福建省多校2025-2026学年高三下学期2月开学联考数学试卷

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知向量a=(t+1,一2)，b=(4,t),且a⊥b,则t= A.-3 B号 C.-2 D.2 2.设集合A={x|Wx<2},B={一4，一2,0,1,2,4,5}，则A∩B的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.设复数之在复平面内对应的点为（一3,2），则|x(1十i)= A.6 B.√26 C.4 D.26 4.已知等比数列{a,}与等差数列{b.}满足a1a2ag=64,b1十b2十b。=18,则cosb2十6 A B、I 2 C 2 D、③ 2 已知F,P2分别是椭圆C:十1(a>b>0)的左、右焦点，M为C上一点，ME |MF2|=10,且MF1⊥MF2,则C的离心率为 A号 R写 c D.6 6.某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过 频率/组距 完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积 0.025 分（单位：分）.为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与后0.020 续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第80百分位数0.010 0.015 定为核心资格门槛线.活动结束后，平台从10万参与者中随0.005 机抽取100人的积分数据，将所得数据按照[40,50)， 0405060708090100积分/分 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.据此， 以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为 A.84分 B.85分 C.86分 D.82分 【高三数学第1页（共4页）】 7.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=1og2(x+1)+x2+4x,则不等式 f(x)>23的解集为 A.(3,+∞) B.(-3,3) C.(-3,0)U(3,+∞) D.(-o,-3)U(3,+o∞) 8.在高为5的正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1=4√3，D,E,F分别为侧棱AA1,BB1, CC1的中点，记平面ABF、平面BCD、平面ACE交于点O,则三棱台ABC-A1B1C1与三棱 锥O-ABC的体积之差为 A.323 B.283 C.313 D.273 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题是真命题的是 15 A.√x+二的最小值为2√15 B.“a>6”是“a2>6”的必要不充分条件 C.“Hx∈R,x2>1-7x”的否定是“3x∈R,x2≤1-7x” D.函数f(x)=(x一1)a-2+1(a>0且a≠1)的图象必过点(1,1)和(2,2) 10.已知函数f(x)=sin(2x十)，g(x)=cos(2x+),则 A当f(a-无)=3时，os4u=- 3 Bfx)在（语，）上的值域为(2] C.g(x)的单调递减区间为一20十kπ，20 +kx](k∈D D,将f(x)的图象向左平移牙个单位长度，可得g(x)的图象 11.若mm-m=(em-1)lnn,则 A.当m>0时，m=lnn B.当0<n<1时，m<0 C.当m>0时，n2十2m+3>4n D.3n∈(0，十∞)，(m-n+1)2=0.01 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若tan(a十B)=5,tan(3-y)=3,则tan(a+Y)= 13.已知圆C的半径为5，且圆心C与抛物线2：x2=16y的焦点关于2的准线对称，直线3x+ 4y+28=0与C相交于P,Q两点，则|PQ=▲ 14.如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中 各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个 圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字)，且这5个数字之积为0，然 后将这5个数字排成一个5位数，则共有 种情况（在排5位数的过程中，若数字 相同，但来自不同的圆也视为不同的情况)， 00000 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B+bcos A=19 3 ccos A. (1)求cosA; (2)若a=c=5,求b. 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA=PC=2√5，AB=AC=4,PB=6,M,N分别是 AP,AC的中点，E为BP上靠近点B的四等分点，F为BC上靠近点B的四等分点. (1)证明：M,N,E,F四点共面 (2)证明：平面PAC⊥平面ABC (3)求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值， 17.(15分) 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次 挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功.已知成员M在每次挑战中调试第一段代 码成功的概率为子若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概 率为子：若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为2 (1)求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率， (2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码 中的一段可获50元奖励.若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互 独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量X,求X的数学期望E(X). 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) y2 女曲线C1(a>0,b>0)上的点与坐标原点0之间距离的最小值 P(22,t)在C上，且|OP|=13. (1)求C的标准方程， (2)过点T(一3,0)的直线l交C于异于顶点的A(x1,y1),B(x2,y2)两点，且x1>0,x2< 0,设C的左、右顶点分别为D,E,直线AD与BE交于点H. (ⅰ)证明：点H在定直线上. (i)证明：∠HTE=∠BTH, 19.(17分) 已知函数f(x)=ta一(x-1)2(a>0且a≠1). (1)当a=e,t=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程. (2)当a=号，t=1时，记6，=f(n)十2+ln(1+）,S。为数列{b,}的前n项和，证明：S1m 6 <10011. (3)当a=e,t=e时，函数g(x)=f(）+(-1)‘+lnx-k有两个零点x1,x2.证明： x1+x2>2k. 【高三数学第4页（共4页）】高三数学参考答案 1.C由题意知a·b=4t十4-2t=0,解得t=-2. 2.B因为A={x|0≤x<4},所以A∩B={0,1,2},则A∩B的元素个数为3. 3.B根据题意可得z=-3+2i,则z(1+i)=(-3+2i)(1+i)=-3-3i+2i+2=-5-i,所 以|x(1+i)川=/26 4.A由a2a4a6=64,得a=64,解得a4=4.由b1十b2十b6=18,得3b3=18,解得b3=6,所以 |F1F2 。根据题意可得下F=0+子=55，所以C的离心率e=“M十ME三 5.B 55=5 5+103 6.A(0.010+0.015+0.020+0.025)×10=0.7<0.8<(0.010+0.015+0.020+0.025×2) ×10=0.95,所以第80百分位数位于[80,90)内，不妨设第80百分位数为x分，则0.7十(x -80)×0.025=0.8,解得x=84. 7.D因为函数y=log2(x十1)与y=x2+4x在[0，十∞)上单调递增，f(x)是偶函数，所以 f(x)在（一∞，0）上单调递减.f(3)=1og24+3+4×3=23,则不等式f(x)>23的解集为 (-∞，-3)U(3,+∞). 8.C如图，设AF∩CD=P,BF∩CE=H,连接PH,AH,BP,DF, B 易知AHnB即=Q直AB=2AB,=45,得DF=3v5,所以裙 =是则货=号同理得器=号所以器=号品号所以0 到底面ABC的距离d=品×兰×号×5=1.三棱台 ABCA,BC的体积为号×5X(×12+×48+ √9×12×号×)=5，三校维0AC的体积为号×1×怎×48=45，则三校台 ABC-A1B1C1与三棱锥O-ABC的体积之差为35√3-4√3=31W3. 反A0D后+启，层-2v店，当且议当后一即=5时等号度A正 确.由a2>6,得a>√6或a<-√6，所以“a>6”是“a2>6”的充分不必要条件，B错误.“Vx ∈R,x2>1-7x"”的否定是“3x∈R,x2≤1-7x”,C正确.易得f(1)=1,f(2)=2,D正确. 10BDfa-)=m2a=号，则cas4a=1-2sn2a=1-号-名，A错误由x∈(0 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 )得2z+∈（行，爱），所以sm(2x+哥)∈（分1]，B正确由2x≤2红+0≤x十 2kx,k∈乙.得-芬+kx<r<+kx:k∈Z.C错误fe+)=n(2x+登+8)= cos(2x+)=g(x)D正确. 11.CD当0<n<1时，m=0符合题意，B错误.当n=1,m>0时，m≠lnn,A错误.设函数 f=g-1,则f')=-少e+1,设函数g)=(x-1De+1,则由gx)=xe> x2 0,得x>0,则g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0,则f'(x)> 0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. 由g'(x)=xe<0,得x<0,则g(x)在（一∞，0）上单调递减，所以当x<0时，g(x)> g(0)=0,则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞，0)上单调递增.设函数9(x)=e-1-x,则 9'(x)=e-1.当x<0时，9'(x)<0,9(x)单调递减，当x>0时，9'(x)>0,(x)单调递 增，所以o(x)≥p(0)=e°-1一0=0.所以e-1≥x,当且仅当x=0时，等号成立.当x>0 时，>1，当<0时.1所以当m≥0且≠1时，由题意可得1_ In n 因为f(m)=f(nn),所以m=ln,由m>0时，nn>0,则n>1.令函数h(x)=2(x- 1 12+nx-x+1x>1D,则A(x)=x-2+>0,所以h(x)在1，+∞)上单调递增，则 h(x)>h1)=0,所以2(n-1D2+nn=2（n-1)2+m>n-1,即n+2m+3>n:当m >0且n=1时，n2+2m十3>4n恒成立，C正确.若存在n∈(0，十∞)，使得(m-n十1)2= 0.01,当n=1时，成立；当n≠1时，得m-十1=0.1或m-n十1=-0.1，即nn=n-1.1或 lnn=n一0.9，画出函数y=x一1.1与函数y=lnx的图象，易得两图象有交点，D正确. y=x-1. y=In 12专aa+n=ma+m-g-1=平a2e8-平5及s=专 13.62的焦点为F(0,4),准线方程为y=一4，根据题意可得圆心C(0,一12)，圆心C到直线 3x+4y+28=0的距离d=13X0+4X-12)+28=4,所以川PQ=2√/25-16=6. √/32+4 14.2304因为这5个数字之积为0并排成一个5位数，所以第4个圆的上方位被选，左方位 有C4种选择，同理右方位有C种选择，下方位有C种选择，正中间有C种选择，且0不能 在万位上，先排万位有C种，剩下的有A种，所以共有CCCC·C4A4=2304种情况. 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 15.解：1由正弦定理得sin Acos B-十Asin B=9nCc0sA.,…2分 即sm(A+B)-nCcoA. ……4分 因为sin(A+B)=smC,所以smC-9 n CeosA..… 6分 3 因为sinC≠0，所以cosA=1 …7分 (2②)由余孩定理a2=6+e2-2%msA,得25=+25-2XX5X高， …10分 即b2一3b=0,解得b=3或b=0(舍去)，所以b=3.…13分 16.(1)证明：因为M,N分别是AP,AC的中点，所以MNPC.·1分 因为E为BP上靠近点B的四等分点，F为BC上靠近点B的四等分点，所以EF∥PC, …2分 所以MN/EF,所以M,N,E,F四点共面.…4分 (2)证明：因为PA=2√5，AB=4,PB=6,所以PA2+AB=PB2,所以PA⊥AB.… …6分 因为AB⊥AC,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.…7分 因为ABC平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC,…8分 (3)解：连接PN.因为PA=PC,所以PN⊥AC,则由(2)得平面t PAC⊥平面ABC,所以PN⊥平面ABC.以A为坐标原点，以 AB,AC所在直线分别为x,y轴，以过点A且平行于PN的直线 为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0.0,0,E(3, 1,(3,1,0,Ai=(3,7,1A=(3,1,0).…9分 设平面AEF的法向量为n=(x,y,之)， n.A它=3x+2y十=0， 则 n.AF=3x+y=0, 令y=6,则n=(一2,6,3).…11分 易得m=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量.…13分 设平面ABC与平面AEF的夹角为0，则cos0=cos(m,m)|=mm-√/+36+9 1m·n 3 3 7 3 所以平面ABC与平面AEF夹角的余弦值为气 ...eee..。 …15分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 17.解：(1)设成员M在一次挑战中调试第一段代码成功为事件A,调试第二段代码成功为事件 A由题意得PB)=P(BIA)PA)十P(B1A)P(A)=号×号+号×号=号 …5分 22 (2)成员M一次“代码调试挑战”挑战成功的概率为3×3=9，…… 6分 只调试成功两段代码中的一段的概率为3×3十3》 L12×1= =9,…7分 两段代马均末词试成功的概率为号×}子 ……4… 8分 由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,50,100,150,200. 9分 10分 PK=0=g号 3×2=8 271 11分 pX-1o0-号××2+×号-器 e .....e。...... 12分 P(X=150)=2×4 2= 16 991 81: …13分 2 .24 P(X=200)= 9981 …14分 所以E0X)=0X日+50×号+10× +150×16 4800 81 1 200× …15分 81 9 18.(1)解：依题意可得a=2. …1分 由OP|=√8+t=13,得t=5. 2分 将点P的坐标代人C的方程，得受是=1，解得=5， …3分 故C的标准方程为一片1. …4分 (2)证明：(i)根据题意可设直线l的方程为x=y一3， (x=my-3, y2得(5m-4)y-30my+25=0… 45 =1, 30m △=900m2-100(5m2-4)=400m2+400>0,且5m2-4≠0，y1+y2= 5m2-4'y1y2= 25 5m2-4 …6分 因为-g所以m1-号+y 5 …7分 yiyz 直线AD的方程为y=1 ,十之x+2),直线BE的方程为y=x。2x—2) 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 所以+号=t2》-my-D=my:兰= y十y)-y 6 5y1-y2 x-2y(x2-2)y1(my2-5)my1y2-5y1 6y+y2)-5y -25y1+5y2 1 …10分 则x=一号，即H在定直线x=一 4 上 c..ee..ee...e eee... 3 11分 （1)由(1)知H(-33+2 4 2y1 12分 则kAr=tan∠BTE=y=1 x1+3m' 13分 2y1 3(x1+2) 2y1 tan∠HTE=krH= ⑤(，十2）…14分 3 4y1 5(x1十2) 20y1(x1+2) tam2∠HTE三Eta∠HE, …15分 4y1 25(x1+2)2-4y1 25(x1+2) 20y1(x1+2) y1=1 -25(x1+2)2-5x+20x1+3m …16分 即tan∠BTE=tan2∠HTE,所以∠BTE=2∠HTE,则∠HTE=∠BTH.…l7分 19.(1)解：依题意，f(x)=e-(x-1)2,f'(x)=e-2(x-1),…1分 所以f(0)=e°-(0-1)2=0，f'(0)=e°-2(0-1)=3，…2分 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=3x.…3分 (2)证明：由题意可知a=94=1时6，=（号》广+2a-1+h”十. n, …4分 所以so=(9}+(号)+…+（号）+21+2+…+10)-10+1n(号× X… 18 4。。。4g,g。gg000。e。5 1-() +2× 1-9 (1+100)×100-100+1n101 2 …6分 =10006+ln101-6×(9)）<10006+ln101<10006+1ne=10006+5=1001.… 100 ……8分 (3)证明：当a=e,t=e时，f(x)=e--(x-1)2,g(x)=e+lnx-k.令g(x)=0, 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 得e+hx-k=0,则e+-k=-ln,即心+(2-k)=e+1n2 …9分 令函数w(x)=e+x,则w(2-k)=w(n), 因为o(c)在R上单调递指，所以-6=ln,即hx十一友=0.…10分 令函数g()=lnx+k,则gu)-号，令g)>0,得>lg)<0,得0x< 1,所以9(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞)，…11分 依题意可得p(x)有两个零点x1,x2,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2, 令函数r(x)=lnx- -之）则)=-2少≤0，所以rx准0，+上单洞 递减。…12分 因为r(1)=0,所以当x∈(0,1)时，r(x)>0;当x∈(1，十∞)时，r(x)<0.…13分 所以rc)>r1)=0r(1=0.即1nx1>(1-),nx<(x:-,… …14分 所以由血x十=k有两个不相等的正根x:,且0<1<1<： 得+h1十(》=营+2云则2>1，…15分 +n,<+2）=号+2则2<+1.即-2>--1，… …16分 所以2k(x1一x2)>x子-x=(x1十x2)(x1一x2),因为x1一x2<0,所以x1十x2>2k.… …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】