专题05：函数y=Asin（ωx+φ）的图像 （知识梳理+9大题型+能力提升）讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题05 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 知识点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － － － ωx＋φ 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 知识点02 函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1） 定义域：； （2）值域：； （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 题型01：函数y=Asin(ωx+φ)的振幅、频率、初始相位、相位 1.函数的初始相位是 ． 2.函数的频率为 ． 3.已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 4.求函数的振幅、频率和初始相位. 5.已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 题型02：“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像 6．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（  ） A． B． C． D． 7.已知函数． 填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； 0 8.已知函数． (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 题型03：三角函数图象变换（平移、伸缩） 9.把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 10.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 11.为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 12.函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（    ） A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 B．纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍 题型04：求三角函数的解析式 13．已知函数的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，若，，，则函数解析式为 ． 14.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 15.已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为__________． 16.如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 题型05：三角函数的周期性与奇偶性 17.函数的最小正周期为______ 18.函数的最小正周期为______ 19.下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 20.若函数是奇函数，则______ 21.已知函数是偶函数，则的值为_______ 22.已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则为______ 23.已知常数，函数为偶函数，则______. 题型06：三角函数的单调性与对称性 24.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 25.函数在上的单调递减区间为______. 26. 函数 的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 27. 已知函数的最大值在处取到，则是（    ）． A．奇函数，且关于点成中心对称 B．偶函数，且关于点成中心对称 C．奇函数，且关于点成中心对称 D．偶函数，且关于点成中心对称 28. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称 题型07：三角函数的最值、值域 29. 已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为_____ 30.已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为______ 31.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大和最小值. 32.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. (1)求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 33.已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 34.已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 题型08：与ω有关的范围与最值 35. 已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 36. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37. 函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38. 将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 39. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 题型09：与三角函数有关的零点问题 40.已知函数在上没有零点，则的取值范围是______ 41．已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 . 42．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 . 43．已知函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则______，______． 44. 已知函数在上仅有两个零点，且，则_____________． 题型10：综合素养提升 45. 设函数的最小正周期是π，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（   ） ①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； ②的图象过点； ③的图象的一个对称中心是； ④在上是减函数. A．1 B．2 C．3 D．4 46. 已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 47. 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式． (2)设函数． （i）求的单调递减区间； （ii）若，，恒成立，求的取值范围． 48. 已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求关于的方程在上所有的实数根之和； (3)当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围． 一、填空题 1.用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，_______． 2.函数的频率与初始相位之差为 3.已知函数是偶函数，则的最小值是_____ 4.将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 5.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则______ 6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则f(－)＝________. 7.若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 8.已知函数的部分图像如图所示，则 ． 9.已知函数，若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 10.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 二、选择题 11. 将函数的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像则的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 12.已知函数过点，则下列不正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数 13.已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 14.已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 3、 解答题 15.已知函数． (1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 16.已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 17.函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 18.已知函数且. (1)求的最小正周期T和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 19.请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题05 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 知识点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － － － ωx＋φ 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 知识点02 函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1） 定义域：； （2）值域：； （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 题型01：函数y=Asin(ωx+φ)的振幅、频率、初始相位、相位 1.函数的初始相位是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 2.函数的频率为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. 3.已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 【答案】 【分析】由振幅确定，最小正周期确定，初始相位确定. 【详解】因为函数（，）的振幅是3， 最小正周期是，初始相位是. 所以, ，. 即这个函数的表达式为 4.求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 5.已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 题型02：“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像 6．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案. 【解析】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得， 又，解得， 所以的解析式可以是 故选：A. 7.已知函数． 填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； 0 【答案】填表见解析；作图见解析 【解析】用“五点法”填表并画出在上的图象即可； 由题意可得表格如下： 0 0 0 可得图象如下图所示： 8.已知函数． (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2)， 【分析】（1）用“五点法”补全表格并画出图象即可； （2）利用图象平移规律求出，再用整体代入法求图象的对称中心和对称轴. 【详解】（1）补全表格如下： x 0 0 0 在上的图象如下： （2）将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象， 横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象． 令得， 所以函数图象的对称中心． 令，得， 所以函数图象的对称轴为． 题型03：三角函数图象变换（平移、伸缩） 9.把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变）得到函数， 再将函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数 10.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把函数图象向右平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到. 11.为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】将化为，再根据三角函数的图象变换得到答案. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度， 故选：D. 12.函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（    ） A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 B．纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍 【答案】B 【分析】根据函数与的关系，是要经过两种变换得来，其中振幅变换影响的是的值，是周期变换，也就是图像上每个点的横坐标要进行伸缩变换即可得到答案. 【详解】解：将图像上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，则函数变为，在此基础上，再将这个函数图像上的每个点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，就得到. 故选：B. 题型04：求三角函数的解析式 13．已知函数的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，若，，，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数的最值求出和，根据周期求出，根据对称轴求出，则可得函数解析式. 【解析】依题意可得，， ，所以， 所以，，即，， 因为，所以. 所以函数解析式为. 故答案为： 14.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数图象变换可得出平移后所得函数的解析式. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）, 可得到函数的图象， 再将所得函数的图象向左平移个单位， 可得到函数的图象. 故选：A. 15.已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据最大值与最小值，可得A值，根据点的坐标，结合周期公式，可得值，代入点坐标，结合的范围，可得值，即可得答案. 【详解】由图象得的最大值为3，最小值为-3，所以， ，解得， 因为，所以， 又过点，代入可得， 则，解得， 因为，所以， 所以 故答案为： 16.如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 【答案】 4 / 【难度】0.4 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据两点之间的距离以及对应图象的单调性可得出，再将代入可求得的值. 【详解】令，结合两点处的单调性可得， 又，所以，又， 可得，因此， 又，且在处函数图象单调递增， 因此，解得， 又，所以. 故答案为：4；； 题型05：三角函数的周期性与奇偶性 17.函数的最小正周期为______ 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 18.函数的最小正周期为______ 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 19.下列函数中，最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【详解】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 20.若函数是奇函数，则______ 【分析】根据奇函数得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】因为是奇函数， 故，，检验符合，所以. 21.已知函数是偶函数，则的值为_______ 【分析】由正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式易得． 【详解】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 22.已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则为______ 【分析】求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解. 【详解】由， 得是偶函数， 因为不可能是奇函数， 所以和都是偶函数， 为偶函数，则，即， 为偶函数，则，， ，，结合选项，只有时，. 23.已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 题型06：三角函数的单调性与对称性 24.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将原函数变形为，将原函数的单调增区间转化为的单调减区间，再结合正弦函数的单调减区间列不等式求解，得到原函数的单调增区间. 【详解】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B 25.函数在上的单调递减区间为______. 【答案】 【分析】令解不等式，再结合范围即可. 【解析】令，解得， 令得，所以函数在上的单调递增区间为. 故答案为：. 26. 函数 的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【详解】的对称轴满足，即， 当时，A满足，其他选项不满足. 故选：A 27. 已知函数的最大值在处取到，则是（    ）． A．奇函数，且关于点成中心对称 B．偶函数，且关于点成中心对称 C．奇函数，且关于点成中心对称 D．偶函数，且关于点成中心对称 【答案】D 【详解】由最大值在处取到可得， 所以，故为偶函数，且关于对称， 故选:D． 28. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称 【答案】A 【详解】解：依题意，解得，所以，将函数向左平移个单位长度得到， 因为关于坐标原点对称，所以，解得，因为，所以，所以， 因为，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，，所以函数关于对称； 故选：A 题型07：三角函数的最值、值域 29. 已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为_____ 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 30.已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为______ 【分析】根据周期公式求出，得到函数，由求出，结合正弦函数的图像得到最小值. 【详解】 ，由，得， 即，当时， ， 画出图象，如图，由图可知，在上单调递减， 所以，当时，． 故选： 31.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）的图象相邻两个最高点的距离为， 的最小正周期； 又的图象关于直线对称， ， ，又， ， ， 当时，， 令或， 解得或. ∴函数在上的单调递增区间为. （2）当时，， ， ∴函数在上的最大值为，最小值为. 32.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. (1)求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，对称轴方程 (2)最大值是，最小值是 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出，最后根据正弦函数对称轴的条件写出方程； （2）先求出相位在区间内的取值范围，再分别找到使函数取得最值的相位，反解出对应并代入计算，从而得到区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）由图可知，还可知，故可得最小正周期， 因为，所以， 因为，，则， 综上可得， 由，可得，此即为函数图像的对称轴方程； （2）当时，， 当，即时，取得最大值为； 当，即时，取得最小值为； 故在区间上的最大值是，最小值是. 33.已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数图像过，代入可得，再由过可解得，结合周期可确定即可求解； （2）由双变量恒成立，即，易得，再利用换元令，则，接着分类讨论求解即可. 【详解】（1）由图知函数图像过，， ，即， ， ， ，即， ， 解得， 又，即， ，； （2）因为对任意的，，都有，所以. 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，. 对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 34.已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数图像过，代入可得，再由过可解得，结合周期可确定即可求解； （2）由双变量恒成立，即，易得，再利用换元令，则，接着分类讨论求解即可. 【详解】（1）由图知函数图像过，， ，即， ， ， ，即， ， 解得， 又，即， ，； （2）因为对任意的，，都有，所以. 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，. 对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 题型08：与ω有关的范围与最值 35. 已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增， 则，解得， 当时，， 当时，， 当取其它值时不满足， ∴的取值范围为，故选：D 36. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的单调递增区间，根据是函数增区间的子集，可求的取值范围. 【详解】由于，则, 由， ，. 由， ，. 所以得：. 故选：B 37. 函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 令，，则，， 函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， ，得，则， 即，∴. 故选：D. 38. 将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据平移理论结合已知条件得，再利用诱导公式得，进而得到，从而求出，再结合已知条件即可求出的最小值. 【详解】由题意得， 又 所以， 所以，， 又因为，所以的最小值为. 故选：A. 39. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】． 由题可知，，所以， 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，（）. 因为，所以，解得. 故答案为：. 题型09：与三角函数有关的零点问题 40.已知函数在上没有零点，则的取值范围是______ 【分析】先由得，根据题意得，进而可得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在上没有零点，所以，解得. 又因为，所以. 41．已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得或，等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，再分类讨论和数形结合分析得解. 【解析】解：等价于， 解得或，                                  因为，所以，，      如图，绘出函数的图象， 方程有三个不同的实数根 等价于有一个实数解且有两个不同的实数解 或有两个不同的实数解且有一个实数解，      ①当或时，无解，不符合题意； ②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；    ③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意； ④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，                                                  综上，m的取值范围为. 故答案为：[-1,0] 42．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 . 【答案】4 【分析】由平移变换得到，再根据是偶函数，得到，然后由，得到，根据在上恰有4个零点，由求解. 【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到， 函数， 因为是偶函数，所以，即， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为在上恰有4个零点， 所以，即， 所以当时，， 故答案为：4 43．已知函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则______，______． 【答案】 / 1 【难度】0.62 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、辅助角公式 【分析】利用倍角公式辅助角公式及周期求出，利用图象的对称性即可求解. 【详解】函数 由，可得， ． 画出的图象，如图： 结合图象知， 则． 故答案为：， 44. 已知函数在上仅有两个零点，且，则_____________． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、余弦函数图象的应用、诱导公式二、三、四 【分析】由题意可得为函数，的图象与直线的交点的横坐标，根据函数图像可得，代入结合诱导公式和的取值范围求出即可得解. 【详解】令，得， 则为函数，的图象与直线的交点的横坐标， 的图象如图所示， 易得，，， 所以， 则， 所以，易得， 因为，所以， 所以， 又，所以， 故答案为： 题型10：综合素养提升 45. 设函数的最小正周期是π，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（   ） ①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； ②的图象过点； ③的图象的一个对称中心是； ④在上是减函数. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数的性质得出，再根据正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】由最小正周期为，得； 由为对称轴，得，， 故取1，，所以； ①的图象向右平移个单位长度后，得，则①错误； ②，的图象过点，正确； ③，的图象的一个对称中心是，正确； ④因为当时，则，且在内不单调， 所以在不单调，错误. 故选：B 46. 已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可； （2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可； （3）根据整体代入法求的单调递减区间即可； （4）根据确定的范围，解出的范围即可. 【详解】（1）由已知图象得， ，则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，即． （2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位， 就可得到的图像， 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． （3）因为 所以 所以的单调递减区间为． （4）因为，所以， 所以， 解得：， 所以不等式的解集是． 47. 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式． (2)设函数． （i）求的单调递减区间； （ii）若，，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由图可知，根据周期求出，根据函数的最大值求出，将代入求出，即可得到答案； （2）（i）根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出，结合正弦函数的单调性，整体代入求解即可得答案；（ii）求出函数在上的最大值和最小值，进而得到的最大值，即在上恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求出答案. 【详解】（1）设的最小正周期为，则，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以. （2）（i） ， 由，解得， 故的单调递减区间为. （ii）设， 因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，， 当，即时，， 故在上的最大值和最小值分别为和. 因为，， 所以恒成立， 所以 解得，所以的取值范围为. 48. 已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求关于的方程在上所有的实数根之和； (3)当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由图可得最大值及其周期，即可得、，再利用点，代入计算即可得，即可得函数的解析式； （2）借助整体思想结合正弦函数图象可得有四个不同的根，再利用正弦函数对称性计算即可得； （3）借助整体思想结合正弦函数图象可得值域，并可得其取不同值时解的个数，再对原方程因式分解后即可得的取值范围. 【详解】（1）由图可得最大值为，，则，， 令，则有，解得， 又，故，即； （2）令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，由有对称轴与， 则，， 即有，，故实数根之和为； （3）当时，，则， 故，其中及有且仅有一根， 有且有两个不同的根， 令，则， 则或， 若，即时，有且仅有一根， 则需要有两根， 则，解得. 一、填空题 1.用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，_______． 【答案】. 【解析】根据三角函数的“五点法”作图的规则，令，即可求解. 用“五点法”画在一个周期内的简图时， 分别令，当，可得，此时， 所以五个点分别为，，，，. 故答案为：. 2.函数的频率与初始相位之差为 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的周期，初相为， 所以频率为，故频率与初始相位之差为. 故答案为：. 3.已知函数是偶函数，则的最小值是_____ 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可. 【详解】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 4.将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 【答案】/ 【分析】根据三角函数的图象的周期变换和平移变换可得，进而可得函数值. 【详解】因函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以，得. 故答案为：. 5.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则______ 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则f(－)＝________. 【答案】－ 【解析】由函数的图象可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)，所以f(－)＝－. 7.若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的平移规则可得函数解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象． 故答案为： 8.已知函数的部分图像如图所示，则 ． 【答案】4 【分析】由五点法求函数解析式再计算函数值. 【详解】由函数过点和，由五点作图法可知，解得. 又函数的图象过点，则，解得． 所以，则． 故答案为：4. 9.已知函数，若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，问题转化为在时有两个不相等的实数根，结合函数单调性和图象求解 【详解】令，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 方程在区间上有两个不相等的实数根，即的图象有两个不同的交点， 结合图象可知． 故答案为： 10.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先得到函数变换的图像，由定区间上的零点个数判断解出，再由余弦函数递减区间计算得出，取交集得到的取值范围. 【详解】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 二、选择题 11. 将函数的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图像则的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换的规律求解函数解析式. 【详解】由题意可得函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，再将图像向左平移个单位得到函数的图像， 的图像上各点的横坐标变为原来的倍， 得到函数的图像，再向左平移个单位得到函数的图像， 所以. 故选：C 12.已知函数过点，则下列不正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数 【答案】B 【分析】先根据题干条件将求出，然后根据正弦函数的性质依次判定即可. 【详解】由题可得， 因为，所以，所以，解得， 所以. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，令，，解得，， 令，得，所以在区间上单调递增， 而不是的子集，故B错误； 对于C，令，，解得， 令，得，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，出题可得，为偶函数，故D正确. 故选：B. 13.已知函数在上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据变换可得，对选项进行一一判断，即可得到答案； 【详解】根据变换可得， 对A，，故A符合； 对B，，故B不符合； 对C，，故C不符合； 对D，，故D不符合. 故只有A正确； 故选：A. 14.已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【分析】选项A，由，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，得到，根据最小正周期公式得到，由一条对称轴方程为，得到，又，求得的值；选项B，令和解出的值，即可得解；选项C，由，求出的范围，结合余弦函数的图像得到在区间上单调递减；选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，利用诱导公式得解. 【详解】选项A，， 其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为， 则函数的周期满足，，，， 一条对称轴方程为，， ，，故A正确； 选项B，，，， ，由，可得或， 的图象在区间内有个对称中心，故B正确； 选项C，，， 在区间上单调递减，故C错误； 选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数，故D正确. 故选：C. 3、 解答题 15.已知函数． (1)若的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且当时，有解，求实数的取值范围； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用三角函数和差的正弦公式及二倍角公式对函数进行化简，根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1） 因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期． 又，所以，所以函数． 因为，所以，所以. 所以， 若有解，则． 所以的取值范围为. （2）由（1）知，. 令，，因为，即的单调递增区间为，. 因为在区间上单调递增，所以 所以，，解得，. 因为，所以，解得，又，所以. 将代入中可得，即，又，所以. 故的取值范围为. 16.已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 【答案】(1)， (2)，；，. 【分析】（1）根据正弦函数的图象识别，可得到正弦函数的周期、振幅，进而可求得函数的解析式和对称中心的坐标. （2）先根据正弦函数的平移和奇偶性求得的解析式，然后根据正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 17.函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 18.已知函数且. (1)求的最小正周期T和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 (3)单调递增区间为 【分析】（1）由求出，根据正弦函数的性质求出最小正周期； （2）根据正弦函数的性质求出最值； （3）先由三角函数图象的变换求出函数，再根据正弦函数的性质求出单调递增区间. 【详解】（1）由，得，， 所以，，又，所以， 所以，则的最小正周期为. （2）当时，， 所以当，即时，取得最大值1， 当,即时，取得最小值为， 即在区间上的最大值为1，最小值为. （3）若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 再将所得的图象向右平移个单位长度，得到， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 19.请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析； (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点； （2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可； （3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可. 【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象， 列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以， 令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $