专题10：向量的应用（知识梳理+9大题型+能力提升）讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题10 向量的应用 知识1：平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 知识2：向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 题型01：定比分点问题 【例1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【例2】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 【跟踪训练】 1.已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 2.已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先得到，，设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得即可. 【详解】因为点，向量，， 所以，， 设，则， ， 因为，所以，解得，所以. 故答案为： 3.设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）直接根据求解； （2）分和两种情况，利用向量的坐标运算求解； （3）设，利用向量的坐标运算列方程求解. 【详解】（1）当是线段的中点时， ， ； （2）①当时， ， ， 得点的坐标为：； ②当时， , ， 得点的坐标为：； （3）设 , 又，, ， 即点的坐标是. 题型02：用向量证明平面几何中的平行问题 【例3】证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用向量相等证明四边形是平行四边形. 【解答过程】连接．因为E，F分别是，的中点， 所以，同理， 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形． 【跟踪训练】 1.在梯形ABCD中，，P，Q分别是AC，BD的中点，用平面向量证明. 【答案】证明见解析. 【分析】建立平面直角坐标系，计算出的坐标，得到，进而得到 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设.    由中点坐标公式，得，即，即. 【点睛】本小题主要考查利用向量法证明两条直线平行，属于基础题. 2.如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 题型03：用向量证明平面几何中的垂直问题 【例4】已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【分析】先得出平分，进而得出，再计算即可. 【详解】证明：由题意知，所以平分， 因为，所以存在实数使得， 因为，所以，所以，所以四边形的两条对角线互相垂直． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解析 】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 2.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1） . （2）， ，. 题型04：用向量求几何中的线段长度 【例5】已知中，，，点在边上，，则的长为_____ 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 【跟踪训练】 1.已知中，，，点在边上，，则的长为______ 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 2.在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则________ 【分析】根据平面向量基本定理得又由在方向上的投影向量为，得，又，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 如图，在中，为边上的中线，为的中点， 则（*）， 由在方向上的投影向量为，得，则， 由（*）两边平方，可得： ，所以， 故选：D. 3.在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 【答案】 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 题型05：用向量求几何中的夹角 【例6】如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则______ 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 【跟踪训练】 1.已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 2.已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 3.正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 4.在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为_______ 【解题思路】建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】建立如图所示平面直角坐标系： 则, 设， 因为动点位于直线上， 直线的方程为：， 所以 ， 当时，取得最小值，此时， ， 所以， 又因为， 所以， 5.中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为___ 【解题思路】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得． 【解答过程】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 6. 如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则_____ 【分析 】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解析 】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 题型06：利用向量求几何中参数的最值与范围 【例7】如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【跟踪训练】 1．已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 2．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析 】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【解析 】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 3.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的范围是_______ 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值. 【详解】 如图示，建立平面直角坐标系. 设，可得：. 由可得：， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为， 题型07：利用向量求几何中的数量积最值与范围 【例8】在中，点D是边中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是______ 【分析】结合坐标表示运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可. 【解析】因为D为的中点， 所以， 所以 不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 设，则， 所以，.即：的最小值为. 故选：D. 【例9】如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【答案】(1)-3 (2)12 【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案； （2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出P点坐标，进而表示出，求得其模的表达式，结合二次函数的性质，求得答案. 【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等，， 则， 故由，可得； （2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由于直线OD的方程为，故设P点坐标为， 则， 所以， 则， 由于，此时函数为增函数， 故当时，取到最大值为144， 所以的最大值为12. 【跟踪训练】 1.已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________. 【答案】## 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，结合，求出最小值. 【解析】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，且，， 则， 则 ， 故当时，取得最小值， 由于，则当时，取得最小值， 此时，或，， 故的最小值为. 故答案为： 2.如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】由题意建立直角坐标系，根据等腰梯形求边长，高，表示出点的坐标，再根据向量数量积的坐标公式以及三角函数性质，可得答案. 【详解】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故答案为： 3.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为_______ 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【解析】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 题型08：向量在力学中的应用 【例10】若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为三个力作用处于平衡状态，且，，所以， 所以. 故选：B． 【例11】利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 【跟踪训练】 1.一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 2.如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 3.两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求： (1)，分别对该质点做的功； (2)，的合力对该质点做的功. 【答案】(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）； (2)（）. 【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解. 【解析 】（1）根据题意，，，， 故对该质点做的功（）； 对该质点做的功（）. （2）根据题意，，的合力， 故，的合力对该质点做的功（）. 题型09：向量在速度、位移中的应用 【例12】某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 【跟踪训练】 1. 某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，__________ 【答案】 【分析 】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案． 【解析 】解：设船的实际速度为，则， 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则， 所以， 即，解得， 故答案为：．    2. 某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 3.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 【分析】（1）根据向量的加法公式可得顺流时实际速度最大，逆流时实际速度最小； （2）利用平面向量的平行四边形法则作出图形分析可得结论. 【详解】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 一、填空题 1.过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【解析】设，则，， 则，得，， 故答案为： 2.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【答案】 【分析】先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可. 【解析 】设，，则， ，又，， 所以 . 故答案为： 3.在中，点D是边的中点，，，，则的值为______ 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【解析 】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 4．已知向量，线段的中点为，且，则_______ 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【解析 】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 5．已知中，，，点在边上，，则的长为______ 【分析 】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解析 】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 6．一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为_________ 【答案】-8 【分析 】根据数量积公式，即可求解. 【解析 】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为 . 故答案为：-8. 7.在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 8.已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是______ 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 9.在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则____ 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 10.在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【分析】根据向量的加减法结合数量积运算律计算求解最大值. 【详解】如图，动点满足，点在以为圆心，1为半径的圆上， 因为，所以， 所以，设线段的中点为， 则， ， 当且仅当三点共线时取最大值， 所以的最大值为5． 故答案为：5. 11.已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是_______ 【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围. 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 12.已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为______ 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 二、选择题 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 14.某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析 】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【解析 】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B. 15.在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 16.在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析 】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【解析 】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 三、解答题 17.如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 18.已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 【答案】合力的模为，与成角竖直向上 【分析】利用平面向量的平行四边形法则求合力. 【详解】如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力． 在中，，，， ．． 与的合力的模为，与成角竖直向上． 19．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析 】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解析 】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 20.如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 21.记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 【答案】(1)①， ；②，证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）①利用平面向量的线性运算可得出、关于基底的表达式； ②利用平面向量的数量积的运算性质计算的值，即可得出结论； （2）设单位向量，根据结合平面向量数量积的定义和运算性质可证得结论成立. 【解答过程】（1）①因为，，记，， 则，. ②，证明如下： 因为，，则， 所以，， 且、均为非零向量，则，即； （2）在中，， 设单位向量，则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 22．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析 】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解析 】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 23.如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)8 【分析 】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解析 】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题10 向量的应用 知识1：平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 知识2：向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 题型01：定比分点问题 【例1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练】 1.已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 2.已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 3.设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 题型02：用向量证明平面几何中的平行问题 【例3】证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形. 【跟踪训练】 1.在梯形ABCD中，，P，Q分别是AC，BD的中点，用平面向量证明. 2.如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：(1)； (2)D，M，B三点共线. 题型03：用向量证明平面几何中的垂直问题 【例4】已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 2.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 题型04：用向量求几何中的线段长度 【例5】已知中，，，点在边上，，则的长为_____ 【跟踪训练】 1.已知中，，，点在边上，，则的长为______ 2.在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则________ 3.在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 题型05：用向量求几何中的夹角 【例6】如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则______ 【跟踪训练】 1.已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 2.已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 3.正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 4.在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为_______ 5.中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为___ 6. 如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则_____ 题型06：利用向量求几何中参数的最值与范围 【例7】如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    【跟踪训练】 1．已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 3.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的范围是_______ 题型07：利用向量求几何中的数量积最值与范围 【例8】在中，点D是边中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是______ 【例9】如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【跟踪训练】 1.已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________. 2.如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为__________. 3.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为_______ 题型08：向量在力学中的应用 【例10】若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例11】利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【跟踪训练】 1.一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 2.如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    3.两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求： (1)，分别对该质点做的功； (2)，的合力对该质点做的功. 题型09：向量在速度、位移中的应用 【例12】某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【跟踪训练】 1. 某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，__________    2. 某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 3.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 一、填空题 1.过，的直线与x轴交于点P，设，则 2.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    3.在中，点D是边的中点，，，，则的值为______ 4．已知向量，线段的中点为，且，则_______ 5．已知中，，，点在边上，，则的长为______ 6．一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为_________ 7.在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 8.已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是______ 9.在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则____ 10.在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 11.已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是______ 12.已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为_______ 二、选择题 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 14.某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（  ） A． B． C． D． 15.在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 16.在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（  ）    A． B． C． D． 三、解答题 17.如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 18.已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 19．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 20.如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 21.记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 22．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 23.如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $