精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年 九年级下学期期初考试数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级收心限时训练数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，该项错误． B．，该项错误． C．，该项错误． D．，计算符合运算法则，该项正确． 4. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由可得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解． 【详解】解：根据题意得：a≠0且，即 ， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用平移思想，整体处理求解即可． 【详解】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米， ∴被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形． 根据题意得：． 故选：B． 7. 如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得，是的平分线，即可判断①；由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；由等腰三角形的定义即可判断③；由直角三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵在中，，． ∴， 由作图可得，是的平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即是等腰三角形，故③正确； ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个． 8. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 9. 如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明≌，可得，再证明≌，可得，然后说明，再取的中点O，连接、，可求，根据勾股定理求出，最后根据三角形的三边关系，可知当O、F、C三点共线时，的长度最小，进而求出答案． 【详解】在正方形中，，，， 在和中， ， ∴≌（HL）， ∴， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 取的中点O，连接、， 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，， ∴当O、F、C三点共线时，的长度最小， 最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，确定最小值的位置是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵ 代数式 有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 11. 把因式分解的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可 【详解】解： = = 故答案为 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法． 12. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求概率，能根据题意画出树状图是解题的关键． 13. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟知上述公式是解题的关键． 利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式变形可得， 根据圆锥母线公式，可得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 15. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． （1）类比十进制的计数原理：（规定：，），把一个二进制数转化为十进制数的方法为，即可转化成十进制13．请将二进制数，转换为十进制数是_____； （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为．现用此方法将69转换为八进制数为，则“”表示的数是_____． 【答案】 ①. 10 ②. 105 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方有理数的混合运算，理解进制的定义成为解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，把二进制数转换为十进制数即可； （2）采取“除8取余数法”，把十进制数转换为八进制数即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）69转换为八进制数采取除8取余数法， ， 故答案为：105． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算和化简是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先对负整数指数幂，二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值进行计算，再算加减即可； （2）先根据分式的运算，平方差公式，完全平方公式进行计算化简，然后代入求出答案即可． 【详解】（1） （2） 当时，原式． 17. 解不等式组及应用： （1）解不等式组： （2）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】（1） （2）吨 【解析】 【分析】（1）先求出每个不等式的解，进而找到它们的公共部分即可； （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 【小问2详解】 解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 18. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7 （2）条形统计图见解析， （3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； 【小问4详解】 解：根据题意，列出表格如下： 第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 19. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 20. 某校九年级数学兴趣小组开展测量学校教学楼的综合实践活动，活动报告如下： 活动目的 测量学校教学楼的高度 测量工具 皮尺、测倾器 设计方案 线段表示所要测量的教学楼的高度，在点处安置测倾器测得教学楼顶端的仰角为，再次在点处安置测倾器测得教学楼顶端的仰角为，点，与教学楼的底部在同一水平线上． 实地测量并记录数据（测倾器的高度相同，） 项目 第一次 第二次 平均值 参考数据 ，， 请根据以上测量结果，求学校教学楼的高度． 【答案】学校教学楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点G，证明四边形和四边形均为矩形，得到，，设，则，通过解求出，可得，进一步得出 【详解】解：延长交于点G， 由题意可知，，，， ∴四边形和四边形均为矩形， ，， 设，则． 在中，， ， 在中，， ， ， 解得． ． ． ∴学校教学楼的高度约为． 21. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 （2）；W的最大值为4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 22. 如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由，是半径，可得，由是的直径，可得，则，，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由是的直径，可得，证明，则，代入数据计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ，是半径， ， 是的直径， ，即， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：由题意知，， 由勾股定理得，； 是的直径， ； ， ， ， ，即， 解得，； 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明切线与相似是解题的关键． 23. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）略 （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级收心限时训练数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，M、N是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点E，连接交于点F，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（　　） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 11. 把因式分解的结果是_____． 12. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是 _____． 13. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是______． 15. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． （1）类比十进制的计数原理：（规定：，），把一个二进制数转化为十进制数的方法为，即可转化成十进制13．请将二进制数，转换为十进制数是_____； （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为．现用此方法将69转换为八进制数为，则“”表示的数是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 解不等式组及应用： （1）解不等式组： （2）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 18. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 19. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 20. 某校九年级数学兴趣小组开展测量学校教学楼的综合实践活动，活动报告如下： 活动目的 测量学校教学楼的高度 测量工具 皮尺、测倾器 设计方案 线段表示所要测量的教学楼的高度，在点处安置测倾器测得教学楼顶端的仰角为，再次在点处安置测倾器测得教学楼顶端的仰角为，点，与教学楼的底部在同一水平线上． 实地测量并记录数据（测倾器的高度相同，） 项目 第一次 第二次 平均值 参考数据 ，， 请根据以上测量结果，求学校教学楼的高度． 21. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 22. 如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 23. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $