专题02二次根式大小比较与最值(压轴专项训练) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题02二次根式大小比较与最值 典 题 题型一平方法比较二次根式大小 题型二放缩法估算比较二次根式大小 题型三倒数法比较二次根式大小 题型四多根式和差型比较二次根式大小 题型五利用根式非负性求最值 题型六根号类二次式配方法求最值 题型七均值不等式求根式最值 题型八构造几何模型求二次根式最值 轴 练 题型一平方法比较二次根式大小 1.平方去根号：将两个二次根式分别平方，去掉根号，得到两个有理数（或整式）。 2.比较平方结果：直接比较这两个有理数（或整式）的大小。 3.下结论：根据平方结果的大小，反推原二次根式的大小。 【典例】在二次根式的比较大小中，有时候用平方法”会取得很好的效果.例如，比较 a=5√6和b=6√5的大小，我们可以把a和b分别平方. :a2=150、b2=180, a2<b2而a>0、b>0, .a<b.请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c=2V3,d=3√2的大小，cd;(填写>，<或者=) (2)猜想m=25+√13，n=2√7+√5之间的大小关系，并证明. 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】比较大小：√5+行√6+√0（填“>“<”或“=”）. 【跟踪专练2】己知k,m,n都是整数，若√90=kV10,√800=20√m,√180=6n, 则下列关于k,m,大小关系的结论，正确的是() A.m<k<n B.m=n<k C.m<n<k D.k<m=n 【跟踪专练3】已知：a>0,b>0,求证：√a+√b>√a+b 题型二放缩法估算比较二次根式大小 1.找界点：先找被开方数旁边最接近的完全平方数，定出整数范围。 2.去逼近：在整数范围内，进一步找更细的小数（如一位小数、两位小数）去平方， 夹住原来的根式。 3.下结论：根据夹住的范围，直接判断它和目标数谁大谁小。 【典例】【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法 例如求√53的近似值.因为49<53<64，所以7<53<8. 则√53可以设成以下两种形式： ①√53=7+m,其中0<m<1; ②√53=8-n,其中0<n<1. 小明用①的形式求√53的近似值的过程如下： 因为V53=7+m,所以53=(7+m)2.即53=49+14m+m2. 因为m2比较小，将m2忽略不计， 所以53≈49+14m,即14m≈53-49， 得m≈ 53492所以V5B7+21四 14 【尝试探究】(1)用②的形式求√53的近似值.（结果保留2位小数） 【比较分析】(2)用哪种形式求√53的近似值的精确度更高？并说明理由. 【跟踪专练1】小李同学探索√⑧3的近似值的过程如下： :面积为83的正方形的边长是√⑧3，且9<√83<10， 试卷第1页，共3页 :设V83=9+x,其中0<x<1; 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 9 以x」 81 9x SE方形=81+9x+9x+x2=81+18x+x2, x 9x 又：S正方形=83，.81+18x+x2=83, 当0<x<1时，假设忽略x2不计，得81+18x≈83，解得x≈0.11，即83≈9.11 (1)填空：√52的整数部分的值为； (2)类比上述方法，探究√52的近似值.（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数 据，并写出求解过程) 【跟踪专练2】若无理数√厅的被开方数T(T为正整数)满足n2<T<(n+1)2(其中n为正 整数)，则称无理数√厅的“湘一区间”为n,n+1);同理规定无理数√厅的“湘一区间”为 (-n-1,-).例如：因为12<2<22，所以1<√2<2，所以√2的湘一区间”为1,2)，2 的“湘一区间”为-2，-1).请解答下列问题： (1)10的湘一区间”是 ；-√8的“湘一区间”是 (2)若无理数√a(a为正整数)的“湘一区间”为(2,3)，且√a+3的“湘一区间”为3,4，求 Va+1的值； (3)实数x,,m满足关系式：√2x+3y-m+V3x+4y-2m=Vx+y-2026+V2026-x-y,求 √m的湘一区间”. 【跟踪专练3】阅读材料：2√63，√6的整数部分为2，√6的小数部分为√6-2. (1)√73的小数部分是多少？ (2)己知a是√19-3的整数部分，b是√19-3的小数部分，求代数式(a+1)+(b+4)的值， 试卷第1页，共3页 题型三倒数法比较二次根式大小 1.取倒数：分别求出两个二次根式的倒数。 2.比倒数：比较这两个倒数的大小（倒数大的原数反而小）。 3.下结论：根据倒数的大小关系，反推得出原数的大小关系。 【典例】阅读材料：像 5+2)N5-2)=3aa=a(a≥0、万+1万-1=b-1(b≥0)…两个含有二次根 式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与 √5√2+1与√2-1,2√5+3√5与2√5-3√5等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时， 利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如： 1 552+1 (2+1 2523x362-1(W2-1W2+1 =3+2√2.解答下列问题： (1)3-√7与 互为有理化因式： (2)比大小：V2026-√2025 √2025-√2024（直接填>，<，=，2或≤中的一种）； (3)已知m是正整数，a= √m+1-√ m,b=Ym+1+m ,a+b+5ab=2027,求m. Vm+1+ √m+1-√m 【跟踪专练1】已知a=√2006-√2005，b=√2007-√2006，c=√2008-√2007，则a,b ,c的大小关系是 【跟踪专练2】已知a=599×2026-599×2025,b=2025×2026-2023×2028, c=√596×597+598+2×597，则a,b,c的大小关系是() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 12 【跟踪专练3】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如万'3一2，的计算， 需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如： 122 2 2xW3+V2) 2N5+22-25+25-2N5+25 2(2’3-2(5-25+2)（-(2) 3-2 试卷第1页，共3页 ·类似的，将分了转化为有理数，就称为分了有理化，例如：互-互__之 2 5-1(5-05+1(-3-12 √3 V5(N5+(3+53+53+5 根据上述知识，请你完成下列问题： ①运用分母有理化，化简：5-2J5 15 (2)运用分子有理化，比较√2024-√2023与√2023-√2022的大小，并说明理由； (3)计算： 1+V2+2+5+3+a+4+N5+ v99+Vi00的值. 题型四多根式和差型比较二次根式大小 打法一：平方法（最通用） 适合两个式子项数相同，且都是加法形式。 1.整体平方：对两个和式分别平方，展开后会得到“整数+根式”的形式。 2.消元比较：两边整数部分相同的话，直接比较根式部分的和；整数部分不同，就整 体比较。 3.下结论：平方大的，原式就大。 打法二：放缩法（最快手） 适合减法型，或者项数不同、无法直接平方的复杂型。 1.找界点：分别估算每个根式的整数范围（比如√10在3和4之间）。 2.夹中间：把整个式子夹在两个整数之间，或者与一个特定的整数（如5、6）做对比。 3.定大小：根据落在的区间直接判断。 总结口诀：相加直接平方，谁平方大谁就大。相减取倒数变形，谁分母大谁就小。 【典例】比较√a-√a-1和√a+1-√a的大小： 【跟踪专练1】先观察解题过程，再解决问题. 比较√5-√2与2-1的大小 解：：(5-2)(5+2)=1，（2-(2+1=1， 5-5=65-1 试卷第1页，共3页 又“5+2>√2+1， V5-2<√2-1. 试用以上方法，比较√4-√5与√5-√2的大小. 【跟踪专练2】老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a,b,如果a>b,那么√ā>√b”, 然后讲解了一道例题：比较2√3和3√2的大小， 解：(25=4x3=12,(32=9×2=18, 12<18,25<3√2， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较-5√5与-35的大小： (2)比较√6+√2与√5+√3的大小. 【跟踪专练3】观察下列等式： 112-=2-1, 第一个等式：42+1(2+02-) 1 1(5-V2) =5-2, 第二个等式：a4,=5+万3+23-V2) 第三个等式：a, 1 1(2-V5) 2+52+5x2-⑤2-5， …… 按上述规律，回答以下问题： 1 1 (I)按上述规律填空：a4= 5+2-:0,= 1 1 ②求5+5+5+万+57+)的值， (3)利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a2024: (4)比较√99-√98与√⑨8-√97的大小，并说明理由. 00 题型五利用根式非负性求最值 试卷第1页，共3页 核心三步法 1.找条件：先看被开方数，确定它的取值范围，必须满足a≥0。 2.定最小值：因为a≥0，所以当被开方数a-0时，整个根式取到最小值0。 3.求最值：根据题目要求，结合a0时的取值，算出代数式的最大或最小值。 【典例】问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“己知三角形三边 的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探 究 材料1.古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给 出了求其面积的海伦公式S=Vp(p-a(p-b)(p-c)(其中a、b、c为三角形的三边长， p=a+b+c ,S为三角形的面积)· 2 材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 其中三角形边长分别为a、b、c,三角形的面积为S. 2 (1)利用材料1解决下面的问题： 当a=3,b=5,c=6时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 己知ABC三条边的长度分别是a=Vx+1,b=V(5-x)2,c=4-(N4-x)2,记ABC的周长为 CABC· ①当x=2时，请直接写出ABC中最长边的长度 ②若x是满足0<x≤4的整数，当C。c取得最大值时，请用秦九韶公式求出ABC的面积. 【跟踪专练1】在进行实数的化简时，我们可以用“√ab=√a√(a≥0，b≥0)”，如 √2=√2x2x3=√22×√5=2√5，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式 (1)已知m为正整数，若√35m是整数，求m的最小值； (2)设n为正整数，若y= 288 ,y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 n 【跟踪专练2】对一切实数k,有√8-x+√x-3≥k成立，求k的最大值. 试卷第1页，共3页 【跟踪专练3】阅读下面内容：我们己经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可 以发现：当a>0,b>0时，：(Va-V万=a-2Wab+b≥0，a+b≥2√ab,当且仅当a=b 时取等号.请利用上述结论解决以下问题： ()当x>0时，x+上的最小值为；当x<0时，x+的最大值为 2当r>-1时，求代数式+7x+10的最小值. x+1 (3)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△A0B、△C0D的面积分别为12和27， 求四边形ABCD面积的最小值. 09 题型六根号内二次式配方法求最值 1.配方（化标准）把根号内的二次三项式ax2+bx+c配方成a(x-h)2+k的形式。 2.定范围（找最值）利用(x-)2≥0，确定根号内整体的最值范围。 3.下结论（求原式最值）因为√是个增函数，所以： 根号内最小一原式最小 根号内最大→原式最大 【典例】阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去 一层（或多层）根号，如： +2-2xix2=i-2=i-=2-1. 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成 完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式 分解等方面都经常用到. 知：x2+22x+3=x2+2V2x+(W2+1=(x+2+1. (x+V2≥0， 试卷第1页，共3页 :(x+V)+1≥1，即x2+22x+3≥1， .x2+2√2x+3的最小值为1. 阅读上述材料解决下面问题： (1)4-25= ,V5+26= (2)求x2+4√5x+11的最值 【跟踪专练1】(1)已知实数x,y,代数式(x+y)-y+x,求该代数式的最小值及取 到最小值时x,y的值； (2)已知实数x,y,z,代数式（x+y+z+x+y+z-(y+z+zx),求该代数式的最 小值及取到最小值时x,y,z的值。 【跟踪专练2】对一切实数k,有√⑧-x+√x-3≥k成立，则k的最大值为 【跟除专练3设=+++小+++叶 11 则不超过S的最大整 T20252T20262 数[S为 题型七均值不等式求根式最值 1.凑定值（配凑）将根式内的代数式（或根式本身）变形，凑出和为定值或积 为定值的形式。 核心口诀：积定和最小，和定积最大。 2.用公式（套定理）直接套用基本不等式公式： 对于正数a,b,有”yab,当且仅当ab时取等号。 推广到多个正数，结论一致，核心仍是凑定值。 3.验等号（下结论）验证取等号的条件a=b是否在定义域内。如果在，直接 求出最值；如果不在，需结合单调性另行分析。 【典例】阅读以下的材料： 如果两个正数a,b,即4>0，b>0,则有下面的不等式：a+b≥ab当且仅当a=b时取 2 到等号，我们把a+也叫做正数a,b的算术平均数，把、√励叫做正数a,b的几何平均数， 于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均 试卷第1页，共3页 数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：己知x>0,求函数y=x+4的最小值. 解：令a=xb=4,则有a+b≥2b,得)=+422,4=4，当且仅当x=4时，即 4 x=2时，函数有最小值，最小值为4. 根据上面回答下列问题 ①)已知x>0,则当x=时，函数y=2x+3取到最小值，最小值为_： (②已知x>0,则自变量x取何值时，函数)x一2x+9最大值是 【跟踪专练1】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可 以发现：当a>0,b>0时，：（a-Vb=a-2Vab+b≥0，：a+b≥2ab,当且仅当 a=b时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (①)当x>0时，当且仅当x=时，x+1有最小值 ②当m>0时，求m+5m+12的最小值. m (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱 笆围成，设垂直于墙的一边长为x米.若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最 少是多少米？ 花圃 【跟踪专练2】阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现 以下结果：当a>0时， +2 a 当v6=后即a=1时，a+。的最小值为2 请利用以上结果解决下面的问题： 4 (1)当a>0时，直接写出a+二的最小值为_； 试卷第1页，共3页 专题02二次根式大小比较与最值 题型一 平方法比较二次根式大小 题型二 放缩法估算比较二次根式大小 题型三 倒数法比较二次根式大小 题型四 多根式和差型比较二次根式大小 题型五 利用根式非负性求最值 题型六 根号类二次式配方法求最值 题型七 均值不等式求根式最值 题型八 构造几何模型求二次根式最值 题型一 平方法比较二次根式大小 1.平方去根号：将两个二次根式分别平方，去掉根号，得到两个有理数（或整式）。 2.比较平方结果：直接比较这两个有理数（或整式）的大小。 3.下结论：根据平方结果的大小，反推原二次根式的大小。 【典例】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【跟踪专练1】比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 【跟踪专练3】已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 题型二 放缩法估算比较二次根式大小 1.找界点：先找被开方数旁边最接近的完全平方数，定出整数范围。 2.去逼近：在整数范围内，进一步找更细的小数（如一位小数、两位小数）去平方，夹住原来的根式。 3.下结论：根据夹住的范围，直接判断它和目标数谁大谁小。 【典例】【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】 （1） （2）用①的形式求的近似值精确度更高，理由见解析 【分析】对于（1），根据，其中忽略不计，可得答案； 对于（2），先确定，可得答案． 【详解】解：（1）因为， 所以， 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）因为，，且， 所以， 所以①得出近似值的精确度更高． 【跟踪专练1】小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）估算出即可得解； （2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为； （2）解：设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 由图形可得：， ∵， ∴， 当时，假设忽略不计，得， 解得：， ∴． 【跟踪专练2】若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 【跟踪专练3】阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8，小数部分为． （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 题型三 倒数法比较二次根式大小 1.取倒数：分别求出两个二次根式的倒数。 2.比倒数：比较这两个倒数的大小（倒数大的原数反而小）。 3.下结论：根据倒数的大小关系，反推得出原数的大小关系。 【典例】阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）逆用有理化因式，进行判断即可； （3）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解： 与互为有理化因式； 故答案为：； （2）解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【跟踪专练1】已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【跟踪专练2】已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 题型四 多根式和差型比较二次根式大小 打法一：平方法（最通用） 适合两个式子项数相同，且都是加法形式。 1.整体平方：对两个和式分别平方，展开后会得到 “整数 + 根式” 的形式。 2.消元比较：两边整数部分相同的话，直接比较根式部分的和；整数部分不同，就整体比较。 3.下结论：平方大的，原式就大。 打法二：放缩法（最快手） 适合减法型，或者项数不同、无法直接平方的复杂型。 1.找界点：分别估算每个根式的整数范围（比如 在 3 和 4 之间）。 2.夹中间：把整个式子夹在两个整数之间，或者与一个特定的整数（如 5、6）做对比。 3.定大小：根据落在的区间直接判断。 总结口诀：相加直接平方，谁平方大谁就大。相减取倒数变形，谁分母大谁就小。 【典例】比较和的大小； 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．将变形为，变形为，利用即可判断； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 【跟踪专练2】老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 【跟踪专练3】观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)44 (4) 【分析】本题主要考查分母有理化、二次根式的运算及大小比较，熟练掌握分母有理化、二次根式的运算及大小比较是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化进行化简，然后问题可求解； （3）根据题意可直接代入进行求解即可； （4）由题意得，，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为，； （2）解： ； （3）解：由题意得： ； （4）解：∵， ， ∴，即， ∴． 题型五 利用根式非负性求最值 核心三步法 1.找条件：先看被开方数，确定它的取值范围，必须满足 a≥0。 2.定最小值：因为 a​≥0，所以当被开方数 a=0 时，整个根式取到最小值 0。 3.求最值：根据题目要求，结合 a=0 时的取值，算出代数式的最大或最小值。 【典例】问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【跟踪专练1】在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 【答案】 15 10 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 【跟踪专练2】对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【跟踪专练3】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）时，则，将原式变形为，继而得到，再由公式求解； （3）设，根据等高三角形的性质得到，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，则， ∴的最小值为2， 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （2）解：时，则 （3）解：设， ∵与等高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 题型六 根号内二次式配方法求最值 1.配方（化标准）把根号内的二次三项式 ax2+bx+c 配方成a(x−h)2+k 的形式。 2.定范围（找最值）利用 (x−h)2≥0，确定根号内整体的最值范围。 3.下结论（求原式最值）因为是个增函数，所以： 根号内最小 ⇒ 原式最小 根号内最大 ⇒ 原式最大 【典例】阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 阅读上述材料解决下面问题： (1)___________，___________； (2)求的最值． 【答案】(1)，； (2)的最小值为． 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，偶次方非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据完全平方公式将化成，化成，再由二次根式性质化简即可； （）根据完全平方公式将化成，然后根据非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 【跟踪专练1】（1）已知实数 ，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，的值； （2）已知实数，，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，，的值． 【答案】（1），时，代数式有最小值为；（2） 时，代数式有最小值． 【分析】本题主要考查了配方法求解代数式的最值问题，熟练掌握完全平方公式和平方的非负性是解题关键． （1）将原式变形为，即可得出当 时，代数式取得最小值，为； （2）多次利用完全平方公式将原式变形，假设，代入并配方得： 最后再利用平方的非负性即可求解． 【详解】解：（1） ∴当 时，代数式取得最小值，为． ∴，时，代数式有最小值为； （2） 假设，代入得： 当时，代数式有最小值． 【跟踪专练2】对一切实数，有成立，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】设则不超过的最大整数为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，能正确化简是解答本题的关键． 首先将化简，可得，然后再代入原式求出即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 不超过的最大整数， 故答案为：． 题型七 均值不等式求根式最值 1.凑定值（配凑）将根式内的代数式（或根式本身）变形，凑出和为定值或积为定值的形式。 核心口诀：积定和最小，和定积最大。 2.用公式（套定理）直接套用基本不等式公式： 对于正数 a,b，有≥，当且仅当 a=b 时取等号。 推广到多个正数，结论一致，核心仍是凑定值。 3.验等号（下结论）验证取等号的条件 a=b 是否在定义域内。如果在，直接求出最值；如果不在，需结合单调性另行分析。 【典例】阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 【跟踪专练1】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)需要用的篱笆最少是米 【分析】本题考查了二次根式在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先化简，运用公式计算即可； （3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+设所需的篱笆长为米，由题意得，再根据阅读中的公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ，即时，的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 即， 的最小值为； （3）解：设所需的篱笆长为米，由题意得， 由题意可知：， 需要用的篱笆最少是米． 【跟踪专练2】阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，直接写出的最小值为 ； (2)当时，有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为； (3)四边形面积最小值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）设，由的面积为，的面积为，根据等高三角形可得，，则有，所以四边形面积为，然后根据题例即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为， 故答案为：； （2）解：当时， ， 当即时，的最大值为； （3）解：设， ∵的面积为，的面积为， ∴根据等高三角形可得，， ∴， ∴， ∴四边形面积为， 同（）得，当时，四边形面积有最小值， ∴， ∴四边形面积最小值为． 【跟踪专练3】阅读下面材料 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用，表示，例如，请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③，④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知 ①若，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值，写出求解过程； 【答案】(1)①②④ (2)①；② 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）①由题意得，，进而得，再由求解即可； ②由题意得，从而得，进而得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①，②③，④． 由定义可知属于对称式的是①②④． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ①， ∴； ∴对称式的值为； ②若，则， ∴， ∴， ， ， ． ∴对称式的最小值为． 【点睛】本题考查新定义、完全平方公式、分式运算、整式的运算，理解题目中的新定义是解题的关键． 【跟踪专练4】阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”，类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当x=______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)，4 (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算、二次根式的性质、不等式的性质等知识点，理解新定义运算并利用二次根式的性质化简是解题的关键． （1）先设、，可得出，将、代入后根据当且仅当时式子有最小值，据此求出x及最小值即可； （2）先将已知式子化为，再根据x为整数，且为整数，得出关于x的方程求解即可； （3）先将式子化为，再得出，然后根据当且仅当时式子有最小值，求出x及原式的最大值即可． 【详解】（1）解：设、，则， ∴， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6． 故答案为：3，6． （2）解： ∵x为整数，且为整数， 或或或， ∴或或或，则满足条件的整数x的值有4个． 故答案为：，4． （3）解：， ， ， 当且仅当时，即时，式子有最小值为， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【跟踪专练5】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现；当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题； (1)当时，求的最小值为________； (2)当时，求的最小值； (3)拓展延伸：如图，已知，，在轴正半轴上，在轴正半轴上，的面积始终为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)11 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式，灵活运用题干中结论是解题的关键． （1）利用题干中的结论得：，即可求解； （2），对算式中前两项利用题干中结论即可求解； （3）设，其中，由已知面积求得，即得点D的坐标，从而可求得，则由得到关于x的关系式，利用题干中结论即可求解． 【详解】（1）解：， 当且仅当，即时取得最小值，且最小值为2； 故答案为：2； （2）解： 而， 当且仅当，即时，取得最小值8，从而y取得最小值； 故当时，的最小值为11； （3）解：设，其中，则； ∵， ∴， 即点D的坐标为， ∴， ． 当且仅当，即时，面积取得最小值； 故四边形面积的最小值为． 题型八 构造几何模型求二次根式最值 1.凑距离：把根式 翻译成两点间距离。 2.定模型：识别是 “将军饮马”（求最小和）还是 “垂线段”（求最大差 / 最小距离）。 3.作对称：遇轴求最短，作定点的对称点，转化为直线段。 4.算长度：用勾股定理算出静态线段长度，即得最值。 【典例】如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点（点P不与点B，C重合），，垂足分别为点E，点F，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，易证四边形是矩形，即可得到，当时，最小，然后根据三角形的面积公式即可求得最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，即最小， 此时， ∴， ∴，即最小值为． 故选：C． 【跟踪专练1】在边长为8的菱形中，，点从点沿着边向终点运动，同时，点以相同的速度从点沿着边向终点运动，在此运动过程中，点与点距离的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】过点F作交的延长线于点G，设点E、F的运动速度为1，运动时间为x，则，利用菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形性质，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：过点F作交的延长线于点G， 设点E、F的运动速度为1，运动时间为x，则， ∵边长为8的菱形，， ∴， ， ∴，， ∴，由勾股定理得：， ∴， 根据勾股定理，得 ， 当时，取得最小值48，此时取得最小值， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，切线的性质定理，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由四边形是矩形，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，从而可得，于是可得，从而可求得长的最大值． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点，连接， ∵，， ∴是圆的直径， ∴， 作于点，于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴长的最大值是， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在边长为的菱形中，，点是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的折叠和菱形的性质等相关知识，掌握折叠的对称性和锐角三角函数的定义是关键． 根据题意，由两点之间线段最短可知在的运动过程中，当点、、三点共线时，取最小值，由此得出取最小值时应在上，然后在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出的长即可． 【详解】解：根据题意，是定值，长度取最小值时，应在上，这时两点之间线段最短， 过点作，交的延长线于点， 已知在边长为的菱形中，为中点， 所以， 所以， 所以， ， 所以， 因为， 所以 故选：B． 【跟踪专练4】（1）请用“>”、“=”、“<”填空： ①________；②________；③________． （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由． （3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（墙体足够长），为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 【答案】（1）①，②，③；（2）猜想：，见解析；（3）32米 【分析】此题考查了二次根式的运算和应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）①分别计算后进行比较即可；②分别计算后进行比较即可；③分别计算后进行比较即可； （2）根据（1）中的结果猜想，再利用二次根式的运算法则进行验证即可； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，，根据（2）的结论进行解答即可． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， 故答案为： ②，，， ∴； 故答案为： ③，． ∴， 故答案为： （2）猜想：， 理由如下：当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，， 由（2）得，， ∴篱笆至少需要32米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $