令，则， 则 ，则， 当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $